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\begin{document}
\setlength{\parindent}{0mm}
% Distance between columns in multicols

\title{Probabilités}
\author{Aubin SIONVILLE}
\date{MPI Clemenceau - 2021-2023}
\maketitle

\centering

\section*{Définitions}

\begin{multicols}{2}
        \subsection*{Tribu}
    $\mathcal{A} \subseteq \mathcal{P}(\Omega)$ est une tribu si
    \begin{itemize}
        \item $\displaystyle\Omega \in \mathcal{A}$
        \item $\displaystyle A \in \mathcal{A} \Longrightarrow \overline{A} \in \mathcal{A}$
        \item $\displaystyle\forall n \in \mathbb{N}, A_n \in \mathcal{A} \Longrightarrow \bigcup_{n \in \mathbb{N}} A_n \in \mathcal{A}$
    \end{itemize}

    \subsection*{Probabilité}
    Une probabilité sur $(\Omega, \mathcal{A})$ est une fonction $P : \mathcal{A} \rightarrow [0,1]$ telle que $P(\Omega) = 1$\newline

    Un événement $A$ est dit impossible si $A = \varnothing$, presque impossible si $P(A) = 0$.\\
    Un événement $A$ est dit certain si $A = \Omega$, presque certain si $P(A) = 1$.
\end{multicols}

\section*{Propriétés}

\begin{multicols}{2}
    \centering\subsection*{Croissance}
    \[A \subset B \Longrightarrow P(A) \leq P(B)\]

    \subsection*{Sous-additivité}
    \[\boxed{P\bigg(\bigcup_{i=1}^n A_i \bigg) \leq \sum_{i=1}^n P(A_i)}\]

    \subsection*{Additivité}
    \[\boxed{P\bigg(\bigcup_{i=1}^n A_i \bigg) = \sum_{i=1}^n P(A_i) \textbf{ \underline{si union disjointe}}}\]

    \subsection*{Continuité croissante}
    \[\boxed{\forall n, A_n \subset A_{n+1} \Longrightarrow P\bigg(\bigcup_{n \in \mathbb{N}} A_n \bigg) = \lim_{n \to +\infty} P(A_n)}\]

    \subsection*{Système complet}
    Une famille d'événements $(A_i)_i\in I$ est un système complet d'événements si leur union est disjointe et certaine i.e.
    \[\boxed{\forall (i \neq j) \in I^2, A_i \cap A_j = \varnothing \text{ et } \bigcup_{i \in I} A_i = \Omega}\]

    \subsection*{Union}
    \[\boxed{P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)}\]

    \subsection*{$\sigma$-sous-additivité}
    \[\boxed{P\bigg(\bigcup_{n \in \mathbb{N}} A_n \bigg) \leq \sum_{n \in \mathbb{N}} P(A_n)}\]

    \subsection*{$\sigma$-additivité}
    \[\boxed{P\bigg (\bigcup_{n \in \mathbb{N}} A_n \bigg ) = \sum_{n \in \mathbb{N}} P(A_n) \textbf{ \underline{si union disjointe}}}\]
    
    \subsection*{Continuité décroissante}
    \[\boxed{\forall n, A_{n+1} \subset A_n \Longrightarrow P\bigg(\bigcap_{n \in \mathbb{N}} A_n \bigg) = \lim_{n \to +\infty} P(A_n)}\]

    \subsection*{Système quasi-complet}
    Une famille d'événements $(A_i)_i\in I$ est un système quasi-complet d'événements si leur intersection est disjointe et presque certaine i.e.
    \[\boxed{\forall (i \neq j) \in I^2, A_i \cap A_j = \varnothing \text{ et } P\bigg(\bigcup_{i \in I} A_i \bigg) = 1}\]

\end{multicols}

\vspace{0.5cm}

\section*{Indépendance}
    \subsection*{Définition}
    $P(A \cap B) = P(A)P(B)$

    \begin{multicols}{2}
    \centering\subsection*{Indépendance deux à deux}
    \[\boxed{\forall (i\neq j) \in I^2, P(A_i \cap A_j) = P(A_i)P(A_j)}\]

