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\begin{document}
\setlength{\parindent}{0mm}

\title{Changements de référentiel}
\author{Aubin SIONVILLE}
\date{MPI Clemenceau - 2021-2023}
\maketitle

\centering

\part*{Cinématique}

\begin{multicols}{2}
    \[\overrightarrow{v}(M/\mathcal{R}_g) = \bigg(\frac{\mathrm{d}\overrightarrow{OM}}{\mathrm{d} t}\bigg)_{\mathcal{R}_g} = \dot{x}(t)\overrightarrow{e_x} + \dot{y}(t)\overrightarrow{e_y} + \dot{z}(t)\overrightarrow{e_z}\]

    \[\overrightarrow{v}(M/ \mathcal{R}) = \bigg(\frac{\mathrm{d}\overrightarrow{O'M}}{\mathrm{d} t}\bigg)_{\mathcal{R}} = \dot{x}'(t)\overrightarrow{e_{x'}} + \dot{y}'(t)\overrightarrow{e_{y'}} + \dot{z}'(t)\overrightarrow{e_{z'}}\]
\end{multicols}

\section*{Loi de composition des vitesses}

\subsection*{Vitesse d'entraînement}
\[\boxed{\overrightarrow{v}(M/\mathcal{R}_g) = \overrightarrow{v}(M/\mathcal{R}) + \overrightarrow{v_e}(M,\mathcal{R}/\mathcal{R}_g)}\]

\vspace{0.1cm}

\subsection*{Translation de $\mathcal{R}$ par rapport à $\mathcal{R}_g$}
\[\boxed{\overrightarrow{v_e}(M, \mathcal{R}/\mathcal{R}_g) = \overrightarrow{v}(O'/\mathcal{R}_g) + \underset{=\overrightarrow{0}}{\underbrace{x'(t)\bigg(\frac{\mathrm{d}\overrightarrow{e_{x'}}}{\mathrm{d}t}\bigg)_{\mathcal{R}_g} + y'(t)\bigg(\frac{\mathrm{d}\overrightarrow{e_{y'}}}{\mathrm{d}t}\bigg)_{\mathcal{R}_g} + z'(t)\bigg(\frac{\mathrm{d}\overrightarrow{e_{z'}}}{\mathrm{d}t}\bigg)_{\mathcal{R}_g}} = \overrightarrow{v}(O'/\mathcal{R}_g)}}\]
\[\boxed{\overrightarrow{v}(M/\mathcal{R}_g) = \overrightarrow{v}(M/\mathcal{R}_g') + \overrightarrow{v_e}(M, \mathcal{R}_g'/\mathcal{R}_g) = \overrightarrow{v}(M,\mathcal{R}) + \overrightarrow{v}(\overrightarrow{O'/\mathcal{R}_g})}\]

\vspace{0.1cm}

\subsection*{Rotation de $\mathcal{R}$ par rapport à $\mathcal{R}_g$}
\[\boxed{\overrightarrow{v_e}(M,\mathcal{R}/\mathcal{R}_g) = \overrightarrow{\omega}\wedge \big(x'(t)\overrightarrow{e_{x'}} + y'(t)\overrightarrow{e_{y'}} + z'(t)\overrightarrow{e_{z'}}\big) = \overrightarrow{\omega}\wedge\overrightarrow{O'M} = \overrightarrow{\omega}\wedge\overrightarrow{HM}}\]
\[ \boxed{\overrightarrow{v}(M/\mathcal{R}_g) = \overrightarrow{v}(M/\mathcal{R}_g') + \overrightarrow{v_e}(M,\mathcal{R}/\mathcal{R}_g) = \overrightarrow{v}(M,\mathcal{R}) + \overrightarrow{\omega}\wedge\overrightarrow{O'M}}\]

\vspace{0.1cm}
\begin{multicols}{2}
    
    \subsection*{Formule de Bour}
    Soit $\overrightarrow{A}$ quelconque,
    \[\boxed{\bigg(\frac{\mathrm{d\overrightarrow{A}}}{\mathrm{d}t}\bigg)_{\mathcal{R}_g} = \bigg(\frac{\mathrm{d\overrightarrow{A}}}{\mathrm{d}t}\bigg)_{\mathcal{R}} + \overrightarrow{\omega}_{\mathcal{R}/\mathcal{R}_g}\wedge\overrightarrow{A}}\]
    
    \subsection*{Formule générale}
    \[\boxed{\overrightarrow{v_e}(M,\mathcal{R}/\mathcal{R}_g) = \bigg(\frac{\mathrm{d}\overrightarrow{OO'}}{\mathrm{d}t}\bigg)_{\mathcal{R}} + \overrightarrow{\omega}\wedge\overrightarrow{O'M}}\]
    \[\boxed{\overrightarrow{v}(M/\mathcal{R}_g) = \overrightarrow{v}(M/\mathcal{R}) + \overrightarrow{v}(O'/\mathcal{R}_g) + \overrightarrow{\omega}\wedge\overrightarrow{O'M}}\]
\end{multicols}

\newpage

\section*{Loi de composition des accélérations}

\subsection*{Formule générale}
\[\boxed{\overrightarrow{a}(M/\mathcal{R}_g) = \overrightarrow{a}(M/\mathcal{R}) + \overrightarrow{a}(O'/\mathcal{R}_g) + \dot{\overrightarrow{\omega}}\wedge\overrightarrow{O'M} + \overrightarrow{\omega}\wedge\big(\overrightarrow{\omega}\wedge\overrightarrow{O'M}\big) + 2\overrightarrow{\omega}\wedge\overrightarrow{v}(M/\mathcal{R}_g)}\]

