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\begin{document}
\setlength{\parindent}{0mm}

\title{Mécanique du Point}
\author{Aubin SIONVILLE}
\date{MPI Clemenceau - 2021-2023}
\maketitle

\centering
\section*{Cinématique}

\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
    \hline
    \rule{0pt}{4ex}Type & Cartésien & Cylindrique & Sphérique & Frénet \\
    \hline
    \rule{0pt}{4ex}Position & $x \overrightarrow{u_x} + y \overrightarrow{u_y} + z \overrightarrow{u_z}$ & $r \overrightarrow{u_r} + \theta \overrightarrow{u_\theta} + z \overrightarrow{u_z}$ & $r \overrightarrow{u_r} + \theta \overrightarrow{u_\theta} + \varphi \overrightarrow{u_\varphi}$ & $s \overrightarrow{T}$ \\ 
    \hline
    \rule{0pt}{4ex}Vitesse & $\dot{x} \overrightarrow{u_x} + \dot{y} \overrightarrow{u_y} + \dot{z} \overrightarrow{u_z}$ & $\dot{r} \overrightarrow{u_r} + r\dot{\theta} \overrightarrow{u_\theta} + \dot{z} \overrightarrow{u_z}$ & & $\dot{s} \overrightarrow{T}$ \\
    \hline
    \rule{0pt}{4ex}Accélération & $\ddot{x} \overrightarrow{u_x} + \ddot{y} \overrightarrow{u_y} + \ddot{z} \overrightarrow{u_z}$ & ($\ddot{r} - r\dot\theta^2) \overrightarrow{u_r} + (2r\dot{r}\dot{\theta} + r\ddot{\theta}) \overrightarrow{u_\theta} + \ddot{z} \overrightarrow{u_z}$ & & $\ddot{s} \overrightarrow{T} + \frac{\dot{s}^2}{R} \overrightarrow{N}$ \\
    \hline
\end{tabular}

\vspace{1cm}

\section*{Lois de Newton}
\begin{multicols}{3}
    \subsection*{Principe d'inertie}
    (Pour un système isolé)
    \[m \overrightarrow{v}_{\!\text{ref gali}} = \text{cst}\]

    \subsection*{Principe Fondamental de la Dynamique}
    \[\boxed{m \overrightarrow{a} = \sum \overrightarrow{F_i}}\]

    \subsection*{Principe des actions réciproques}
    \[\overrightarrow{F_{1/2}} = -\overrightarrow{F_{2/1}}\]
\end{multicols}

\vspace{0.5cm}

\section*{Forces Usuelles}
\begin{multicols}{2}
    \begin{itemize}
        \item Poids : $\boxed{\overrightarrow{F_p} = m \overrightarrow{g}}$
        \item Frottements fluides laminaires : $\boxed{\overrightarrow{F_f} = -\alpha \overrightarrow{v}}$
        \item Frottements fluides turbulents : $\boxed{\overrightarrow{F_f} = -\beta \|v\| \overrightarrow{v}}$
        \item Poussée d'Archimède : $\overrightarrow{\Pi_A} = -m_\text{fluide} \overrightarrow{g}$
        \item Réaction d'un support : $\boxed{\overrightarrow{R} = \overrightarrow{R_T} + \overrightarrow{R_N}}$
        \item Force de Hooke d'un ressort s'allongeant selon $\overrightarrow{u_x}$ : $\boxed{\overrightarrow{F_H} = -k(l-l_0)\overrightarrow{u_x}}$
    \end{itemize}
\end{multicols}

\newpage

\section*{Energétique}

\begin{multicols}{3}
    \subsection*{Puissance d'une force}
    \[\boxed{\mathcal{P}(\overrightarrow{F}) = \overrightarrow{F} \cdot \overrightarrow{v}}\]

    \subsection*{Travail infinitésimal d'une force}
    \[\boxed{\delta W(\overrightarrow{F}) = P(\overrightarrow{F})\mathrm{d}t = \overrightarrow{F}\cdot \mathrm{d}\overrightarrow{OM}}\]
    
    \subsection*{Travail d'une force}
    \[\boxed{W(\overrightarrow{F}) = \int_{M_1}^{M_2} \overrightarrow{F}\cdot\mathrm{d}\overrightarrow{OM} = \int_{t_1}^{t_2}\mathcal{P}(\overrightarrow{F})\mathrm{d}t}\]
\end{multicols}

\vspace{0.5cm}

\begin{multicols}{3}
    \subsection*{Energie cinétique}
    \[\boxed{\mathcal{E}_c = \frac{1}{2}mv^2}\]

    \subsection*{Energie potentielle}
    \[\boxed{\Delta \mathcal{E}_p = -W_{M_0\rightarrow M}} \quad\quad\quad \boxed{\delta \mathcal{E}_p = -\delta W}\]

    \subsection*{Energie mécanique}
    \[\boxed{\mathcal{E}_m = \mathcal{E}_c + \mathcal{E}_p}\]
\end{multicols}

\vspace{0.5cm}

\begin{multicols}{2}
    \subsection*{Théorème de la puissance cinétique}
    \[\boxed{\frac{\mathrm{d}\mathcal{E}_c}{\mathrm{d}t} = \mathcal{P}(\overrightarrow{F})}\]
    