    \subsection*{Indépendance finie}
    \[\boxed{\forall J \subseteq I \text{ fini, non vide}, P\bigg(\bigcap_{j \in J} A_j \bigg) = \prod_{j \in J} P(A_j)}\]

\end{multicols}
\subsection*{Indépendance infinie}
\[\boxed{P\bigg(\bigcap_{n \in \mathbb{N}} A_n \bigg) = \lim_{n \to \infty} \prod_{i=1}^n P(A_i)}\]

\hspace{1cm}

\section*{Formules importantes}

\subsection*{Probabilités conditionnelles}
Si $P(A) \neq 0$,
\[\boxed{P_A(B) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}}\]
Si $A$ et $B$ sont indépendants, alors $P_A(B) = P(B)$
Si $A \subseteq B$, alors $P_A(B) = 1$

\subsection*{Probabilités totales}
\begin{multicols}{2}
    Si $(A_i)_i \in I$ est un système complet d'événements, alors
    \[\boxed{P(B) = \sum_{i \in I} P(B \cap A_i)}\]
    
    Si de plus, $\forall i, P(A_i) > 0$, alors
    \[\boxed{P(B) = \sum_{i \in I} P_{A_i}(B)P(A_i)}\]
\end{multicols}

\vspace{0.3cm}

\subsection*{Probabilités composées}
Si $P(A_1 \cap \dots \cap A_n) \neq 0$, alors
\[\boxed{P(A_1 \cap \dots \cap A_n) = P(A_1)\times P_{A_1}(A_2)\times P_{A_1 \cap A_2}(A_3)\dots P_{A_1 \cap \dots \cap A_{n-1}}(A_n)}\]

\vspace{0.3cm}

\subsection*{Formule de Bayes}
\begin{multicols}{2}
    Si $P(A) \neq 0$ et $P(B) \neq 0$, alors
    \[\boxed{P_B(A) = \frac{P(A)\times P_{A}(B)}{P(B)}}\]
    $\underset{\ }{\ }$
    
    Si $(A_i)_{i \in I}$ est un système quasi-complet d'événements tous de probabilité non nulle, alors
    \[\boxed{\forall i \in J, P_{B}(A_i) = \frac{P(A_i)\times P_{A_i}(B)}{\sum_{j \in J} P(A_j)\times P_{A_j}(B)}}\]
\end{multicols}

\newpage

\section*{Variables aléatoires}

\begin{multicols}{2}

    \subsection*{Espérance}
    Si la série $\sum a_iP(X=a_i)$ converge absolument,
    \[\boxed{E(X) = \sum_{i \in I} a_iP(X=a_i)}\]
    
    \subsection*{Variance}
    Si $X^2$ est d'espérance finie, $X$ aussi et
    \[\boxed{V(X) = E(X^2) - [E(X)]^2}\]
    
    \subsection*{Moment}
    Si la série $\sum a_i^kP(X=a_i)$ converge absolument, on dit que $X$ a un moment d'ordre $k$ :
    \[\boxed{\sum_{i \in I} a_i^kP(X=a_i)}\]

    \subsection*{Ecart-type}
    $\sigma(X)$ est l'écart-type de $X$ :
    \[\boxed{\sigma(X) = \sqrt{V(X)}}\]
\end{multicols}

\subsection*{Linéarité ?}
\begin{multicols}{2}
    \[\boxed{E(aX + b) = aE(X) + b}\]

    \[\boxed{V(aX + b) = a^2V(X)}\]
\end{multicols}

\section*{Lois de probabilités}

\vspace{0.3cm}

\subsection*{Loi Binonomiale : $X \sim \mathcal{B}(n, p)$}

Nombre de succès parmis $n$ épreuves de Bernoulli indépendantes de probabilité de succès $p$ (et d'échec $q = 1-p$).

\begin{multicols}{4}
    \[\boxed{X(\Omega) = \llbracket 0, n \rrbracket}\]

    \[\boxed{P(X = k) = \binom{n}{k}p^k q^{n-k}}\]
    
    \[\boxed{E(X) = np}\]

    \[\boxed{V(X) = npq}\]
\end{multicols}

\vspace{0.3cm}

\subsection*{Loi géométrique : $X \sim \mathcal{G}(p)$}

Temps avant le premier succès d'une suite d'épreuves de Bernoulli indépendantes de probabilité de succès $p$  (et d'échec $q = 1-p$).

