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\begin{document}
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\section*{Exercice 1}
\subsection*{Énoncé}

\begin{enumerate}
    \item On considère deux suites numériques $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ et $(v_n)_{n \in \mathbb{N}}$ telles que $(v_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est non nulle à partir d'un certain rang et $u_n \underset{+\infty}{\sim} v_n$.
    
    Démontrer que $u_n$ et $v_n$ sont de même signe à partir d'un certain rang.
    
    \item Déterminer le signe, au voisinage de l'infini, de : $\displaystyle u_n = \mathrm{sh}\bigg(\frac{1}{n}\bigg) - \tan\bigg(\frac{1}{n}\bigg)$.
\end{enumerate}

\subsection*{Récap}

\begin{enumerate}
    
    \item Définition de $\sim$
    
        Poser $\displaystyle\varepsilon = \frac{1}{2}$
    
        Se ramener à $\displaystyle\frac{u_n}{v_n}$

    \item DL de $\mathrm{sh}$ et de $\tan$ à l'ordre 3
\end{enumerate}

\vspace*{0.5cm}

\section*{Exercice 2}
\subsection*{Énoncé}

On pose $\displaystyle f(x) = \frac{3x+7}{(x+1)^2}$.
\begin{enumerate}
    \item Décomposer $f(x)$ en éléments simples.
    
    \item En déduire que $f$ est développable en série entière sur un intervalle du type $]-r, r[$ (où $r > 0$).

        Préciser ce développement en série entière et déterminer, en le justifiant, le domaine de validité $D$ de ce développement en série entière.
    
    \item \begin{enumerate}
        \item Soit $\sum a_nx^n$ une série entière de rayon $R > 0$.
        
        On pose, pour tout $x \in ]-R, R[, \displaystyle g(x) = \sum_{n=0}^{+\infty}a_nx^n$.

        Exprimer, pour tout entier $p$, en le prouvant, $a_p$ en fonction de $g^{(p)}(0)$.

        \item En déduire le développement limité de $f$ à l'ordre $3$ au voisinage de $0$.
    \end{enumerate}
\end{enumerate}

\subsection*{Récap}

\begin{enumerate}
    \item $7 = 3 + 4$
    
    DSE de $\displaystyle\frac{1}{(x+1)}$ et $\displaystyle\frac{1}{(x+1)^2}$
    \item $] -1, 1[ \subset D$ puis divergence grossière ailleurs
    \item \begin{enumerate}
        \item Récurrence sur le nombre de dérivations
        \item Taylor-Young à l'ordre 3 avec $\mathcal{C^{\infty}} \implies \mathcal{C^3}$
    \end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\section*{Exercice 3}
\subsection*{Énoncé}

\begin{enumerate}
    \item On pose $\displaystyle g(x) = e^{2x}$ et $\displaystyle h(x) = \frac{1}{1+x}$.
    
        Calculer, pour tout entier naturel $k$, la dérivée d'ordre $k$ des fonctions $g$ et $h$ sur leurs ensembles de définition respectifs.

    \item On pose $\displaystyle f(x) = \frac{e^{2x}}{1+x}$.
    
        En utilisant la formule de Leibniz concernant la dérivée n-ième d'un produit de fonctions, déterminer, pour tout entier naturel $n$ et pout tout $x \in \mathbb{R}\setminus\{-1\}$, la valeur de $f^{(n)}(x)$.

    \item Démontrer dans le cas général, la formule de Leibniz, utilisée dans la question précédente.
\end{enumerate}

\subsection*{Récap}

\begin{enumerate}
    \item Récurrences : $\displaystyle (e^u) = u'\ e^u$ et $\displaystyle \bigg(\frac{1}{u}\bigg)' = -\frac{u'}{u^2}$
    \item Leibniz : Binôme de Newton avec les dérivées
        
        Attention : Hypothèse : $f$ et $g$ de classe $\mathcal{C}^n$
    \item Récurrence sur $n$
        
        Séparation des sommes, jeu sur les combinaisons pour avoir $\displaystyle \begin{pmatrix}n \\ k-1\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}n \\ k\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}n+1 \\ k\end{pmatrix}$
        
        Attention : Hypothèse : $f$ et $g$ de classe $\mathcal{C}^{n+1}$ (+1 pour la démonstration)
\end{enumerate}

\vspace*{0.5cm}

\section*{Exercice 4}
\subsection*{Énoncé}

\begin{enumerate}
    \item Énoncer le théorème des accroissements finis.
    \item Soit $f : [a,b] \to \mathbb{R}$ et soit $x_0 \in ]a,b[$.
    
        On suppose que $f$ est continue sur $[a,b]$ et que $f$ est dérivable sur $]a,x_0[$ et sur $]x_0, b[$.

        Démontrer que, si $f'$ admet une limite finie en $x_0$, alors $f$ est dérivable en $x_0$ et $f'(x_0) = \displaystyle\lim_{x \to x_0}f'(x)$.

    \item Prouver que l'implication : ($f$ est dérivable en $x_0$) $\implies$ ($f'$ admet une limite finie en $x_0$) est fausse.
    
        \textbf{Indication} : on pourra considérer la fonction $g$ définie par $g(x) = x^2\sin\bigg(\frac{1}{x}\bigg)$ si $x \neq 0$ et $g(0) = 0$.
\end{enumerate}

\subsection*{Récap}

\begin{enumerate}
    \item $\displaystyle \begin{cases}
        f\ \mathcal{C}^0 \text{ sur } [a,b] \\
        f\ \mathcal{D}^0 \text{ sur } ]a,b[ \\
    \end{cases} \implies \exists c \in ]a,b[, f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b-a}$

    \item Poser $h \neq 0$ tq $x_0 + h \in [a,b]$
        
        TAC et revenir à la définition de limite

    \item $g$ dérivable en $0$ (théorème des gendarmes) puis $\displaystyle \forall x \neq 0, g'(x) = \underset{\longrightarrow 0}{\underbrace{2x\sin\bigg(\frac{1}{x}\bigg)}}-\underset{\text{pas de limite}}{\underbrace{\cos\bigg(\frac{1}{x}\bigg)}}$
\end{enumerate}

\newpage

\section*{Exercice 5}
\subsection*{Énoncé}

\begin{enumerate}
    \item On considère la série de terme général $\displaystyle u_n = \frac{1}{n(\ln n)^\alpha}$ où $n \geqslant 2$ et $\alpha \in \mathbb{R}$
    \begin{enumerate}
        \item Cas $\alpha \leqslant 0$
        
        En utilisant une minoration très simple de $u_n$, démontrer que la série diverge.
        
        \item Cas $\alpha > 0$
        
        Étudier la nature de la série.