\vspace{0.2cm}

\subsection*{Distinction des accélérations}
\[\boxed{\overrightarrow{a}(M/\mathcal{R}_g)\quad = \quad\overrightarrow{a}(M/\mathcal{R})\quad + \quad\underset{\overrightarrow{a_e}(M,\mathcal{R}_g/\mathcal{R})}{\underbrace{\overrightarrow{a}(O'/\mathcal{R}_g) + \dot{\overrightarrow{\omega}}\wedge\overrightarrow{O'M} + \overrightarrow{\omega}\wedge\big(\overrightarrow{\omega}\wedge\overrightarrow{O'M}\big)}}\quad + \quad \underset{\overrightarrow{a_c}(M,\mathcal{R}/\mathcal{R}_g)}{\underbrace{2\overrightarrow{\omega}\wedge\overrightarrow{v}(M/\mathcal{R}_g)}}}\]

\paragraph*{Accélération d'entraînement (point coïncidant)}
\[\boxed{\overrightarrow{a_e}(M,\mathcal{R}_g/\mathcal{R}) = \overrightarrow{a}(O'/\mathcal{R}_g) + \dot{\overrightarrow{\omega}}\wedge\overrightarrow{O'M} + \overrightarrow{\omega}\wedge\big(\overrightarrow{\omega}\wedge\overrightarrow{O'M}\big)}\]

\paragraph*{Accélération de Coriolis (accélération complémentaire)}
\[\boxed{\overrightarrow{a_c}(M,\mathcal{R}/\mathcal{R}_g) = 2\overrightarrow{\omega}\wedge\overrightarrow{v}(M/\mathcal{R}_g)}\]

\vspace{0.2cm}
\begin{multicols}{2}
    \subsection*{Translation pure ($\overrightarrow{\omega} = \overrightarrow{0}$)}
    \[\boxed{\overrightarrow{a}(M/\mathcal{R}_g) = \overrightarrow{a}(M/\mathcal{R}) + \overrightarrow{a}(O'/\mathcal{R}_g)}\]
    \paragraph*{Accélération d'entraînement}
    \[\boxed{\overrightarrow{a_e}(M,\mathcal{R}_g/\mathcal{R}) = \overrightarrow{a}(O'/\mathcal{R}_g)}\]
    \paragraph*{Accélération de Coriolis}
    \[\boxed{\overrightarrow{a_c}(M,\mathcal{R}/\mathcal{R}_g) = \overrightarrow{0}}\]

    \subsection*{Rotation pure à vitesse constante}
    \[\boxed{\overrightarrow{a}(M/\mathcal{R}_g) = \overrightarrow{a_e}(M,\mathcal{R}/\mathcal{R}_g) + \overrightarrow{a_c}(M,\mathcal{R}/\mathcal{R}_g)}\]
    \paragraph*{Accélération d'entraînement (axipète)}
    \[\boxed{\overrightarrow{a_e}(M,\mathcal{R}_g/\mathcal{R}) = -\omega^2\perp\overrightarrow{r'_{\perp}} = -\omega^2\perp\overrightarrow{HM} = -r\omega^2\overrightarrow{e_r}}\]
    \paragraph*{Accélération de Coriolis (nulle)}
    \[\boxed{\overrightarrow{a_c}(M,\mathcal{R}/\mathcal{R}_g) = 2\overrightarrow{\omega}\wedge\overrightarrow{v}(M/\mathcal{R}) = \overrightarrow{0}}\]
\end{multicols}

\newpage

\part*{Dynamique}

\subsection*{PFD dans un référentiel non galiléen}

\[\boxed{m\overrightarrow{a}(M/\mathcal{R}) = \overrightarrow{F} + \underset{\overrightarrow{f_{ie}}}{\underbrace{-m\overrightarrow{a_e}(M,\mathcal{R}/\mathcal{R}_g)}} + \underset{\overrightarrow{f_{ic}}}{\underbrace{-m\overrightarrow{a_c}(M,\mathcal{R}/\mathcal{R}_g)}}}\]

\vspace{0.2cm}

\subsection*{Théorème du moment cinétique dans un référentiel non galiléen}

\[\boxed{\bigg(\frac{\mathrm{d}\overrightarrow{L_O}(M)_\mathcal{R}}{\mathrm{d}t}\bigg)_\mathcal{R} = \sum_k \overrightarrow{M_O}(\overrightarrow{F_k}) + \overrightarrow{M_O}(\overrightarrow{f_{ie}}) + \overrightarrow{M_O}(\overrightarrow{f_{ic}})}\]
où
\[\begin{array}{llll}
    \overrightarrow{L_O}(M)_\mathcal{R} &\triangleq& \overrightarrow{OM} \wedge v(M/\mathcal{R}) :& \text{moment cinétique de } M \text{ par rapport à } O \text{ dans } \mathcal{R} \\
    \sum_k \overrightarrow{M_O}(\overrightarrow{F_k}) &=& \sum_k \overrightarrow{OM} \wedge \overrightarrow{F_k} :& \text{moment résultant en } O \text{ dans } \mathcal{R} \text{ des forces } \overrightarrow{F_k} \\
    \overrightarrow{M_O}(\overrightarrow{f_{ie}}) &=& \overrightarrow{OM} \wedge \overrightarrow{f_{ie}} :& \text{moment en } O \text{ dans } \mathcal{R} \text{ de l'accélération d'entraînement } \overrightarrow{f_{ie}} \\
    \overrightarrow{M_O}(\overrightarrow{f_{ic}}) &=& \overrightarrow{OM} \wedge \overrightarrow{f_{ic}} :& \text{moment en } O \text{ dans } \mathcal{R} \text{ de l'accélération de Coriolis } \overrightarrow{f_{ic}} \\
\end{array}\]
\end{document}