\documentclass{article}
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\begin{document}
\setlength{\parindent}{0mm}
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\title{Endomorphismes orthogonaux, adjoints, isométries}
\author{Aubin SIONVILLE}
\date{MPI Clemenceau - 2021-2023}
\maketitle

\centering

\section*{Orthogonalité des endomorphismes}

\begin{multicols}{2}
    \subsection*{Matrice orthogonale}
        \[\boxed{A \in \mathcal{O}(n) \iff A^T.A = I_n \iff A^T = A^{-1} \iff A.A^T = I_n}\]
    
    \subsection*{Déterminant}
        \[\boxed{A \in \mathcal{O}(n) \iff \det(A) = \pm 1}\]
\end{multicols}

\vspace{0.2cm}

\subsection*{Groupe spécial orthogonal}
    \[\boxed{A \in \mathcal{SO}(n) \iff \det(A) = 1}\]

\vspace{0.2cm}

\subsection*{Caractérisation par les colonnes}
    \[\boxed{A \in \mathcal{O}(n) \begin{array}{cc} \iff & \text{les colonnes de } A \text{ forment une b.o.n de }\mathbb{R}^n \\ \iff & A \text{ est la matrice de passage d'une b.o.n à une autre b.o.n} \\\end{array}}\]

\vspace{0.1cm}

\section*{Adjoints}
    
    \subsection*{Adjoint}
        \[\boxed{\text{Si } f \text{ est un endo d'un espace \underline{euclidien} E}, \quad \exists! f^* : E \to E, \forall (u,v) \in E^2, \quad \langle f^*(u) | v \rangle = \langle u | f(v) \rangle}\]

    \begin{multicols}{2}
        \subsection*{Endomorphisme autoadjoint}
            \[\boxed{f : E \to E \in \mathcal{S}(E) \begin{array}{cl} \iff & f^* = f \\ \iff & \forall (u,v) \in E^2, \quad \langle f(u) | v \rangle = \langle u | f(v) \rangle \end{array}}\]
    
        \textbf{Matrice d'un endomorphisme autoadjoint}
            \[\boxed{f \in \mathcal{S}(E) \implies [f^*]_\mathrm{b.o.n} = [f]_\mathrm{b.o.n}^T}\]
    \end{multicols}

\section*{Isométries vectorielles}

\subsection*{Isométrie}
    \[\boxed{f : E \to E \in \mathcal{O}(E)
        \begin{array}
            {cl} \iff & \forall (u,v) \in E^2, \quad \langle f(u) | f(v) \rangle = \langle u | v \rangle \\
            \iff & f \text{ est linéaire et } \forall u \in E, \quad ||f(u)|| = ||u|| \\
            \iff & f \text{ est linéaire et transforme une b.o.n en b.o.n} \\
            \iff & [f]_{\mathrm{b.o.n}} \in \mathcal{O}_n(\mathbb{R}) \\
            \iff & f^* = f^{-1}
        \end{array}}\]

\vspace{0.5cm}

\subsection*{Analogies avec les matrices}
\[\boxed{\begin{array}{ccccc}
    (f \circ g)^* = f^* \circ g^* & \quad & (f^*)^* = f & \quad & (\alpha f + \beta g)^* = \alpha f^* + \beta g^* \\
    \\
    (A.B)^T = B^T.A^T & \quad & (A^T)^T = A & \quad & (\alpha A + \beta B)^T = \alpha A^T + \ B^T \\
\end{array}}\]

\newpage

\section*{Stabilité de l'orthogonal}

\begin{multicols}{2}
    \subsection*{Autoadjoints}
        \[\boxed{f \in \mathcal{S}(E) \implies (F \text{ est stable par }f \implies F^\perp \text{ aussi})}\]

    \subsection*{Isométries}
        \[\boxed{f \in \mathcal{O}(E) \implies (F \text{ est stable par }f \implies F^\perp \text{ aussi})}\]
\end{multicols}

\subsection*{Adjoint}
    \[\boxed{F \text{ est stable par }f \iff F^\perp \text{ est stable par }f^*}\]

\vspace*{0.5cm}

\section*{Théorème spectral}

\subsection*{Théorème spectral}
    \[\boxed{f \in \mathcal{S}(E) \begin{array}{cl}\iff & f \text{ est diagonalisable dans une b.o.n}\\ \iff & \text{il existe une b.o.n de } E \text{ formée de vecteurs propres de }f \\ \iff & E \text{ est la somme orthogonale des } SEP \text{ de } f \end{array}}\]

\subsection*{Version matricielle}
    \[\boxed{\text{Toute matrice symétrique réelle est orthogonalement diagonalisable}}\]

\subsection*{Endomorphisme autoadjoint}
    \[\boxed{f \in \mathcal{S}(E) \implies \begin{cases}\text{les } SEP \text{ de } f \text{ sont deux à deux orthogonaux}\\ Sp_\mathbb{C}(f)\subset \mathbb{R} \end{cases}}\]