        \textbf{Indication} : on pourra utiliser la fonction $f$ définie par $\displaystyle f(x) = \frac{1}{x(\ln x)^\alpha}$.
    \end{enumerate}

    \item Déterminer la nature de la série $\displaystyle \sum_{n \geqslant 2} \frac{\Bigg(e-\bigg(1 + \frac{1}{n}\bigg)^n\bigg)e^{\frac{1}{n}}}{\big(\ln(n^2+n)\big)^2}$
\end{enumerate}

\subsection*{Récap}

PAS FAIT

\vspace*{0.5cm}

\section*{Exercice 6}
\subsection*{Énoncé}

Soit $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite de réels strictement positifs et $l$ un réel positif strictement inférieur à $1$.
\begin{enumerate}
    \item Démontrer que si $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} \frac{u_{n+1}}{u_n} = l$, alors la série $\displaystyle \sum u_n$ converge.
    
        \textbf{Indication} : écrire, judicieusement, la définition de $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} \frac{u_{n+1}}{u_n} = l$, puis majorer, pour $n$ assez grand, $u_n$ par le terme général d'une série géométrique.

    \item Quelle est la nature de la série $\displaystyle \sum_{n \geqslant 1} \frac{n!}{n^n}$ ?
\end{enumerate}

\subsection*{Récap}

\begin{enumerate}
    \item Poser $\displaystyle \varepsilon = \frac{1-l}{2}$ 
        
        Critère de majoration des séries à termes positifs,

    \item D'Alembert, qui donne $e^{f(n)}$ et $f(n) \underset{+\infty}{\sim} \-1$
\end{enumerate}

\newpage

\section*{Exercice 7}
\subsection*{Énoncé}

\begin{enumerate}
    \item Soient $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ et $(v_n)_{n \in \mathbb{N}}$ deux suites de nombres réels positifs.
    
        On suppose que $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ et $(v_n)_{n \in \mathbb{N}}$ sont non nulles à partir d'un certain rang.

        Montrer que $\displaystyle u_n \underset{+\infty}{\sim} v_n \implies \sum u_n \text{ et } \sum v_n$ sont de même nature.

    \item Étudier la convergence de la série $\displaystyle \sum_{n \geqslant 2} \frac{((-1)^n +i)\ln n \sin \bigg(\frac{1}{n}\bigg)}{\sqrt{n+3} - 1}$
    
        \textbf{Remarque} : $i$  désigne le nombre complexe de carré égal à $-1$.
\end{enumerate}

\subsection*{Récap}

\begin{enumerate}
    \item Définition de $\sim$ avec $\varepsilon$

        Poser $\displaystyle\varepsilon = \frac{1}{2}$ puis encadrer $\displaystyle\frac{u_n}{v_n}$

        Cas $\sum v_n$ cv et $\sum v_n$ dv puis symétrie

    \item Prendre un équivalent de $|u_n|$
\end{enumerate}

\vspace*{0.5cm}

\section*{Exercice 8}
\subsection*{Énoncé}

\begin{enumerate}
    \item Soit $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite décroissante positive de limite nulle.

    \begin{enumerate}
        \item Démontrer que la série $\displaystyle \sum (-1)^k u_k$ est convergente.
        
            \textbf{Indication} : On pourra considérer $(S_{2n})_{n \in \mathbb{N}}$ et $(S_{2n+1})_{n \in \mathbb{N}}$ avec $S_n = \displaystyle \sum_{k=0}^n (-1)^k u_k$.

        \item Donner une majoration de la valeur absolue du reste de la série $\displaystyle \sum (-1)^k u_k$.
    \end{enumerate}

    \item On pose : $\displaystyle\forall n \in \mathbb{N}^*, \forall x \in \mathbb{R}, f_n(x) = \frac{(-1)^n e^{-nx}}{n}$.
    
    \begin{enumerate}
        \item Étudier la convergence simple sur $\mathbb{R}$ de la série de fonctions $\displaystyle \sum_{n \geqslant 1} f_n$.
        
        \item Étudier la convergence uniforme sur $[0, +\infty[$ de la série de fonctions $\displaystyle \sum_{n \geqslant 1} f_n$.
    \end{enumerate}
\end{enumerate}

\subsection*{Récap}

PAS FAIT

\newpage

\section*{Exercice 9}
\subsection*{Énoncé}

\begin{enumerate}
    \item Soit $X$ un ensemble, $(g_n)$ une suite de fonctions de $X$ dans $\mathbb{C}$ et $g$ une fonction de $X$ dans $\mathbb{C}$.
    
        Donner la définition de la convergence uniforme sur $X$ de la suite de fonctions $(g_n)$ vers $g$.

    \item On pose $\displaystyle f_n(x) = \frac{n+2}{n+1}e^{-nx^2}\cos(\sqrt{n}x)$.
    \begin{enumerate}
        \item Étudier la convergence simple de la suite de fonctions $(f_n)$.
        \item La suite de fonctions $(f_n)$ converge-t-elle uniformément sur $[0, +\infty[$ ?
        \item Soit $a > 0$. La suite de fonctions $(f_n)$ converge-t-elle uniformément sur $[a, +\infty[$ ?
        \item La suite de fonctions $(f_n)$ converge-t-elle uniformément sur $]0, +\infty[$ ?
    \end{enumerate}
\end{enumerate}

\subsection*{Récap}

\begin{enumerate}
    \item Les $f_n$ définies sur $\mathbb{R}^+$
    \item \begin{enumerate}
        \item Cas $x = 0$ et $x \neq 0$
        \item Continuité
        \item Majoration avec $\displaystyle\frac{n+2}{n+1}e^{-na^2}$
        \item Attention : existence du sup
            
            Appliquer $|f_n - f|$ aux $\displaystyle u_n = \frac{1}{\sqrt{n}}$
    \end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace*{0.5cm}

\section*{Exercice 10}
\subsection*{Énoncé}

On pose $f_n(x) = (x^2 + 1)\frac{ne^x + xe^{-x}}{n+x}$.

\begin{enumerate}
    \item Démontrer que la suite de fonctions $(f_n)$ converge uniformément sur $[0,1]$.
    \item Calculer $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} \int_0^1 (x^2 + 1)\frac{ne^x + xe^{-x}}{n+x} \text{d}x$.
\end{enumerate}

\subsection*{Récap}

\begin{enumerate}
    \item Poser $f : x \mapsto (x^2+1)e^x$
    
        Majorer $|f_n(x) - f(x)|$ par $\displaystyle\frac{2e}{n}$

    \item Interversion limite-intégrale

        Séparer $(x^2+1)$ en $x^2$ et $1$
\end{enumerate}

\newpage

\section*{Exercice 11}
\subsection*{Énoncé}

\begin{enumerate}
    \item Soit $X$ une partie de $\mathrm{R}$, $(f_n)$ une suite de fonctions de $X$ dans $\mathbb{R}$ convergeant simplement vers une fonction $f$.
    
        On suppose qu'il existe une suite $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}$ d'éléments de $X$ telle que la suite $(f_n(x_n) - f(x_n))_{n \in \mathbb{N}}$ ne tende pas vers $0$.

