\documentclass{article}
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\begin{document}
\setlength{\parindent}{0mm}

\title{Suites Numériques}
\author{Aubin SIONVILLE}
\date{MPI Clemenceau - 2021-2023}
\maketitle

\centering

\section*{Définitions}

\begin{multicols}{3}
    \subsection*{Suites adjacentes}
    \[\boxed{u \text{ et } v \text { adjacentes} : \begin{cases} u \text{ croissante} \\ v \text{ décroissante} \\ u_n-v_n \longrightarrow 0\end{cases}}\]

    \subsection*{Suite extraite}
    \[\boxed{u_{\varphi(n)} \text{ est extraite de } u_n}\]
    \[\boxed{\lim u_{2n} = \lim u_{2n+1} = l \implies u_n \longrightarrow l}\]

    \subsection*{Points fixes}
    Si $f$ est continue sur $I$ et $u_n$ est définie par $\begin{cases}u_0 \in I \\ u_{n+1} = f(u_n)\end{cases}$ :
    \[\boxed{u_n \longrightarrow l \in \mathbb{R} \implies f(l)=l}\]
\end{multicols}

\vspace{0.5cm}

\section*{Théorèmes}

\begin{multicols}{2}
    \subsection*{Théorème des gendarmes}
    Hypothèses : $\forall n \in \mathbb{N}, u_n \leq v_n \leq w_n$ et $l \in \mathbb{R}$
    \[\boxed{\begin{cases} u_n \longrightarrow l\\ w_n \longrightarrow l \end{cases} \implies v_n \longrightarrow l}\]

    \subsection*{Théorème de la limite monotone}
    \[\begin{array}{ccc}
        u \text{ croissante et majorée par } M &\implies& u \text{ cv et }\lim u_n \leq M \\
        u \text{ croissante non majorée} & \implies& u_n \longrightarrow +\infty \\
        u \text{ décroissante et minorée par } m &\implies& u \text{ cv et }\lim u_n \geq m \\
        u \text{ décroissante non minorée} & \implies& u_n \longrightarrow -\infty
    \end{array}\]
\end{multicols}

\vspace{0.2cm}

\begin{multicols}{2}
    \subsection*{Théorème des segments emboités}
    Hypothèses : $(I_n)$ est une suite décroissante de longueur $l(I_n)$ de segments non vides : $\forall n, I_{n+1} \subset I_n$
    \[\boxed{l(I_n) \longrightarrow 0 \implies \bigcap_{n \in \mathbb{N}}I_n \text{ est un singleton}}\]

    \subsection*{Théorème de Bolzano-Weierstrass}
    Hypothèses : $u_n$ est une suite de réels bornée
    \[\boxed{\exists \varphi : \mathbb{N} \to \mathbb{N} \text{ strictement décroissante tq } (u_{\varphi(n)}) \text{ cv}}\]
\end{multicols}

\vspace{0.5cm}

\section*{Suites dominées, négligeables, équivalentes}

Avec $u$ et $v$ des suites réelles

\[\begin{array}{ccc}
    u \text{ est dominée par } v \  (O) & u \text{ est négligeable par rapport à } v\  (o) & u \text{ est équivalente à } v\  (\sim) \\
    \hline
    \\
    \exists M \in \mathbb{R}, \exists N \in \mathbb{N}, & \forall \varepsilon > 0, \exists N \in \mathbb{N}, & \forall \varepsilon > 0, \exists N \in \mathbb{N}, \\
    \\
    \forall n \geq N, |u_n| \leq M|v_n| & \forall n \geq N, |u_n| \leq \varepsilon|v_n| & \forall n \geq N, |u_n-v_n| \leq \varepsilon|v_n|\\
\end{array}\]

\section*{Suites récurrentes}

\subsection*{Suites récurrentes dans $\mathbb{C}$}
    $u$ est une suite récurrente linéaire d'ordre $2$ si $\boxed{\exists(a,b) \in \mathbb{C}^2, \forall n \in \mathbb{N}, u_{n+2} = au_{n+1} + bu_n}$\\

    On y associe $(C) : z^2=az+b$.\\

    \begin{multicols}{2}
        Si $(C)$ a deux racines $r_1$ et $r_2$ :
        \[\boxed{\exists (A,B) \in \mathbb{C}^2, \forall n \in \mathbb{N}, u_n = A r_1^n + B r_2^n}\]

        Si $(C)$ a une racine double $r$ :
        \[\boxed{\exists (A,B) \in \mathbb{C}^2, \forall n \in \mathbb{N}, u_n = (A+Bn)r^n}\]
    \end{multicols}

\vspace{0.5cm}

\subsection*{Suites récurrentes dans $\mathbb{R}$}
    $u$ est une suite récurrente linéaire d'ordre $2$ si $\boxed{\exists(a,b) \in \mathbb{R}^2, \forall n \in \mathbb{N}, u_{n+2} = au_{n+1} + bu_n}$\\

    On y associe $(C) : x^2=ax+b$.\\

    \begin{multicols}{2}
        Si $(C)$ a deux racines $r_1$ et $r_2$ :
        \[\boxed{\exists (A,B) \in \mathbb{R}^2, \forall n \in \mathbb{N}, u_n = A r_1^n + B r_2^n}\]

        Si $(C)$ a une racine double $r$ :
        \[\boxed{\exists (A,B) \in \mathbb{R}^2, \forall n \in \mathbb{N}, u_n = (A+Bn)r^n}\]

    \end{multicols}

    Si $(C)$ a deux racines complexes $r\mathrm{e}^{\pm i \theta}$ :
    \[\boxed{\exists (A,B) \in \mathbb{R}^2, \forall n \in \mathbb{N}, u_n = (A\cos(n\theta) + B\sin(n\theta))r^n}\]

\end{document}