\documentclass{article}
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\begin{document}
\setlength{\parindent}{0mm}

\title{Espaces Vectoriels Normés}
\author{Aubin SIONVILLE}
\date{MPI Clemenceau - 2021-2023}
\maketitle

\centering

\section*{Normes}

\[\boxed{|| \cdot || \text{ est une norme sur E} \iff \forall (x,y,\alpha) \in E^2\times \mathbb{K},
\begin{cases}
    || x + y || \leq || x || + || y || \\
    || \alpha x || = |\alpha| || x || \\
    || x || = 0 \implies x = 0    
\end{cases}}\]

\vspace*{0.3cm}

\subsection*{Normes usuelles sur $\mathbb{R}^n$ ou $\mathbb{C}^n$}

\begin{multicols}{3}
    \[\boxed{|| x ||_1 = \sum_{i=1}^n |x_i|}\]

    \[\boxed{|| x ||_2 = \sqrt{\sum_{i=1}^n |x_i|^2}}\]

    \[\boxed{|| x ||_\infty = \max_{i=1,\dots,n} |x_i|}\]
\end{multicols}

\subsection*{Normes usuelles sur $\mathcal{C}([a,b], \mathbb{K})$}

\begin{multicols}{3}
    \[\boxed{|| f ||_1 = \int_a^b |f(x)|\,dx}\]
    
    \[\boxed{|| f ||_2 = \sqrt{\int_a^b |f(x)|^2\,dx}}\]
    
    \[\boxed{|| f ||_\infty = \sup_{x \in [a,b]} |f(x)|}\]
\end{multicols}

\vspace*{0.0cm}

\subsection*{Distance associée à une norme}
\[\boxed{\begin{array}{cccc}
    d : & E^2 & \to & \mathbb{R}^+ \\
    & (x,y) & \mapsto & N(y-x)
\end{array}}\]

\begin{multicols}{2}
    \[\boxed{\forall (x,y) \in E^2, d(x,y) = 0 \iff x = y}\]

    \[\boxed{\forall (x,y,z) \in E^3, d(x,z) \leq d(x,y) + d(y,z)}\]
\end{multicols}

\vspace*{0.1cm}

\begin{multicols}{3}
    \subsection*{Boule ouverte de centre $a$ et de rayon $r$}
    \[\boxed{B(a,r) = \{x \in E \mid N(x-a) < r\}}\]
    
    \subsection*{Boule fermée de centre $a$ et de rayon $r$}
    \[\boxed{\bar{B}(a,r) = \{x \in E \mid N(x-a) \leq r\}}\]
    
    \subsection*{Sphère de centre $a$ et de rayon $r$}
    \[\boxed{\{x \in E \mid N(x-a) = r\}}\]
\end{multicols}

\subsection*{Caractère borné}

\begin{multicols}{3}
    \[\boxed{\begin{array}{c}
        \text{Une partie } A \subset E \text{ est bornée si} \\
        \exists M > 0, \forall x \in A, ||x|| \leq M
    \end{array}}\]

    \[\boxed{\begin{array}{c}
        \text{Une suite } u \text{ est bornée si} \\
        \exists M > 0, \forall n \in \mathbb{N}, ||u_n|| \leq M
    \end{array}}\]

    \[\boxed{\begin{array}{c}
        \text{Une fonction } f \text{ est bornée si} \\
        \exists M > 0, \forall x \in \mathbb{R}, ||f(x)|| \leq M
    \end{array}}\]
\end{multicols}

\section*{Comparer les normes}

\[\boxed{|| \cdot || \text{ et } N \text{ sont equivalentes si } \exists (\alpha, \beta) \in \mathbb{R}^2, \forall x \in E, \begin{cases} N(x) \leq \alpha ||x|| \\ ||x|| \leq \beta N(x) \end{cases}}\]

Sur un espace vectoriel \underline{de dimension finie}, $\boxed{\text{toutes les normes sont equivalentes}}$.

\vspace*{0.5cm}

\section*{Suites}

\subsection*{Limite de suite}
    Soit $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite dans $E$. $u_n \longrightarrow l$ si
    \[\boxed{\forall \epsilon > 0, \exists N \in \mathbb{N}, \forall n \geq N, ||u_n - l|| < \epsilon}\]

\subsection*{Convergence uniforme}
    La norme $\infty$ est la norme de la convergence uniforme : $\displaystyle||f||_\infty = \sup_{t \in I} |f(t)|$
    \[\boxed{f_n \underset{n\to+\infty}{\longrightarrow} f \iff ||f_n - f||_\infty \underset{n\to+\infty}{\longrightarrow} 0 \iff \sup_{t \in I} |f_n(t) - f(t)| \underset{n\to+\infty}{\longrightarrow} 0 \iff (f_n) \text{ cvu vers } f}\]

\vspace*{0.5cm}

\section*{Adhérence}
    \subsection*{Vecteur adhérent à un ensemble}
    \[\boxed{\begin{array}{c}
        l \in E \text{ est adhérent à } A \text{ si toute boule ouverte de centre } l \text{ rencontre } A : \\
        \forall r > 0, B(l,r) \cap A \neq \emptyset
    \end{array}}\]
    
\begin{multicols}{2}
    \subsection*{Adhérence d'un ensemble}
    \[\boxed{\bar{A} = \{l \in E \mid l \text{ est adhérent à } A\}}\]