        Démontrer que la suite de fonctions $(f_n)$ ne converge pas uniformément vers $f$ sur $X$.

    \item Pour tout $x \in \mathbb{R}$, on pose $\displaystyle f_n(x) = \frac{\sin{nx}}{1+n^2x^2}$.
    
    \begin{enumerate}
        \item Étudier la convergence simple de la suite $(f_n)$.
        \item Étudier la convergence uniforme de la suite $(f_n)$ sur $[a, +\infty[$ avec $a > 0$, puis sur $[0, +\infty[$.
    \end{enumerate}
\end{enumerate}

\subsection*{Récap}

\begin{enumerate}
    \item Par contraposée, contradiction avec $(f_n(x_n) - f(x_n)) \not\longrightarrow 0$
    \item \begin{enumerate}
        \item Cas $x = 0$ et $x \neq 0$
        \item Majoration par $\displaystyle \frac{1}{1+n^2a^2}$
        
            Contre exemple avec $x_n = \displaystyle \frac{\pi}{2n}$ pour $[0, +\infty[$
    \end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace*{0.5cm}

\section*{Exercice 12}
\subsection*{Énoncé}

\begin{enumerate}
    \item Soit $(f_n)$ une suite de fonctions de $[a,b]$ dans $\mathbb{R}$.
    
        On suppose que la suite de fonctions $(f_n)$ converge uniformément sur $[a,b]$ vers une fonction $f$, et que, pour tout $n \in \mathbb{N}$, $f_n$ est continue en $x_0$, avec $x_0 \in [a,b]$.

        Démontrer que $f$ est continue en $x_0$.

    \item On pose : $\forall n \in \mathbb{N}^*, \forall x \in [0,1], g_n(x) = x^n$.
    
        La suite de fonctions $(g_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ converge-t-elle uniformément sur $[0,1]$ ?
\end{enumerate}

\subsection*{Récap}

\begin{enumerate}
    \item Poser $\varepsilon > 0$ puis cas particulier $|f(x) - f_N(x)| \leqslant \varepsilon$
    
        Continuité de $f_N$

        Inégalité triangulaire : $|f(x) - f(x_0)| \leqslant |f(x) - f_N(x_0)| + |f_N(x_0) - f(x_0)|$

    \item Non continuité de $g$
\end{enumerate}

\newpage

\section*{Exercice 13}
\subsection*{Énoncé}

\begin{enumerate}
    \item Rappeler, oralement, la définition, par les suites de vecteurs, d'une partie compacte d'un espace vectoriel normé.
    \item Démontrer qu'une partie compacte d'un espace vectoriel normé est une partie fermée de cet espace.
    \item Démontrer qu'une partie compacte d'un espace vectoriel normé est une partie bornée de cet espace.
        
        \textbf{Indication} : On pourra raisonner par l'absurde.

    \item On se place sur $E = \mathbb{R}[X]$ muni de la norme $||\ ||_1$ définie pour tout polynôme $P = a_0 + a_1X + ... + a_nX^n$ de $E$ par $\displaystyle ||P||_1 = \sum_{i=0}^n |a_i|$.
    
        \begin{enumerate}
            \item Justifier que $S(0,1) = \{P \in \mathbb{R}[X] | ||P||_1 < 1\}$ est une partie fermée et bornée de $E$.
            \item Calculer $||X^n - X^m||_1$ pour $m$ et $n$ entiers naturels distincts.

                $S(0,1)$ est-elle une partie compacte de $E$ ? Justifier.
        \end{enumerate}
\end{enumerate}

\subsection*{Récap}

\begin{enumerate}
    \item $A$ compact $\iff$ toute suite de $A^\mathbb{N}$ admet une sous-suite qui cv vers $l \in A$
    \item Unicité de la limite
    \item Par l'absurde, supposer non bornée et montrer que $l \notin A$
    \item \begin{enumerate}
        \item Bornée : par définition
        \item Fermée : image réciproque du fermé $\{1\}$ par $||\cdot||$ (continue)
    \end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace*{0.5cm}

\section*{Exercice 14}
\subsection*{Énoncé}

\begin{enumerate}
    \item Soit $a$ et $b$ deux réels donnés avec $a < b$
    
        Soit $(f_n)$ une suite de fonctions continues sur $[a,b]$, à valeurs réelles.

        Démontrer que si la suite $(f_n)$ converge uniformément sur $[a,b]$ vers $f$, alors la suite $\displaystyle \bigg(\int_a^b f_n(x) \mathrm{d}x\bigg)$ converge vers $\displaystyle \int_a^b f(x) \mathrm{d}x$.

    \item Justifier comment ce résultat peut être utilisé dans le cas des séries de fonctions.

    \item Démontrer que $\displaystyle \int_0^{\frac{1}{2}}\bigg(\sum_{n=0}^{+\infty}x^n\bigg)\mathrm{d}x = \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n2^n}$.
\end{enumerate}

\subsection*{Récap}

\begin{enumerate}
    \item Inégalités avec la norme infinie et $displaystyle \bigg|\int f(x)\mathrm{d}x\bigg| \leqslant \int |f(x)|\mathrm{d}x$
    \item Utiliser $S_n$ et $S$ pour raisonner sur des sommes finalisée
    \item Utiliser la question $2$
\end{enumerate}

\newpage

\section*{Exercice 15}
\subsection*{Énoncé}

Soit $X$ une partie de $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$.

\begin{enumerate}
    \item Soit $\sum f_n$ une série de fonctions définies sur $X$ à valeurs sur $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$.
    
        Rappeler la définition de la convergence normale de $\displaystyle \sum f_n$ sur $X$, puis celle de la convergence uniforme de $\displaystyle \sum f_n$ sur $X$.

    \item Démontrer que toute série de fonctions, à valeurs dans $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$, normalement convergente sur $X$ est uniformément convergente sur $X$.
    \item La série de fonctions $\displaystyle \sum \frac{n^2}{n!}z^n$ est-elle uniformément convergente sur le disque fermé de centre $0$ et de rayon $R \in \mathbb{R}_+^*$ ?
\end{enumerate}

\subsection*{Récap}

\begin{enumerate}
    \item Penser à écrire les définitions
    \item Majorer par la somme de la série des $u_n$ majorant les $f_n$ ($\sum u_n$ cv par hypothèse)
    \item D'Alembert
\end{enumerate}

\vspace*{0.5cm}

\section*{Exercice 16}
\subsection*{Énoncé}

On considère la série de fonctions de terme général $u_n$ définie par $\displaystyle \forall n \in \mathbb{N}^*, \forall x \in [0,1], u_n(x) = \ln\bigg(1 + \frac{x}{n} \bigg) - \frac{x}{n}$.

