\documentclass{article}
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\geometry{tmargin=.75in, bmargin=.75in, lmargin=.75in, rmargin = .75in}

\begin{document}
\setlength{\parindent}{0mm}

\title{Produits Scalaires}
\author{Aubin SIONVILLE}
\date{MPI Clemenceau - 2021-2023}
\maketitle

\centering
\section*{Définitions}
\begin{multicols}{2}
    \subsection*{Produit scalaire}
    Une fonction $\varphi : E \times E \rightarrow \mathbb{R}$ est un produit scalaire si elle est :
    \begin{itemize}
        \item Bilinéaire : $\varphi(\alpha x + \beta y, z) = \alpha \varphi(x, z) + \beta \varphi(y, z)$
        \item Symétrique : $\varphi(x, y) = \varphi(y, x)$
        \item Définie : $\varphi(x,x) = 0 \Longrightarrow x = 0$
        \item Positive : $\varphi(x, x) \geq 0$
    \end{itemize}

    \subsection*{Norme}
    Norme de $x$ par le produit scalaire $\langle \cdot|\cdot \rangle$ : $\Vert x \Vert = \sqrt{\langle x|x \rangle}$

    \subsection*{Produits scalaires canoniques}
    Dans $\mathbb{R}^n$ : $\displaystyle\langle x|y \rangle = \sum_{i=1}^n x_i y_i$\\
    Dans $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ : $\displaystyle\langle A|B \rangle = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n A_{ij} B_{ij} = \mathrm{tr}(A^TB)$\\
    Dans $\mathcal{C}([a,b])$ : $\displaystyle\langle f|g \rangle = \int_a^b f(t)g(t)\mathrm{d}t$ 
\end{multicols}

\vspace{0.3cm}

\section*{Inégalités}

\begin{multicols}{2}
    \subsection*{Inégalité de Cauchy-Schwarz}
    \[\boxed{|\langle x|y \rangle| \leq \Vert x \Vert \cdot \Vert y \Vert}\]
    \[\Big| \sum_{i=1}^n x_iy_i \Big| \leq \sum_{i=1}^n |x_iy_i| \leq \Big( \sum_{i=1}^n x_i^2 \Big)^{\frac{1}{2}} \Big( \sum_{i=1}^n y_i^2 \Big)^{\frac{1}{2}}\]
    \[\Big|\int_I f(t)g(t)\mathrm{d}t\Big| \leq \int_I |f(t)g(t)|\mathrm{d}t \leq \Big( \int_I f^2(t)\mathrm{d}t \Big)^{\frac{1}{2}} \Big( \int_I g^2(t)\mathrm{d}t \Big)^{\frac{1}{2}}\]

    \subsection*{Propriétés de la norme}
    \[\boxed{\Vert x \Vert = 0 \implies x = 0_E}\]
    \[\boxed{\Vert \lambda\cdot x \Vert = |\lambda| \Vert x \Vert}\]
    \[\boxed{\Vert x + y \Vert \leq \Vert x \Vert + \Vert y \Vert}\]
\end{multicols}

\vspace{0.1cm}

\subsection*{Inégalité angulaire}
\[\boxed{\forall (x,y) \in E \setminus \{0_E\}^2, \exists! \theta \in [0,\pi], \langle x | y \rangle = \Vert x \Vert \cdot \Vert y \Vert \cdot \cos\theta}\]

\newpage

\vspace{0.1cm}

\section*{Orthogonalité}
\begin{multicols}{3}
    \subsection*{Vecteurs orthogonaux}
    \[\boxed{x \perp y \iff \langle x|y \rangle = 0}\]

    \subsection*{Vecteur orthogonal à un sous-espace}
    \[\boxed{x \perp E \iff \forall y \in E, x \perp y}\]

    \subsection*{Sous-espaces orthogonaux}
    \[\boxed{E \perp F \iff \forall x \in E, \forall y \in F, x \perp y}\]
\end{multicols}

\begin{multicols}{2}
    Si les $(v_i)$ sont orthogonaux 2 à 2,
    \[\boxed{\Big\Vert \sum_{i=1}^n v_i \Big\Vert^2 = \sum_{i=1}^n \Vert v_i \Vert^2}\]