    \subsection*{Caractérisation séquentielle de l'adhérence}
    \[\boxed{l \in E \text{ est adhérent à } A \iff \exists (u_n) \in A^\mathbb{N}, u_n \underset{n\to+\infty}{\longrightarrow} l}\]

\end{multicols}
\subsection*{Partie dense d'un ensemble}
\[\boxed{A \text{ est dense dans } E \iff \bar{A} = E}\]

\vspace*{0.3cm}

\section*{Continuité}

\begin{multicols}{2}
    \[\boxed{f \text{ est continue en } a \text{ si } f(x) \underset{x\to a}{\longrightarrow} f(a) \text{ pour tout } x \in E}\]

    \[\boxed{f \text{ est continue sur } I \text{ si } f \text{ est continue en tout point de } I}\]
\end{multicols}

\begin{multicols}{2}
    \[\boxed{\begin{array}{c}
        f \text{ est uniformément continue sur } I \text{ si }\\
        \forall \epsilon > 0, \exists \delta > 0, \forall x,y \in I, ||x-y|| < \delta \implies ||f(x) - f(y)|| < \epsilon
    \end{array}}\]

    \[\boxed{\begin{array}{c}
        f \text{ est K-lipschitzienne sur } I \text{ si }\\
        \forall x,y \in I, ||f(x) - f(y)|| \leq K||x-y||
    \end{array}}\]
\end{multicols}

\[\boxed{\text{lipschitzienne} \implies \text{uniformément continue} \implies \text{continue}}\]

\subsection*{Linéarité et continuité}

\[\boxed{\text{Si } f \text{ est \underline{linéaire}}, \quad f \text{ est continue sur E} \begin{array}{l}
    \iff \text{f est continue en } 0 \\
    \iff \text{f est bornée sur la boule unite de } E\\
    \iff \exists K \in \mathbb{R}, \forall x \in E, ||f(x)|| \leq K||x||\\
    \iff f \text{ est lipschitzienne sur } E\\
    \iff f \text{ est uniformément continue sur } E
\end{array}}\]
    
\[\boxed{\text{Si } f : E\to F \text{ est \underline{linéaire} et } E \text{ \underline{de dimension finie}}, \quad f \text{ est lipschitzienne donc continue sur } E}\]

\vspace*{0.3cm}

\subsection*{Multilinearité et continuité}

Soit une norme $||(x_1, \dots, x_n)|| = \max \{||x_1||, \dots, ||x_n||\}$ sur $E_1 \times \dots \times E_n$.\\
Soit $f : E_1 \times \dots \times E_n \to F$ une fonction \underline{multilinéaire}.
\[\boxed{f \text{ est continue } \iff \exists K \in \mathbb{R}, \forall (x_1 \dots x_n) \in \prod_{i=1}^{n}E_i, \quad ||f(x_1, \dots, x_n)|| \leq K||x_1|| \dots ||x_n||}\]

C'est en particulier le cas si les $E_i$ sont de dimension finie.

\vspace*{0.5cm}

\section*{Norme subordonnée}

\[\boxed{\begin{array}{c}
    \forall f \in \underset{\text{f° linéaires et continues}}{\mathcal{L}_c(E,F)},\\
    \displaystyle|||f||| \text{ est le plus petit K tel que } \forall x \in E, ||f(x)|| \leq K||x|| :\\
    \displaystyle|||f||| = \sup_{x \neq 0_E} \frac{||f(x)||}{||x||} = \sup_{||x|| = 1} ||f(x)||
\end{array}}\]

\subsection*{Sous-multiplicativité}
\[\boxed{||| \cdot ||| \text{ est sous-multiplicative} : \quad \forall (f,g) \in \mathcal{L}_c(E,F), |||f \circ g||| \leq |||f|||\ |||g|||}\]

\vspace*{0.5cm}

\section*{Ouverts et fermés}

\begin{multicols}{3}
    \subsection*{Point intérieur à $A$}
    \[\boxed{\begin{array}{c}
        x \in A \text{ est intérieur à } A \text{ si }\\
        \exists \varepsilon > 0, B(x,\varepsilon) \subset A
    \end{array}}\]

    \subsection*{Ouvert}
    \[\boxed{\begin{array}{c}
        A \text{ est un ouvert si }\\
        \forall x \in A, \exists \varepsilon > 0, B(x,\varepsilon) \subset A
    \end{array}}\]

    \subsection*{Fermé}
    \[\boxed{\begin{array}{c}
        A \text{ est un fermé si }\\
        E\setminus A \text{ est ouvert}
    \end{array}}\]
\end{multicols}

L'image réciproque ($f^{-1}$) par une fonction \underline{continue} d'un $\Big|\!\!\!\begin{array}{l}\text{ouvert}\\ \text{fermé}\end{array}$ est un $\Big|\!\!\!\begin{array}{l}\text{ouvert}\\ \text{fermé}\end{array}$.

\vspace*{0.3cm}

Soit $A$ une partie d'un espace vectoriel $E$.
\begin{multicols}{3}
    \[\boxed{\bar{A} \text{ est un fermé de } E}\]

    \[\boxed{A \text{ est un fermé de E } \iff \bar{A} = A}\]

    \[\boxed{\begin{array}{c}
        A \text{ est un fermé de E } \iff \forall (u_n) \in A^\mathbb{N},\\
        (u_n) \text{ cv } \implies \lim_{n \to \infty} u_n \in A
    \end{array}}\]
\end{multicols}

\end{document}