On pose, lorsque la série converge, $S(x) = \displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} \bigg[\ln\bigg(1 + \frac{x}{n} \bigg) - \frac{x}{n}\bigg]$.

\begin{enumerate}
    \item Démontrer que $S$ est dérivable sur $[0,1]$.
    \item Calculer $S'(1)$.
\end{enumerate}

\subsection*{Récap}

\begin{enumerate}
    \item Montrer la cvs de la série des $u_n(x)$ pour la définition de la fonction
    
        Majoration des $u_n'(x)$ pour cvu, puis montrer $C^1$

    \item Téléscopage
\end{enumerate}

\newpage

\section*{Exercice 17}
\subsection*{Énoncé}

Soit $A \subset \mathbb{C}$ et $(f_n)$ une suite de fonctions de $A$ dans $\mathbb{C}$.

\begin{enumerate}
    \item Démontrer l'implication :
    
        $\displaystyle\bigg(\text{La série de fonctions } \sum f_n \text{ cvu sur } A \bigg) \implies \bigg(\text{La suite de fonctions } (f_n) \text{ cvu vers } 0 { sur } A \bigg)$

    \item On pose : $\forall n \in \mathbb{N}, \forall x \in [0, +\infty[, f_n(x) = nx^2 e^{-x\sqrt{n}}$.
    
        Prouver que $\displaystyle \sum f_n$ converge simplement sur $[0, +\infty[$.

        $\displaystyle \sum f_n$ converge-t-elle uniformément sur $[0, +\infty[$ ? Justifier.
\end{enumerate}

\subsection*{Récap}

\begin{enumerate}
    \item Poser $S_n$ et $S$ la suite des sommes et la somme, puis jouer avec les $||\cdot||_\infty$ et relation de Chasles
    \item Disjonction $x = 0$ et $x \neq 0$, montrer $\displaystyle f_n(x) = o\bigg(\frac{1}{n^2}\bigg)$ dans le $2^e$ cas
    
        Majorer la norme infinie avec $\displaystyle f_n\bigg(\frac{1}{\sqrt{n}}\bigg)$
\end{enumerate}

\vspace*{0.5cm}

\section*{Exercice 18}
\subsection*{Énoncé}

On pose $\displaystyle\forall n \in \mathbb{N}^*, \forall x \in \mathbb{R}, u_n(x) = \frac{(-1)^nx^n}{n}$.

On considère la série de fonctions $\displaystyle \sum_{n \geqslant 1} u_n$.

\begin{enumerate}
    \item Étudier la convergence simple de cette série.
    
        On note $D$ l'ensemble des $x$ où cette série converge et $S(x)$ la somme de cette série pour $x \in D$.

    \item \begin{enumerate}
        \item La fonction $S$ est-elle continue sur $D$ ?
        \item Étudier la convergence normale, puis la convergence uniforme de cette série sur $D$.
        \item Étudier la convergence uniforme de cette série sur $[0,1]$.
    \end{enumerate}
\end{enumerate}

\subsection*{Récap}

PAS FAIT

\newpage

\section*{Exercice 19}
\subsection*{Énoncé}

\begin{enumerate}
    \item Prouver que, pour tout entier naturel $n$, $f_n : t \mapsto t^n\ln t$ est intégrale sur $]0,1]$ et calculer $I_n = \displaystyle \int_0^1 t^n\ln t \mathrm{d}t$.
    \item Prouver que $f : t\mapsto e^t\ln t$ est intégrable sur $]0,1]$ et que $\displaystyle \int_0^1 e^t\ln t \mathrm{d}t = - \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{nn!}$.
    
        \textbf{Indication} : utiliser le développement en série entière de la fonction exponentielle.
\end{enumerate}

\subsection*{Récap}

\begin{enumerate}
    \item IPP
    \item DSE de $\exp$ puis utiliser la question 1 et CMSTP
\end{enumerate}

\vspace*{0.5cm}

\section*{Exercice 20}
\subsection*{Énoncé}

\begin{enumerate}
    \item Donner la définition du rayon de convergence d'une série entière de variable complexe.
    \item Déterminer le rayon de convergence de chacune des séries suivantes :
    \begin{enumerate}
        \item $\displaystyle \sum \frac{(n!)^2}{(2n)!}z^{2n+1}$ ?
        \item $\displaystyle \sum n^{(-1)^n}z^n$ ?
        \item $\displaystyle \sum \cos nz^n$ ?
    \end{enumerate}
\end{enumerate}

\subsection*{Récap}

\begin{enumerate}
    \item Pas d'équivalence
    \item \begin{enumerate}
        \item D'Alembert
        \item Dire $\displaystyle \frac{1}{n} \leqslant n^{(-1)^n} \leqslant n$
        \item $|\cos n| \leqslant 1$ et avec $z=1$
    \end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\section*{Exercice 21}
\subsection*{Énoncé}

\begin{enumerate}
    \item Donner la définition du rayon de convergence d'une série entière de variable complexe.
    \item Soit $(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite bornée telle que $\displaystyle \sum a_n$ diverge.
    
        Quel est le rayon de convergence de la série entière $\displaystyle \sum a_nz^n$ ? Justifier.

    \item Quel est le rayon de convergence de la série entière $\displaystyle \sum_{n \geqslant 1} (\sqrt{n})^{(-1)^n}\ln\bigg(1 + \frac{1}{\sqrt{n}}\bigg)z^n$ ?
\end{enumerate}

\subsection*{Récap}

\begin{enumerate}
    \item Penser à écrire les définitions
    \item $z = 1$ puis bornée (donc $R \geqslant 1$)
    \item $(\sqrt{n})^{(-1)^n} \leqslant \sqrt{n}$ puis $\ln(1+x) \leqslant x$
\end{enumerate}

\vspace*{0.5cm}

\section*{Exercice 22}
\subsection*{Énoncé}

\begin{enumerate}
    \item Que peut-on dire du rayon de convergence de la somme de deux séries entières ? Le démontrer.
    \item Développer en série entière au voisinage de $0$, en précisant le rayon de convergence, la fonction $f : x \mapsto \ln(1 + x) + \ln(1-2x)$.
    
        La série obtenue converge-t-elle pour $\displaystyle x = \frac{1}{4}$ ? $\displaystyle x = \frac{1}{2}$ ? $\displaystyle x = -\frac{1}{2}$ ?

        En cas de convergence, la somme de cette série est-elle continue en ces points ?
\end{enumerate}

\subsection*{Récap}

PAS FAIT

\newpage

\section*{Exercice 23}
\subsection*{Énoncé}

Soit $(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite complexe telle que la suite $\displaystyle \bigg(\frac{|a_{n+1}|}{|a_n|}\bigg)_{n \in \mathbb{N}}$ admet une limite.

\begin{enumerate}
    \item Démontrer que les séries entières $\displaystyle \sum a_nx^n$ et $\displaystyle \sum (n+1)a_{n+1}x^n$ ont le même rayon de convergence.
    
        On le note $R$.