\begin{multicols}{4}
    \[\boxed{X(\Omega) = \mathbb{N}}\]

    \[\boxed{P(X = k) = pq^{k-1}}\]
    
    \[\boxed{E(X) = \frac{1}{p}}\]
    
    \[\boxed{V(X) = \frac{q}{p^2}}\]
\end{multicols}

\vspace{0.3cm}

\subsection*{Loi de Poisson : $X \sim \mathcal{P}(\lambda)$}

Nombre de succès rares dans un intervalle de temps fixé.

\begin{multicols}{4}
    \[\boxed{X(\Omega) = \mathbb{N}}\]
    
    \[\boxed{P(X = k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}}\]
    
    \[\boxed{E(X) = \lambda}\]

    \[\boxed{V(X) = \lambda}\]
\end{multicols}

\newpage

\section*{Inégalités}

\begin{multicols}{2}
    \subsection*{Markov}
    Si $X$ est d'espérance finie,
    \[\forall a > 0, \boxed{P(X \geq a) \leq \frac{E(X)}{a}}\]

    \subsection*{Bienaymé-Tchebychev}
    Si $X^2$ est d'espérance finie,
    \[\forall a > 0, \boxed{P(|X - E(X)| \geq a) \leq \frac{V(X)}{a^2}}\]
\end{multicols}

\vspace{1cm}

\section*{Série génératrice}
    Si $X(\Omega) \subseteq \mathbb{N}$, la série génératrice de $X$ est la série
    \[\boxed{\textstyle\sum P(X=n)t^n}\]

    Son rayon de convergence est supérieur ou égal à $1$.\\
    $G_X : t \mapsto \sum P(X=n)t^n$ est définie et continue sur $[-1, 1]$, $\mathbb{C}^\infty$ sur $]-1, 1[$ et
    \[\boxed{\forall k \in \mathbb{N}, P(X=k) = \frac{G_X^{(k)}}{k!}}\]

\vspace*{0.5cm}

    \begin{multicols}{2}
        
        \subsection*{Espérance}
        \[\boxed{\begin{array}{c}
            X \text{ est d'espérance finie } \iff G_X \text{ est dérivable en } 1 \\
            \text{ et alors } E(X)=G_X'(1)
        \end{array}}\]
        
        \subsection*{Variance}
        \[\boxed{\begin{array}{c}
            X^2 \text{ est d'espérance finie } \iff G_X \text{ est deux fois dérivable en } 1 \\
            \text{ et alors } V(X) = G_X''(1)+G_X'(1)-(G_X'(1))^2
        \end{array}}\]
    \end{multicols}

\newpage

\section*{Couples de variables aléatoires discrètes}

\begin{multicols}{2}
    \subsection*{Couple de v.a.d}
    C'est aussi une v.a.d. par intersection de v.a.d.
    \[\boxed{\begin{array}{lll}
        (X,Y) : \Omega & \to & X(\Omega) \times Y(\Omega)\\
        \omega & \mapsto & (X(\omega),Y(\omega))
    \end{array}}\]

    \subsection*{Loi conjointe}
    Loi de proba de (X,Y) : loi conjointe :
    \[\boxed{\begin{array}{lll}
        \forall(i,j) \in I\times J,\\
        P((X,Y)=(a_i,b_i)) &=& P(X=a_i,Y=b_i) \\
        &=& P((X=a_i)\cap (Y=b_i))\\
        &=& p_{i,j} \in [0,1]
    \end{array}}\]

\end{multicols}

\vspace*{0.3cm}

\subsection*{Lois marginales}
\[\boxed{\begin{array}{ll}
    \forall i \in I, & P(X=a_i) = \sum_{j \in J}P(X=a_i,Y=b_j)\\
    \forall j \in J, & P(Y=b_j) = \sum_{i \in I}P(X=a_i,Y=b_j)
\end{array}}\]

La connaissance de la loi conjointe permet de connaître les lois marginales.\\
La réciproque n'est pas toujours vraie.