    \subsection*{Théorème de la puissance mécanique}
    \[\boxed{\frac{\mathrm{d}\mathcal{E}_m}{\mathrm{d}t} = \mathcal{P}_{\text{\st{conservative}}}(\overrightarrow{F})}\]
    
    \subsection*{Théorème de l'énergie cinétique}
    \[\boxed{\Delta \mathcal{E}_c = W_{M_1 \rightarrow M_2}(\overrightarrow{F})}\]
    
    \subsection*{Théorème de l'énergie mécanique}
    \[\boxed{\Delta \mathcal{E}_m = W_{\text{\st{conservative}},M_1 \rightarrow M_2}(\overrightarrow{F})}\]
\end{multicols}

\vspace{0.5cm}

\subsection*{Force conservative}
$\overrightarrow{F}$ est conservative $\iff$ $W(\overrightarrow{F})$ ne dépend que de $M_1$ et $M_2$.
\\Exemples :
\begin{multicols}{3}
    \subsection*{Force uniforme}

    $\overrightarrow{F} = f\overrightarrow{u_x}$
    \[\mathcal{E}_p(M) = -f(x-x_0) +\mathcal{E}_p(M_0)\]

    \subsection*{Force harmonique}
    $\overrightarrow{F} = -kr\overrightarrow{u_r}$
    \[\mathcal{E}_p(M) = -\frac{1}{2}k(r^2-{r_0}^2) +\mathcal{E}_p(M_0)\]

    \subsection*{Force newtonienne}
    $\overrightarrow{F} = -\frac{k}{r^2}\overrightarrow{u_r}$
    \[\mathcal{E}_p(M) = -k\bigg(\frac{1}{r} - \frac{1}{r_0}\bigg) +\mathcal{E}_p(M_0)\]
\end{multicols}

\newpage

\section*{Forces Centrales}
\begin{multicols}{2}
    \subsection*{Force centrale}
    \[\overrightarrow{F} = F_r(r, \theta, \varphi)\overrightarrow{u_r}\]

    \subsection*{Intéraction Newtonienne}
    \[\overrightarrow{F} = -\frac{k}{r^2}\overrightarrow{u_r}\]
\end{multicols}

\subsection*{Forces centrales usuelles}
\begin{multicols}{2}
    \subsection*{Force gravitationnelle}
    \[\overrightarrow{F_{1/2}} = -\mathcal{G}\frac{m_1m_2}{r^2}\overrightarrow{u_r}\]

    \subsection*{Force de Coulomb}
    \[\overrightarrow{F_{1/2}} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q_1q_2}{r^2}\overrightarrow{u_r}\]
\end{multicols}

\subsection*{Conservation du moment cinétique}
\begin{multicols}{2}
    Force centrale de centre $O$ : \\
    \[\overrightarrow{L_O}(M) = \text{cst}\]

    \subsection*{Loi des aires}
    L'aire balayée par $\overrightarrow{OM}$ pendant $\Delta t$ est proportionnelle à $\Delta t$
\end{multicols}

\begin{multicols}{3}
    \subsection*{Force centrale conservative}
    \[\boxed{\overrightarrow{F} \text{ conservative } \iff F_r \propto r=OM}\]

    \subsection*{Lien avec l'énergie potentielle}
    \[\boxed{\overrightarrow{F} \text{ conservative } \implies \overrightarrow{F} = -\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}r}\mathcal{E}_p\overrightarrow{u_r}}\]

    \subsection*{Conservation de l'énergie mécanique}
    \[\boxed{\mathcal{E}_m = \frac{1}{2}m\dot{r}^2 + \mathcal{E}_{p,\text{eff}}}\]
\end{multicols}

\vspace{0.3cm}

\subsection*{Cas particulier : Intéraction gravitationnelle}
\begin{multicols}{2}
    \subsection*{Force gravitationnelle}
    \[\overrightarrow{F_{1/2}} = -G\frac{mM}{r^2}\overrightarrow{u_r}\]
    
    \subsection*{Conservation du moment cinétique}
    \[r\dot{\theta}^2 = C (\text{cst})\]

    \subsection*{Energie potentielle gravitationnelle}
    \[\mathcal{E}_p = -G\frac{mM}{r}\]

    \subsection*{Conservation de l'énergie mécanique}
    \[\mathcal{E}_m = \frac{1}{2}m\dot{r}^2 + \frac{1}{2}\frac{C^2}{r^2} - G\frac{mM}{r}\]
\end{multicols}

\begin{multicols}{2}
    \subsection*{Etat lié}
    Etat lié : trajectoire circulaire ou elliptique

    \subsection*{Etat de diffusion}
    Etat de diffusion : trajectoire hyperbolique (ciao)
\end{multicols}

\vspace{0.3cm}

\section*{Lois de Kepler}
\begin{multicols}{3}
    \subsection*{Loi des orbites}
    Chaque planète décrit, selon un mouvement périodique, une trajectoire elliptique dont le Soleil est un foyer.

    \subsection*{Loi des aires}
    L'aire balayée par le rayon vecteur planète-Soleil est proportionnelle au temps mis pour la parcourir.

    \subsection*{Loi des périodes}
    Si $T$ est la période de révolution d'une planète autour du Soleil et $a$ le demi-grand axe de son orbite, alors $\frac{T^2}{a^3} = \frac{4\pi^2}{G(M_\text{soleil})}$
\end{multicols}

\end{document}