    \item Démontrer que la fonction $\displaystyle x \mapsto \sum_{n = 0}^{+\infty} a_nx^n$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur l'intervalle $]-R, R[$.
\end{enumerate}

\subsection*{Récap}

\begin{enumerate}
    \item D'Alembert
    \item Continuité des $f_n$ puis cvu
\end{enumerate}

\vspace*{0.5cm}

\section*{Exercice 24}
\subsection*{Énoncé}

\begin{enumerate}
    \item Déterminer le rayon de rayon de convergence de la série entière $\displaystyle \sum \frac{x^n}{(2n)!}$.
    

        On pose $\displaystyle S(x) = \sum_{n = 0}^{+\infty} \frac{x^n}{(2n)!}$.
    
    \item Rappeler, sans démonstration, le développement en série entière en $0$ de la fonction $x \mapsto \mathrm{ch}(x)$ et préciser le rayon de convergence.
    \item \begin{enumerate}
        \item Déterminer $S(x)$
        \item On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $\displaystyle \begin{cases}
            f(0) = 1 & \\
            f(x) = \mathrm{ch}\sqrt{x} & \text{si } x > 0\\
            f(x) = \cos\sqrt{-x} & \text{si } x < 0
        \end{cases}$

        Démontrer que $f$ est de classe $\mathcal{C}^{\infty}$ sur $\mathbb{R}$
    \end{enumerate}
\end{enumerate}

\subsection*{Récap}

PAS FAIT

\newpage

\section*{Exercice 25}
\subsection*{Énoncé}

\begin{enumerate}
    \item Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, la fonction $\displaystyle t \mapsto \frac{1}{1+t^2+t^ne^{-t}}$ est intégrable sur $[0, +\infty[$.
    \item Pour tout $n \in \mathbb{N}$, on pose $\displaystyle u_n = \int_0^{+\infty} \frac{\mathrm{d}t}{1+t^2+t^ne^{-t}}$. Calculer $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} u_n$.
\end{enumerate}

\subsection*{Récap}

PAS FAIT

\vspace*{0.5cm}

\section*{Exercice 26}
\subsection*{Énoncé}

Pour tout entier $n \geqslant 1$, on pose $\displaystyle I_n = \int_0^{+\infty} \frac{1}{(1+t^2)^n}\mathrm{d}t$.
\begin{enumerate}
    \item Justifier que $I_n$ est bien définie.
    \item \begin{enumerate}
        \item Étudier la monotonie de la suite $(I_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$.
        \item Déterminer la limite de la suite $(I_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$.
    \end{enumerate}
    \item La série $\displaystyle \sum_{n \geqslant 1} I_n$ est-elle convergente ?
\end{enumerate}

\subsection*{Récap}

\begin{enumerate}
    \item Equivalent des $f_n$
    \item \begin{enumerate}
        \item Croissance de l'intégrale
        \item Convergence dominée avec $\displaystyle \varphi(t) = \frac{1}{1+t^2}$
    \end{enumerate}
    \item Théorème des séries alternées
\end{enumerate}

\newpage

\section*{Exercice 27}
\subsection*{Énoncé}

Pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, on pose $\displaystyle f_n(x) = \frac{e^{-x}}{1+n^2x^2}$ et $\displaystyle u_n = \int_0^1 f_n(x)\mathrm{d}x$.

\begin{enumerate}
    \item Étudier la convergence simple de la suite de fonctions $(f_n)$ sur $[0, 1]$.
    \item Soit $a \in ]0, 1[$. La suite de fonctions $(f_n)$ converge-t-elle uniformément sur $[a, 1]$ ?
    \item La suite de fonctions $(f_n)$ converge-t-elle uniformément sur $[0, 1]$ ?
    \item Trouver la limite de la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$.
\end{enumerate}

\subsection*{Récap}

\begin{enumerate}
    \item /
    \item Majorer avec $a$
    \item Continuité
    \item Cv dominée avec $|f_n(x)| \leqslant e^{-x} \leqslant 1 = \varphi(x)$
\end{enumerate}

\vspace*{0.5cm}

\section*{Exercice 28}
\subsection*{Énoncé}

N.B. : les deux questions sont indépendantes.

\begin{enumerate}
    \item La fonction $\displaystyle x \mapsto \frac{e^{-x}}{\sqrt{x^2-4}}$ est-elle intégrable sur $]2, +\infty[$ ?
    \item Soit $a$ un réel strictement positif
    
        La fonction $\displaystyle x \mapsto \frac{\ln x}{\sqrt{1+x^{2a}}} $ est-elle intégrable sur $]0,+\infty[$ ?
\end{enumerate}

\subsection*{Récap}

\begin{enumerate}
    \item Continuité, équivalent en $2$, puis équivalent et $o$ de l'équivalent en $+\infty$
    \item Continuité, équivalent en $0$, puis équivalent en $+\infty$ et disjonction sur $a$ :
    
        Si $a > 1$ : équivalent petit $o$ de $\displaystyle \frac{1}{x^\frac{1+a}{2}}$ en $+\infty$.

        Si $a \leqslant 1$ : $\ln x > 1$ quand $x>e$
\end{enumerate}

\newpage

\section*{Exercice 29}
\subsection*{Énoncé}

On pose : $\displaystyle \forall x \in ]0, +\infty[, \forall t \in ]0, +\infty[, f(x, t) = e^{-t}t^{x-1}$.

\begin{enumerate}
    \item Démontrer que : $\forall x \in ]0, +\infty[$, la fonction $t \mapsto f(x, t)$ est intégrable sur $]0, +\infty[$.
    
        On pose alors : $\displaystyle \forall x \in ]0, +\infty[, \Gamma(x) = \int_0^{+\infty} e^{-t}t^{x-1}\mathrm{d}t$.

    \item Pour tout $x \in ]0, +\infty[$, exprimer $\Gamma(x+1)$ en fonction de $\Gamma(x)$.
    \item Démontrer que $\Gamma$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $]0, +\infty[$ et exprimer $\Gamma'$ sous forme d'intégrale.
\end{enumerate}

\subsection*{Récap}

\begin{enumerate}
    \item Penser à dire que c'est impropre en $0$ et $+\infty$ et pourquoi
    
        Equivalents : $\displaystyle \frac{1}{t^{1-x}}$ en $0$ et $\displaystyle \frac{1}{t^2}$ en $+\infty$ puis Riemann

    \item Dire que la fonction est $\mathcal{C}^1$
        
            IPP avec barrière

    \item Écrire le théorème avec $\displaystyle \varphi(t) = \begin{cases}
        |\ln t| e^{-t} t^{a-1} & \text{si } t < 1 \\
        |\ln t| e^{-t} t^{b-1} & \text{si } t \geqslant 1
    \end{cases}$
\end{enumerate}

