\documentclass{article}
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\begin{document}
\setlength{\parindent}{0mm}

\title{Arithmétique}
\author{Aubin SIONVILLE}
\date{MPI Clemenceau - 2021-2023}
\maketitle

\centering

\section*{Définitions}

\subsection*{Nombres associés}
    \[(a,b) \in \mathbb{Z} \text{ associés si } a=b \text{ ou } a = -b\] 

\subsection*{Division euclidienne}
    \begin{multicols}{2}
        Hypothèse : $a \in \mathbb{Z}, b \in \mathbb{Z}^*$
        \[\boxed{\exists! (q,r) \in \mathbb{Z}^2, \begin{cases} a = bq + r \\ 0 \leq r < |b| \end{cases}}\]

        \[\begin{array}{ccc}r = 0 &\iff& a \mid b \\a \equiv b \pmod{c} &\iff& c \mid (b-a)\end{array}\]
    \end{multicols}

\section*{PGCD et PPCM}

    \begin{multicols}{2}
        \subsection*{PGCD}
            Le plus grand diviseur commun à $a,b \in \mathbb{Z}^2$ : $\boxed{\mathrm{PGCD}(a,b) \text{ ou } a\wedge b}$
        
        \subsection*{Diviseurs}
            Hypothèses : $d = a \wedge b$ et $D = \{k \in \mathbb{Z}\ \ | k \mid a \text{ et } k \mid b\}$
            \[\boxed{\forall k \in \mathbb{Z}, k \in D \iff k \mid d}\]

        \subsection*{PPCM}
            Le plus petit élément de $\{k \in \mathbb{N}|\ \  a\mid k \text{ et } b\mid k\}$ : $\boxed{\mathrm{PPCM}(a,b) \text{ ou } a\vee b}$

        \subsection*{PGCD et PPCM}
            \[\boxed{\forall (a,b) \in \mathbb{Z}^2, (a\wedge b)(a\vee b) = ab}\]
    \end{multicols}

\section*{Théorèmes d'arithmétique}

    \begin{multicols}{2}
        \subsection*{Théorème d'Euclide}
        Hypothèse : $r$ est le reste de $a/b$
        \[\boxed{a \wedge b = b \wedge r}\]

        \subsection*{Théorème de Bézout}
        Hypothèse : $d = a \wedge b$
        \[\boxed{\exists (u,v) \in \mathbb{Z}^2, d = au + bv}\]

        \subsection*{Théorème de Gauss}
        Hypothèse : $a \wedge b = 1$ et $a \mid bc$
        \[\boxed{a \mid c}\]

        \subsection*{Petit théorème de Fermat}
        Hypothèse : $p$ est premier
        \[\boxed{a^{p} \equiv a \pmod{p}}\]
    \end{multicols}

\section*{Nombres premiers}

Si $\displaystyle a = \prod_{p\in \mathbb{P}} p^{\alpha(p)}$ et $\displaystyle b = \prod_{p\in \mathbb{P}} p^{\beta(p)}$ :

\begin{multicols}{3}
    \[\boxed{a\mid b \iff \forall p \in \mathbb{P}, \alpha(p) \geq \beta(p)}\]

    \[\boxed{a\wedge b = \prod_{p\in \mathbb{P}} p^{\min(\alpha(p),\beta(p))}}\]

    \[\boxed{a\vee b = \prod_{p\in \mathbb{P}} p^{\max(\alpha(p),\beta(p))}}\]
\end{multicols}

\end{document}