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\begin{document}
\setlength{\parindent}{0mm}

\title{Fraction Rationelles}
\author{Aubin SIONVILLE}
\date{MPI Clemenceau - 2021-2023}
\maketitle

\centering

\section*{Le corps des fractions rationnelles}

\subsection*{$\K(X)$}

\[\boxed{\begin{array}{c}
    \text{La relation sur } \K[X] \times \K[X]^* \quad : \quad (P,Q) \sim (P',Q') \iff P'Q = PQ' \text{ est une relation d'équivalence}\\
    \displaystyle\K(X) \text{ est l'ensemble des classes d'équivalence de } \K[X] \times \K[X]^* \text{pour } \sim, \text{ notées } \frac{P}{Q}\\
    \text{Alors } (\K(X), +, \times) \text{ est un corps commutatif}\\
\end{array}}\]

\vspace*{0.3cm}

\begin{multicols}{2}
    \subsection*{Fraction irréductible}
    \[\boxed{\begin{array}{c}
        \forall F \in \K(X), \\
        \exists!(P,Q) \in \K[X] \times \K[X]^* \text{ à cst} \times \text{près tq }\\
        \displaystyle F = \frac{P}{Q}, P \wedge Q = 1 \text{ et } \mathrm{dom}(Q) = 1\\
        \displaystyle \text{On dit que } \frac{P}{Q} \text{ est irréductible}\\
    \end{array}}\]

    \subsection*{Degré d'une fraction}
    \[\boxed{\begin{array}{c}
        \displaystyle\mathrm{deg}\bigg(\frac{P}{Q}\bigg) = \mathrm{deg}(P) - \mathrm{deg}(Q)\\
        \forall (F,G) \in \K(X)^2,\\
        \mathrm{deg}(FG) = \mathrm{deg}(F) + \mathrm{deg}(G)\\
        \mathrm{deg}(F+G) \leq \max\bigg(\mathrm{deg}(F), \mathrm{deg}(G)\bigg)
    \end{array}}\]
\end{multicols}

\vspace*{0.3cm}

\subsection*{Zéros et poles d'une fraction}
\[\boxed{\begin{array}{c}
    \text{Si } F = \frac{P}{Q} \in \K(X), \text{ alors }\\
    \text{Les racines de } P \text{ sont les \underline{zéros} de } F\\
    \text{Les racines de } Q \text{ sont les \underline{poles} de } F
\end{array}}\]

\vspace*{0.3cm}

\subsection*{Multiplicité d'un zéro ou d'un pole}
\[\boxed{\begin{array}{c}
    \displaystyle\text{Si } F \in \K(X) = \frac{P}{Q} \text{ sous forme irréductible, alors}\\
    \text{Si } a \text{ est un zéro de } F \text{ et une racine de multiplicité } m \text{ de } P,\\
    \text{Alors} a \text{ est un zéro de } F \text{ de multiplicité } m\\
    \text{Si } a \text{ est un pole de } F \text{ et une racine de multiplicité } m \text{ de } Q,\\
    \text{Alors} a \text{ est un pole de } F \text{ de multiplicité } m
    \end{array}}\]

\newpage

\section*{Décomposition en éléments simples}

\begin{multicols}{2}
    \subsection*{Décomposition de taille 2}
    \[\boxed{\begin{array}{c}
        \text{Soit } (A,B) \K[X]^2 \text{ tels que } A \wedge B = 1\\
        \text{ et } C \in \K[X] \text{ tq } \mathrm{deg}(C) < \mathrm{deg}(AB)\\
        \text{Alors } \exists! (P,Q) \in \K(X),
        \begin{cases}
            \mathrm{deg}(P) < \mathrm{deg}(A)\\
            \mathrm{deg}(Q) < \mathrm{deg}(B)\\
            \displaystyle\frac{1}{AB} = \frac{P}{A} + \frac{Q}{B}
        \end{cases}
    \end{array}}\]

    \subsection*{Décomposition de taille $N$}
    \[\boxed{\begin{array}{c}
        \text{Soit } (A_1,\dots,A_N) \K[X]^N \text{ premiers entre eux}\\
        \text{ et } N \in \K[X] \text{ tq } \mathrm{deg}(N) < \mathrm{deg}(A_1\dots A_N)\\
        \text{Alors } \exists! (N_1,\dots,N_n) \in \K[X]^n,
        \begin{cases}
            \forall i, \mathrm{deg}(N_i) < \mathrm{deg}(A_i)\\
            \displaystyle\frac{N}{A_1\dots A_N} = \sum_{i=1}^n \frac{N_i}{A_i}
        \end{cases}
    \end{array}}\]
\end{multicols}

\begin{multicols}{3}
    \subsection*{Décomposition d'une puissance}
    \[\boxed{\begin{array}{c}
        \text{Soit } a \in \K, n \in \mathbb{N} \text{ et } P \in \K_{n-1}[X]\\
        \text{Alors } \exists! (a_1,\dots,a_n) \in \K^n,\\
        \displaystyle\frac{P}{(X-a)^n} = \sum_{i=1}^n \frac{a_i}{(X-a)^i}
    \end{array}}\]