\vspace*{0.5cm}

\section*{Exercice 30}
\subsection*{Énoncé}

\begin{enumerate}
    \item Énoncer le théorème de dérivation sous le signe intégrale.
    \item Démontrer que la fonction $\displaystyle f : x \mapsto \int_0^{+\infty}e^{-t^2}\cos(xt)\mathrm{d}t$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $\mathbb{R}$.
    \item \begin{enumerate}
        \item Trouver une équation différentielle linéaire $(E)$ d'ordre $1$ dont $f$ est solution.
        \item Résoudre $(E)$.
    \end{enumerate}
\end{enumerate}

\subsection*{Récap}

\begin{enumerate}
    \item Écrire le théorème, utile pour la suite
    \item Appliquer avec $\varphi(t) = te^{-t^2}$
    \item \begin{enumerate}
        \item IPP avec barrière
        \item Bien dire "L'ensemble des solutions"
    \end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\section*{Exercice 31}
\subsection*{Énoncé}

\begin{enumerate}
    \item Déterminer une primitive de $x \mapsto \cos^4 x$.
    \item Résoudre sur $\mathbb{R}$ l'équation différentielle $y'' + y' = \cos^3 x$ en utilisant la méthode de variation des constantes.
\end{enumerate}

\subsection*{Récap}

\begin{enumerate}
    \item Passer par la forme exponentielle
    \item Variation des constantes
\end{enumerate}

\begin{enumerate}
    \item Linéariser
\end{enumerate}

\vspace*{0.5cm}

\section*{Exercice 32}
\subsection*{Énoncé}

Soit l'équation différentielle $x(x-1)y'' + 3xy' + y = 0$.

\begin{enumerate}
    \item Trouver les solutions de cette équation différentielle développables en série entière en sur un intervalle $]-r,r[$ de $\mathbb{R}$, avec $r > 0$.
    
        Déterminer la somme des séries entières obtenues.
    \item Est-ce que toutes les solutions de $x(x-1)y'' + 3xy' + y = 0$ sur $]0, 1[$ sont les restrictions d'une fonction développable en série entière sur $]-1, 1[$ ?
\end{enumerate}

\subsection*{Récap}

\begin{enumerate}
    \item Bien poser la série entière et sa somme $S(x)$, puis écrire $S'(x)$ et $S''(x)$
    \item Ordre $2$ mais $1$ seul paramètre dans les solutions DSE
\end{enumerate}

\newpage

\section*{Exercice 33}
\subsection*{Énoncé}

On pose : $\displaystyle \forall (x,y) \in \mathbb{R}^2\setminus\{(0,0)\}, f(x,y) = \frac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}} \text{ et } f(0,0) = 0$.

\begin{enumerate}
    \item Démontrer que $f$ est continue sur $\mathbb{R}^2$.
    \item Démontrer que $f$ admet des dérivées partielles en tout point de $\mathbb{R}^2$.
    \item $f$ est-elle de classe $\mathcal{C}^1$ sur $\mathbb{R}^2$ ? Justifier.
\end{enumerate}

\subsection*{Récap}

\begin{enumerate}
    \item Norme euclidienne : $|x| \leqslant \sqrt{x^2+y^2}$ et $|y| \leqslant \sqrt{x^2+y^2}$
    \item En $(0,0)$ : limite du taux d'accroissement
    \item $\partial_1 f(x,x) \longrightarrow \partial_1 f(0,0)$ ?
\end{enumerate}

\vspace*{0.5cm}

\section*{Exercice 34}
\subsection*{Énoncé}

Soit $A$ une partie non vide d'un $\mathbb{R}$-espace vectoriel normé $E$.

\begin{enumerate}
    \item Rappeler la définition d'un point adhérent à $A$, en termes de voisinages ou de boules.
    \item Démontrer que : $x\in \overline{A} \iff \exists (x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ telle que $\forall n \in \mathbb{N}, x_n \in A$ et $\displaystyle \lim_{n\to+\infty} x_n = x$.
    \item Démontrer que, si $A$ est un sous-espace vectoriel de $E$, alors $\overline{A}$ est un sous-espace vectoriel de $E$.
    \item Démontrer que si $A$ est convexe alors $\overline{A}$ est convexe.
\end{enumerate}

\subsection*{Récap}

\begin{enumerate}
    \item Boules plus simple
    \item En particulier, $\displaystyle\mathcal{B}\bigg(x, \frac{1}{n}\bigg) \cap A \neq \emptyset$
    
        Réciproque avec les voisinages

    \item Penser au $0$
    \item Garder la même définition de convexe
\end{enumerate}

\newpage

\section*{Exercice 35}
\subsection*{Énoncé}

$E$ et $F$ désignent deux espaces vectoriels normés

On note $||\ ||_E$ (respectivement $||\ ||_F$) la norme sur $E$ (respectivement sur $F$).

\begin{enumerate}
    \item Soit $f$ une application de $E$ dans $F$ et $a$ un point de $E$
    
        On considère les propositions suivantes :

        \textbf{P1} : $f$ est continue en $a$.

        \textbf{P2} : Pour toute suite $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ d'éléments de $E$ telle que $\displaystyle \lim_{n\to+\infty} x_n = a$, alors $\displaystyle \lim_{n\to+\infty} f(x_n) = f(a)$.

        Démontrer que les propositions \textbf{P1} et \textbf{P2} sont équivalentes.

    \item Soit $A$ une partie dense dans $E$, et soient $f$ et $g$ deux applications continues de $E$ dans $F$.
    
        Démontrer que si, pour tout $x \in A, f(x) = g(x)$, alors $f = g$.
\end{enumerate}

\subsection*{Récap}

\begin{enumerate}
    \item Revenir à la définition de continuité
    
        Réciproque par l'absurde avec $\displaystyle ||x_n-a||_E \leqslant \frac{1}{n}$

    \item Continuité et unicité de la limite
\end{enumerate}

\vspace*{0.5cm}

\section*{Exercice 36}
\subsection*{Énoncé}

Soient $E$ et $F$ deux espaces vectoriels normés sur le corps $\mathbb{R}$.

On note $||\ ||_E$ (respectivement $||\ ||_F$) la norme sur $E$ (respectivement sur $F$).

\begin{enumerate}
    \item Démontrer que si $f$ est une application linéaire de $E$ dans $F$, alors les propriétés suivantes sont deux à deux équivalentes :
    
        \textbf{P1} : $f$ est continue sur $E$.

        \textbf{P2} : $f$ est continue en $0_E$.

        \textbf{P3} : $\exists k > 0$ tel que $\forall x \in E, ||f(x)||_F \leqslant k||x||_E$.

    \item Soit $E$ l'espace vectoriel des fonctions continues de $[0,1]$ dans $\mathbb{R}$, muni de la norme définie par $\displaystyle ||f||_\infty = \sup_{x\in[0,1]} |f(x)|$.
    
        On considère l'application $\varphi$ de $E$ dans $\mathbb{R}$ définie par $\displaystyle \varphi(f) = \int_0^1 f(t) \text{d}t$.