\vspace*{1cm}

\subsection*{Indépendance}
\[\boxed{\begin{array}{c}
    \text{Les v.a } X \text{ et } Y \text{ sont indépendantes } (X \independant Y)\\
    \iff \forall (a,b) \in X(\Omega) \times Y(\Omega), P(X=a,Y=b) = P(X=a)P(Y=b)
\end{array}}\]

Par définition, si $X$ et $Y$ sont indépendantes, alors les lois marginales permettent de retrouver la loi conjointe.

\vspace*{0.3cm}

\begin{multicols}{2}
    
    \subsection*{Indépendance deux à deux d'une famille de v.a.}
    \[\boxed{\begin{array}{c}
        \text{Si } \forall (i,j) \in I^2, i \neq j, \text{alors} \\
        \forall (a,b), P(X_i=a,X_j=b) = P(X_i=a)P(X_j=b)
    \end{array}}\]

    \subsection*{Indépendance d'une famille de v.a.}
    \[\boxed{\begin{array}{c}
        \text{Pour toute partie finie non vide } J \subset I\\
        \displaystyle\forall (a_j)j_{J}, P\Bigg(\bigcap_{j \in J}X_j=a_j\Bigg) = \prod_{j \in J}P(X_j=a_j)
    \end{array}}\]
\end{multicols}

\vspace*{1cm}

\begin{multicols}{2}
    \subsection*{Stabilité de l'indépendance}
    \[\boxed{\begin{array}{c}
        \text{Si } X \independant Y, \text{alors } \forall A \subset X(\Omega), \forall B \subset Y(\Omega)\\
        P(X \in A, Y \in B) = P(X \in A)P(Y \in B)
    \end{array}}\]

    \subsection*{Stabilité par les fonctions}
    \[\boxed{\begin{array}{c}
        \text{Si } X \independant Y,\\
        \text{alors } \forall (\varphi, \psi), \varphi(X) \independant \psi(Y)
    \end{array}}\]
\end{multicols}

\vspace*{0.3cm}

\subsection*{Stabilité par les fonctions (lemme des coalitions)}
\[\boxed{\begin{array}{c}
    \text{Si } (X_1, \dots, X_n) \text{ sont indépendantes }, \text{ alors }\\
    \forall (\varphi, \psi), \forall p \in \llbracket 1, n-1 \rrbracket, \varphi(X_1 \dots X_p) \independant \psi(Y_{p+1} \dots Y_n)
\end{array}}\]

\newpage

\section*{Sommes de variables aléatoires}

\begin{multicols}{2}
    \subsection*{Somme de deux v.a.}
    \[\boxed{\forall \omega \in \Omega, Z(\omega) = X(\omega) + Y(\omega)}\]

    \subsection*{Loi de probabilité de la somme}
    \[\boxed{\forall c \in Z(\Omega), P(Z=c) = \sum_{\substack{(i,j)\in I \times J \\ a_i+b_j=c} } p_{i,j}}\] 
\end{multicols}

\vspace*{0.3cm}

\begin{multicols}{2}
    \subsection*{Stabilité de la loi binomiale}
    \[\boxed{\begin{array}{c}
        \text{Si } X_1 \sim \mathcal{B}(n_1,p) \text{ et } X_2 \sim \mathcal{B}(n_2,p) \\ 
        \text{alors } X_1+X_2 \sim \mathcal{B}(n_1+n_2,p)
    \end{array}}\]
        
    \subsection*{Stabilité de la loi de Poisson}
    \[\boxed{\begin{array}{c}
        \text{Si } X_1 \sim \mathcal{P}(\lambda_1) \text{ et } X_2 \sim \mathcal{P}(\lambda_2) \\
        \text{alors } X1+X2 \sim \mathcal{P}(\lambda_1+\lambda_2)
    \end{array}}\]
\end{multicols}