    \subsection*{Décomposition de $\displaystyle\frac{P'}{P}$ sur $\mathbb{C}$}
    \[\boxed{\begin{array}{c}
        \text{Soit } P \in \mathbb{C}[X],\\
        (z_1,\dots,z_n) \text{ les racines de } P\\
        \text{ et } (m_1,\dots,m_n) \text{ leurs multiplicités}\\
        \text{Alors } \displaystyle\frac{P'}{P} = \sum_{k=1}^n \frac{m_k}{X-z_k}
    \end{array}}\]

    \subsection*{Décomposition par dérivation}
    \[\boxed{\begin{array}{c}
        \text{Soit } P \in \K[X] \text{ à poles simples de degré } < 0\\
        \text{On note } (z_1,\dots,z_n) \text{ les racines de } Q\\
        \displaystyle\text{Alors } \frac{P}{Q} = \sum_{i=1}^n \frac{c_i}{X-z_i} \quad \text{ où } c_i = \frac{P(z_i)}{Q'(z_i)}
    \end{array}}\]
\end{multicols}

\vspace*{0.3cm}

\subsection*{Partie entière}
\[\boxed{\begin{array}{c}
    \text{Soit } (N,D) \in \K[X] \times \K[X]^* \\
    \displaystyle \exists! (E,F) \in \K[X] \times \K(X), \frac{N}{D} = E + F \text{ avec } \mathrm{deg}(F) < 0\\
    \displaystyle E \text{ est le reste dans la division de } N \text{ par } D, \text{ c'est la partie entière de } \frac{N}{D}
\end{array}}\]

\subsection*{Décomposition en éléments simples sur $\mathbb{C}$}
\[\boxed{\begin{array}{c}
    \displaystyle\text{Soit } F \in \mathbb{C}(X) = \frac{P}{Q} \text{ sous forme irréductible}\\
    \text{On note } (p_i)_{i \in \llbracket 1, n \rrbracket} \text{ les zéros de } F \text{ et } (m_i)_{i \in \llbracket 1, n \rrbracket} \text{ leurs multiplicités}\\
    \text{Alors } \exists! (E,a_{1,1},\dots,a_{n,m_n}) \in \mathbb{C}[X] \times \mathbb{C}^{m_1+, \dots, m_n},\\
    \displaystyle F = E + \sum_{k=1}^n\sum_{i=1}^{m_k} \frac{a_{k,i}}{(X-p_k)^i} \text{ et } \mathrm{deg}(E) < \mathrm{deg}(Q)\\
    \text{On a décomposé } F \text{ en éléments simples sur } \mathbb{C}
\end{array}}\]

\subsection*{Décomposition en éléments simples sur $\mathbb{R}$}
\[\boxed{\begin{array}{c}
    \displaystyle\text{Soit } F \in \mathbb{R}(X) = \frac{P}{Q} \text{ sous forme irréductible}\\
    \displaystyle\text{Soit } Q = a \prod_{i=1}^p (X-z_i)^{m_i} \prod_{j=1}^q(X^2+a_iX+b_i)^{\mu_i} \text{ la D.E.S de } Q \text{ sur } \mathbb{R}\\
    \text{Alors } \exists! (E,a_{1,1},\dots,a_{p,m_p},A_{1,1},\dots,A_{q,\mu_q}) \in \mathbb{R}[X] \times \mathbb{R}^{m_1+, \dots, m_n} \times \mathbb{R}_1[X]^{\mu_1+, \dots, \mu_q},\\
    \displaystyle F = E + \sum_{k=1}^p\sum_{i=1}^{m_k} \frac{a_{k,i}}{(X-z_k)^i} + \sum_{k=1}^q\sum_{j=1}^{\mu_k} \frac{A_{k,j}}{(X^2+a_kX+b_k)^j} \text{ et } \mathrm{deg}(E) < \mathrm{deg}(Q)\\
    \text{On a décomposé } F \text{ en éléments simples sur } \mathbb{R}
\end{array}}\]

\newpage

\section*{Méthode : Décomposition en éléments simples}

\begin{itemize}
    \item On commence par écrire la décomposition "imcomplète" :
    \item Pour chaque polynôme $P_i$ à la puissance $m_i$ au dénominateur, on écrit $\displaystyle F = \frac{a_{1,1}}{P_1^1}+\dots+\frac{a_{1,m_1}}{P_1^{m_1}} + \dots + \frac{a_{n,m_n}}{P_n^{m_p}}$
    \item Pour trouver les $a_i$,
    \begin{itemize}
        \item La plupart du temps, on identifie les coefficients de $F$ et des $P_i$
        \item Sinon, on peut évaluer en un point ou mutliplier par $X$ et utiliser les théorèmes du plus haut degré en $+\infty$
    \end{itemize}
    
    \item Si on fait une D.E.S sur $\mathbb{R}$ et qu'il y a un polynôme de degré $2$, on fait sur $\mathbb{C}$ puis on regroupe par pôles complexes conjugués
\end{itemize}

\end{document}