        Démontrer que $\varphi$ est linéaire et continue.
\end{enumerate}

\subsection*{Récap}

\begin{enumerate}
    \item $P1 \implies P2$ direct
    
        $P2 \implies P3$ : prendre $\varepsilon = 1$
    
        Cas $x \neq 0$ avec $\displaystyle y = \alpha \frac{x}{||x||_E}$ et $x = 0$ avec $\displaystyle k = \frac{1}{\alpha}$

        $P3 \implies P1$ : revenir à la définition de fonction $k$-lipschitzienne

    \item Linéarité de l'intégrale, continuité de la norme
\end{enumerate}

\newpage

\section*{Exercice 37}
\subsection*{Énoncé}

On note $E$ l'espace des fonctions continues de $[0,1]$ dans $\mathbb{R}$.

On pose : $\forall f \in E, N_\infty(f) = \displaystyle \sup_{x\in[0,1]} |f(x)|$ et $N_1(f) = \displaystyle \int_0^1 |f(t)| \text{d}t$.

\begin{enumerate}
    \item \begin{enumerate}
        \item Démontrer que $N_\infty$ et $N_1$ sont deux normes sur $E$.
        \item Démontrer qu'il existe $k > 0$ tel que, pour tout $f$ de $E$, $N_1(f) \leqslant kN_\infty(f)$.
        \item Démontrer que tout ouvert pour la norme $N_1$ est un ouvert pour la norme $N_\infty$.
        \end{enumerate}
    \item Démontrer que $N_\infty$ et $N_1$ ne sont pas équivalentes.
\end{enumerate}

\subsection*{Récap}

\begin{enumerate}
    \item \begin{enumerate}
        \item Attention aux manœuvres avec le $\sup$
        \item Majorer $|f(t)|$ par $N_\infty(f)$ dans $N_1$
        \item Prendre la fonction identité de $(E,N_\infty)$ vers $(E,N_1)$ (continue) et l'image réciproque d'un ouvert par une fonction continue est un ouvert
    \end{enumerate}
    \item Prendre $f_n(t) = t^n$ et observer $\displaystyle \lim_{n\to+\infty}\frac{N_\infty(f_n)}{N_1(f_n)}$
\end{enumerate}

\vspace*{0.5cm}

\section*{Exercice 38}
\subsection*{Énoncé}

\begin{enumerate}
    \item On se place sur $E = \mathcal{C}([0,1], \mathbb{R})$, muni de la norme $||\ ||_1$ définie par : $\forall f \in E, ||f||_1 = \displaystyle \int_0^1 |f(t)| \text{d}t$.
    
        Soit $u : E \to E, \quad f \mapsto u(f)=g$ avec $\displaystyle \forall x \in [0,1], g(x) = \int_0^x f(t) \text{d}t$.

        On admet que $u$ est un endomorphisme de $E$, prouver que $u$ est continue et calculer $|||u|||$.

        \textbf{Indication} : considérer, pour tout entier $n$ non nul, la fonction $f_n$ définie par $f_n(t) = ne^{-nt}$

    \item Soit $n \in \mathbb{N}^*$, soit $(a_1,a_2,...,a_n) \in \mathbb{R}^n$ un $n$-uplet \textbf{non nul, fixé}.
    
        Soit $u : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R},\quad (x_1,x_2,...,x_n) \mapsto \displaystyle \sum_{i=1}^n a_ix_i$.

        \begin{enumerate}
            \item Justifier que $u$ est continue quel que soit le choix de la norme sur $\mathbb{R}^n$.
            \item On munit $\mathbb{R}^n$ de $||\ ||_2$ où $\displaystyle \forall x = (x_1,x_2,...,x_n) \in \mathbb{R}^n, ||x||_2 = \sqrt{\sum_{k=1}^n x_k^2}$.
            Calculer $|||u|||$.

            \item On munit $\mathbb{R}^n$ de $||\ ||_\infty$ où $\displaystyle \forall x = (x_1,x_2,...,x_n) \in \mathbb{R}^n, ||x||_\infty = \max_{1\leqslant k \leqslant n} |x_k|$.
            Calculer $|||u|||$.
        \end{enumerate}

        \item Déterminer un espace vectoriel $E$, une norme sur $E$ et un endomorphisme non continu pour la norme choisie. Justifier.
\end{enumerate}

\textbf{Remarque} : Les questions $1,2$ et $3$ sont indépendantes.

\subsection*{Récap}

PAS FAIT

\newpage

\section*{Exercice 39}
\subsection*{Énoncé}

On note $l^2$ l'ensemble des suites $x = (x_n)_{n \in \mathbb{N}}$ de réels telles que $\displaystyle \sum x_n^2$ converge.

\begin{enumerate}
    \item \begin{enumerate}
        \item Démontrer que, pour tout $x = (x_n)_{n \in \mathbb{N}} \in l^2$ et $y = (y_n)_{n \in \mathbb{N}} \in l^2$, la série $\displaystyle \sum x_ny_n$ converge.
    
            On pose alors $\displaystyle (x|y) = \sum_{n=0}^{+\infty} x_ny_n$.

        \item Démontrer que $l^2$ est un sous-espace vectoriel de l'espace vectoriel des suites de nombres réels.
    \end{enumerate}
        Dans la suite de l'exercice, on admet que $(|)$ est un produit scalaire dans $l^2$.

        On suppose que $l^2$ est muni de ce produit scalaire et de la norme euclidienne associée, notée $||\ ||$.

    \item Soit $p \in \mathbb{N}$. Pour tout $x = (x_n) \in l^2$, on pose $\varphi(x) = x_p$
    
        Démontrer que $\varphi$ est une application linéaire et continue de $l^2$ dans $\mathbb{R}$

    \item On considère l'ensemble $F$ des suites réelles presque nulles c'est-à-dire l'ensemble des suites réelles dont tous les termes sont nuls, sauf peut-être un nombre fini de termes.
    
        Déterminer $F^\perp$ (au sens de $(|)$).

        Comparer $F$ et $\big(F^\perp\big)^\perp$.
\end{enumerate}

\subsection*{Récap}

\begin{enumerate}
    \item \begin{enumerate}
        \item Majorer par somme de série convergente
        \item /
        \end{enumerate}
    \item $\varphi(x) \leqslant ||x||$ + linéarité
    \item Analyse : Utiliser la suite $z_n : 1 \text{ si n = p}, 0 \text{ sinon}$

        Synthèse : $0 \in F^\perp$
\end{enumerate}

\vspace*{0.5cm}

\section*{Exercice 40}
\subsection*{Énoncé}

Soit $A$ une algèbre de dimension finie, admettant $e$ comme élément unité et muni d'une norme notée $||\ ||$.