\vspace*{0.5cm}

\begin{multicols}{2}
    
    \subsection*{Espérance de la somme}
    \[\boxed{\begin{array}{c}
        \text{Si } X \text{ et } Y \text{ sont d'espérance finie } \text{alors } X+Y \text{ aussi et }\\
        \mathbb{E}(X+Y) = \mathbb{E}(X) + \mathbb{E}(Y)
    \end{array}}\]
    
    \subsection*{Linéarité de l'espérance}
    \[\boxed{\begin{array}{c}
        \forall \alpha \in \mathbb{R}, \forall \beta \in \mathbb{R},\\
        E(\alpha X + \beta Y) = \alpha E(X) + \beta E(Y)
    \end{array}}\]
\end{multicols}

\vspace*{0.3cm}

\begin{multicols}{2}
    \subsection*{Covariance}
    \[\boxed{\begin{array}{lll}
        \mathrm{Cov}(X,Y) &=& E[(X-\mathbb{E}(X))(Y-\mathbb{E}(Y))]\\
        &=& E(XY) - E(X)E(Y)
    \end{array}}\]

    \subsection*{Variance}
    \[\boxed{\begin{array}{c}
        \text{Si } X^2 \text{ et } Y^2 \text{ sont d'espérance finie }\\
        \text{alors } V(X+Y) = V(X) + V(Y) + 2\mathrm{Cov}(X,Y)
    \end{array}}\]
\end{multicols}

\vspace*{0.3cm}

\subsection*{Inégalités de l'espérance et de la covariance}
\begin{multicols}{2}
    Si \underline{$X^2$ et $Y^2$ sont d'espérance finie}, alors :
    \[\boxed{[E(XY)]^2 \leq E(X^2)E(Y^2)}\]
    
    Si \underline{$X^2$ et $Y^2$ sont d'espérance finie}, alors :
    \[\boxed{[\mathrm{Cov}(X,Y)]^2 \leq V(X)V(Y)}\]
\end{multicols}

\vspace*{0.5cm}

\begin{multicols}{2}
    \subsection*{Corrélation}
    \[\boxed{\begin{array}{c}
        \text{Si } X^2 \text{ et } Y^2 \text{sont d'espérance finie, alors},\\
        X \text{ et } Y \text{ ne sont pas correlées} \iff \mathrm{Cov}(X,Y) = 0
    \end{array}}\]
    
    \subsection*{Conséquences de la corrélation}
    $\boxed{\text{Si } X \independant Y}$, alors :
    \[\boxed{
        \mathrm{Cov}(X,Y) = 0
        \begin{array}{cc}
            \iff & E(X,Y) = E(X)E(Y) \\
            \iff & V(X+Y) = V(X) + V(Y)
        \end{array}
    }\]    
\end{multicols}

\[\boxed{X \independant Y \substack{\implies \\ \centernot\impliedby} X \text{ et } Y \text{ non correlées}}\]

\vspace*{0.3cm}

\begin{multicols}{2}
    \subsection*{Variance et indépendance}
        \[\boxed{\begin{array}{c}
            \text{Si } (X_1 \dots X_n) \text{ sont deux à deux indépendantes, alors }\\
            V(\sum_{i=1}^n X_i) = \sum_{i=1}^n V(X_i)
        \end{array}}\]

    \subsection*{Série génératrice et indépendance}
        \[\boxed{\begin{array}{c}
            \text{Si } X(\Omega) \subset \mathbb{N} \text{ et } Y(\Omega) \subset \mathbb{N} et X \independant Y, \text{ alors},\\
            \forall t \in [-1,1], G_{X+Y}(t) = G_X(t)G_Y(t)
        \end{array}}\]
\end{multicols}

\newpage

\section*{Loi faible des grands nombres}
Soit $(X_k)$ une suite de v.a.d. et $\displaystyle \forall n \in \mathbb{N}^*, Z_n = \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}X_k$\\
Si les $X_k$ sont \underline{indépendantes} et de \underline{même espérance finie $\mu$} et de \underline{même variance finie $\sigma^2$}, alors :
\[\boxed{\forall a > 0, P(|A_n-\mu| \geq a) \leq \frac{\sigma^2}{na^2} \lim_{n \to +\infty} 0}\]

\end{document}