    Si les $(v_i)$ sont orthogonaux 2 à 2, \\
    Ils sont linéairement indépendants \\
    ($\displaystyle (v_i)_{i\in \llbracket 1,n \rrbracket}$ est une famille libre)
\end{multicols}

\begin{multicols}{2}
    \[\boxed{A^\perp = \{y \in E, | \forall x \in A, x \perp y \}}\]
    
    \[\boxed{A \cap A^\perp = \{0_E\}}\]

    \[\boxed{A \perp B \iff  A \subseteq B^\perp \iff B \subseteq A^\perp}\]

    \[\boxed{A \subseteq (A^\perp)^\perp}\]
\end{multicols}

\begin{multicols}{2}[Si F est de dimension finie,]
    \[\boxed{F \oplus F^\perp = E}\]

    \[\boxed{F = (F^\perp)^\perp}\]
\end{multicols}

\vspace{0.1cm}

\section*{Bases Orthonormées}
Base orthonormée : Les vecteurs sont orthogonaux 2 à 2 et de norme 1
\begin{multicols}{2}
    \[\boxed{\forall i \in \llbracket 1,n \rrbracket, x_i = \langle x | \varepsilon_i \rangle}\]

    \[\boxed{\langle x | y \rangle = \sum_{i=1}^n x_iy_i = X^TY} \quad (X=[x]_{\mathcal{B}} \mathrm{ et } Y=[y]_{\mathcal{B}})\]

    \[\boxed{\Vert x \Vert^2 = \sum_{i=1}^{n} {x_i}^2 = X^TX}\]

    Si $A = (a_{ij})$ est la mat. de $f$ dans la b.o.n $\mathcal{B}$,
    \[\boxed{a_{ij} =\langle \varepsilon_i|f(\varepsilon_j) \rangle}\]
\end{multicols}

\vspace{0.1cm}

\section*{Algorithme de Gram-Schmidt}
On veut transformer $\mathcal{B} = (e_1,\dots,e_n)$ en une b.o.n $\mathcal{C} = (\varepsilon_1,\dots\varepsilon_n)$

\begin{multicols}{2}
    
    \subsection*{Etape 1}
    \[\varepsilon_1 = \frac{e_1}{\Vert e_1 \Vert}\]
    
    \subsection*{Etape 2}
    Soit $\hat{\varepsilon}_2 = e_2 - \lambda_1\varepsilon_1$\\
    $\hat{\varepsilon}_2 \perp \varepsilon_1 \iff \lambda_1 = \langle e_2|\varepsilon_1 \rangle$\\
    Il faut $\Vert \varepsilon_2 \Vert = 1$ donc $\displaystyle\varepsilon_2 = \frac{\hat{\varepsilon}_2}{\Vert \hat{\varepsilon}_2 \Vert}$
    
\end{multicols}

\subsection*{Etape n}
Soit $\hat{\varepsilon}_n = e_n - \sum_{i=1}^{n-1}\lambda_i\varepsilon_i$\\
$\forall i \in \llbracket 1,n-1 \rrbracket, \hat{\varepsilon}_n \perp \varepsilon_i \iff \lambda_i = \langle e_n|\varepsilon_i \rangle$\\
Il faut $\Vert \varepsilon_n \Vert = 1$ donc $\displaystyle\varepsilon_n = \frac{\hat{\varepsilon}_n}{\Vert \hat{\varepsilon}_n \Vert}$

\section*{Projection orthogonale}
On a $F$ un sev de dimension \underline{finie} de $E$ et $(\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_n)$ une b.o.n de $F$\\

\begin{multicols}{2}
    \subsection*{Projection orthogonale sur un sous-espace}
    \[\boxed{\forall x \in E, p(x) \in F \quad \mathrm{ et } \quad x-p(x) \perp F}\]

    \subsection*{Projeté orthogonal}
    \[\boxed{p(x) = \sum_{i=1}^{n}\langle x | \varepsilon_i \rangle \varepsilon_i}\]
\end{multicols}

\begin{multicols}{2}
    \subsection*{Théorème des moindres carrés}
    \[\boxed{\forall y \in F, \Vert x-p(x) \Vert \leq \Vert x-y \Vert}\]

    \subsection*{Inégalité de Bessel}
    \[\boxed{\Vert p(x) \Vert \leq \Vert x \Vert}\]
\end{multicols}

\subsection*{Distance à un sev}
\[\boxed{d(x,F) = \Vert x -p(x) \Vert = \underset{y \in F}{\mathrm{min}} \Vert x-y \Vert = \sqrt{\Vert x \Vert^2 - \Vert p(x)\Vert^2}}\]

\vspace{0.1cm}

\section*{Hyperplans}
\subsection*{Définition}
\begin{multicols}{2}
    \[\boxed{D^\perp = H}\]

    Si dimension finie :
    \[\boxed{H^\perp = D}\]
\end{multicols}

\subsection*{Théorème de représentation de Riesz}
Si $E$ est un espace vectoriel de \underline{dimension finie} :
\[\boxed{\forall \varphi : E \mapsto \mathbb{R}, \exists! \alpha \in E, \forall x \in E, \varphi(x) = \langle x | \alpha \rangle}\]
\end{document}