\subsection*{Positivité}

    \[\begin{array}{l}
        \boxed{\text{Un endo. autoadjoint} f \text{ est \underline{positif} si } \forall x \in E, \quad \langle x | f(x) \rangle \geq 0} \\
        \boxed{\text{Une matrice symétrique } M \text{ est \underline{positive} si } \forall X \in \mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R}), \quad X^T.MX \geq 0} \\
        \\\boxed{\text{Un endo. autoadjoint } f \text{ est \underline{défini positif} s'il est positif et } \forall x \in E, \langle x | f(x) \rangle = 0 \implies x = 0} \\
        \boxed{\text{Une matrice symétrique } M \text{ est \underline{définie positive} s'il est positive et } \forall X \in \mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R}), X^T.MX = 0 \implies X = 0} \\
    \end{array}\]

    \begin{multicols}{2}
        \[\begin{array}{ll}
            \text{Endos positifs } : & \mathcal{S^+}(E) \\
            \text{Endos définis positifs } : & \mathcal{S^{++}}(E) \\ 
        \end{array}\]

        \[\begin{array}{ll}
            \text{Matrices positives } : & \mathcal{M^+}_{n,n}(\mathbb{R}) \\
            \text{Matrices définies positives } : & \mathcal{M^{++}}_{n,n}(\mathbb{R}) \\
        \end{array}\]
    \end{multicols}

    \[\boxed{\text{Un endo. autoadjoint } f \text{ est } \begin{cases}
        \text{positif} & \text{ si toutes ses valeurs propres sont positives} \\
        \text{défini positif} & \text{ si toutes ses valeurs propres sont strictement positives} \\
    \end{cases}} \]
    i.e
    \[\boxed{\begin{array}{ccccc}
        f \in \mathcal{S^+(E)} & \iff & f \in \mathcal{S}(E) & \text{et} & \mathrm{Sp}(f) \subset \mathbb{R}^+ \\
        f \in \mathcal{S^{++}(E)} & \iff & f \in \mathcal{S^+(E)} & \text{et} & \mathrm{Sp}(f) \subset \mathbb{R}^*_+ \\
        M \in \mathcal{S}_n^+(\mathbb{R}) & \iff & M \in \mathcal{S}_n(\mathbb{R}) & \text{et} & \mathrm{Sp}(M) \subset \mathbb{R}^+ \\
        M \in \mathcal{S}_n^{++}(\mathbb{R}) & \iff & M \in \mathcal{S}_n^+(\mathbb{R}) & \text{et} & \mathrm{Sp}(M) \subset \mathbb{R}^*_+ \\
    \end{array}}\]

\newpage

\section*{Rotations et réflexions}

\subsection*{Orientation d'une base}
    \[\boxed{\text{\underline{En dimension finie}}, \mathcal{B}_0 \text{ et } \mathcal{B} \text{ ont la même orientation} \iff \mathrm{det}(\mathcal{P}_{\mathcal{B}_0\to \mathcal{B}}) > 0}\]

\begin{multicols}{2}
    \subsection*{Rotation}
        \[\boxed{\begin{array}{l}f \text{ est une \underline{rotation}}\quad (\in \mathcal{SO}(E)) \text{ si } \\f \text{ est une isométrie et } \mathrm{det}(f) = 1 \ \mathrm{ i.e }\ [f]_{\mathrm{b.o.n}} \in \mathcal{SO}_n(\mathbb{R})\end{array}}\]

    \subsection*{Réflexion}
        \[\boxed{\begin{array}{l}f \text{ est une \underline{réflexion} si } \\f \text{ est une symétrie orthogonale } /_-^+ \text{ un hyperplan de }E\end{array}}\]
\end{multicols}

\subsection*{Isométries et matrices du plan}
    \[\boxed{M \in O_2(\mathbb{R}) \iff \text{ elle est de la forme }\begin{cases}
        R_\theta &= \begin{pmatrix}
            \cos \theta & -\sin \theta \\
            \sin \theta & \cos \theta
        \end{pmatrix} \text{ et } \mathrm{det}(M) = +1 \\
        &\text{ou}\\
        R_\theta &= \begin{pmatrix}
            \cos \theta & \sin \theta \\
            -\sin \theta & \cos \theta
        \end{pmatrix} \text{ et } \mathrm{det}(M) = -1
    \end{cases}}\]

\subsection*{Caractérisation des isométries du plan}
    \[\boxed{\text{Les isométries du plan sont } \begin{cases}
        \text{les rotations autour de l'origine} \\
        \text{les réflexions par rapport à une droite passant par l'origine} \\
    \end{cases}
    }\]

\subsection*{Isométries et matrices de l'espace}
\[\boxed{
    \begin{array}{c}
        f \text{ est une isométrie de l'espace } \iff \exists \theta \in \mathbb{R} \text{ et une b.o.n.d } B \text{ tq} \\[1ex]
        [f]_\mathcal{B} =
        \begin{pmatrix}
            \cos \theta & -\sin \theta & 0 \\
            \sin \theta & \cos \theta & 0 \\
            0 & 0 & 1
        \end{pmatrix}
        \text{ et } \mathrm{det}(f) = +1 \\
        
        \\ \text{ou bien} \\\\

        [f]_\mathcal{B} =
        \begin{pmatrix}
            \cos \theta & \sin \theta & 0 \\
            -\sin \theta & \cos \theta & 0 \\
            0 & 0 & 1
        \end{pmatrix}
        \text{ et } \mathrm{det}(f) = -1
    \end{array}}\]

\end{document}