On suppose que : $\forall (u,v) \in A^2, ||uv|| \leqslant ||u||||v||$.

\begin{enumerate}
    \item Soit $u$ un élément de $A$ tel que $||u|| < 1$.
    \begin{enumerate}
        \item Démontrer que la série $\displaystyle \sum u^n$ est convergente.
        \item Démontrer que $(e-u)$ est inversible et que $\displaystyle (e-u)^{-1} = \sum_{n=0}^{+\infty} u^n$.
    \end{enumerate}
    \item Démontrer que, pour tout $u \in A$, la série $\displaystyle \sum \frac{u^n}{n!}$ converge.
\end{enumerate}

\subsection*{Récap}

PAS FAIT

\newpage

\section*{Exercice 41}
\subsection*{Énoncé}

Soit $f$ l'application de $\mathbb{R}^2$ dans $\mathbb{R}$ définie par $f : (x,y) \mapsto 4x^2+12xy-y^2$.

Soit $C = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2, x^2+y^2 = 13\}$.

\begin{enumerate}
    \item Justifier que $f$ atteint un maximum et un minimum sur $C$.
    \item Soit $(u,v) \in C$ un point où $f$ atteint ces extremums.
    
        \begin{enumerate}
            \item Justifier avec un théorème du programme qu'il existe un réel $\lambda$ tel que le système $(S)$ suivant soit vérifié :
            
                $\displaystyle (S) : \begin{cases}
                    4u + 6v = \lambda u \\
                    6u - v = \lambda v
                \end{cases}$

            \item Montrer que $(\lambda - 4)(\lambda + 1) - 36 = 0$
                
                En déduire les valeurs possibles de $\lambda$.
        \end{enumerate}

    \item Déterminer les valeurs possibles de $(u,v)$, puis donner le maximum et le minimum de $f$ sur $C$.
\end{enumerate}

\subsection*{Récap}

\begin{enumerate}
    \item $C$ compact et $f$ continue sur $C$
    \item \begin{enumerate}
        \item Optimisation sous contrainte de $g : (x,y) \mapsto x^2+y^2-13$
        
            Attention hypothèse : $\nabla g$ ne s'annule pas sur $C$ : montrer que $g$ est $\mathcal{C}^1$

        \item Déterminant du système (pas de Cramer donc nul)
        
            Penser à donner les valeurs possibles de $\lambda$
    \end{enumerate}
    \item Disjonction sur $\lambda = 8$ et $\lambda = -5$ et reprendre la $2^e$ ligne du système et l'équation de $C$
\end{enumerate}

\vspace*{0.5cm}

\section*{Exercice 42}
\subsection*{Énoncé}

On considère les deux équations différentielles suivantes :
$\displaystyle \begin{array}{ll}
    2xy'-3y=0 & (H) \\
    2xy'-3y=\sqrt(x) & (E)
\end{array}$

\begin{enumerate}
    \item Résoudre l'équation $(H)$ sur $]0, +\infty[$.
    \item Résoudre l'équation $(E)$ sur $]0, +\infty[$.
    \item L'équation $(E)$ admet-elle des résultats sur $[0, +\infty[$ ?
\end{enumerate}

\subsection*{Récap}

\begin{enumerate}
    \item /
    \item Variation de la constante
    \item $f$ pas dérivable en $0$
\end{enumerate}

\newpage

\section*{Exercice 43}
\subsection*{Énoncé}

Soit $x_0 \in \mathbb{R}$

On définit la suite $(u_n)$ par $u_0 = x_0$ et $\forall n \in \mathbb{N}, u_{n+1} = \mathrm{Arctan}(u_n)$.

\begin{enumerate}
    \item \begin{enumerate}
        \item Démontrer que la suite $(u_n)$ est monotone et déterminer, en fonction de la valeur de $x_0$, le sens de variation de $(u_n)$.
        \item Montrer que $(u_n)$ converge et déterminer sa limite.
    \end{enumerate}
    \item Déterminer l'ensemble des fonctions $h$, continues sur $\mathbb{R}$, telles que : $\forall x \in \mathbb{R}, h(x) = h(\mathrm{Arctan} x)$.
\end{enumerate}

\subsection*{Récap}

PAS FAIT

\vspace*{0.5cm}

\section*{Exercice 44}
\subsection*{Énoncé}

Soit $E$ un espace vectoriel normé. Soient $A$ et $B$ deux parties non vides de $E$.

\begin{enumerate}
    \item \begin{enumerate}
        \item Rappeler la caractéristique de l'adhérence d'un ensemble à l'aide des suites.
        \item Montrer que : $A \subset B \implies \overline{A} \subset \overline{B}$.
    \end{enumerate}
    \item Montrer que : $\overline{A \cup B} = \overline{A} \cup \overline{B}$.

        \textbf{Remarque} : une réponse sans utiliser les suites est aussi acceptée.

    \item \begin{enumerate}
        \item Montrer que : $\overline{A \cap B} \subset \overline{A} \cap \overline{B}$.
        \item Montrer, à l'aide d'un exemple, que l'autre inclusion n'est pas toujours vérifiée (on pourra prendre $E = \mathbb{R}$).
    \end{enumerate}
\end{enumerate}

\subsection*{Récap}

\begin{enumerate}
    \item /
    \item Double inclusion

        Réciproque avec suite extraite
    \item $A = ]-a, 0[$ et $B = ]0, b[$
\end{enumerate}

\newpage

\section*{Exercice 45}
\subsection*{Énoncé}

\textbf{Les questions 1. et 2. sont indépendantes}

Soit $E$ un $\mathbb{R}$-espace vectoriel normé. Soit $A$ une partie non vide de $E$.

On note $\overline{A}$ l'adhérence de $A$.

\begin{enumerate}
    \item \begin{enumerate}
        \item Donner la caractérisation séquentielle de $\overline{A}$.
        \item Prouver que, si $A$ est convexe, alors $\overline{A}$ est convexe.
    \end{enumerate}
    \item On pose, $\displaystyle\forall x \in E, \mathrm{d}_A(x) = \inf_{a \in A}||x-a||$.
    
        \begin{enumerate}
            \item Soit $x \in E$. Prouver que $\mathrm{d}_A(x) = 0 \implies x \in \overline{A}$.
            \item On suppose que $A$ est fermée et que : $\forall(x,y) \in E^2, \forall t \in [0,1], \mathrm{d}_A(tx+(1-t)y) \leqslant t\mathrm{d}_A(x) + (1-t)\mathrm{d}_A(y)$.
            
                Prouver que $A$ est convexe.
        \end{enumerate}
\end{enumerate}

\subsection*{Récap}

PAS FAIT

\vspace*{0.5cm}

\section*{Exercice 46}
\subsection*{Énoncé}

On considère la série : $\displaystyle \sum_{n\geqslant 1} \cos\bigg(\pi\sqrt{n^2+n+1}\bigg)$.

\begin{enumerate}
    \item Prouver que, au voisinage de $+\infty$, $\displaystyle \pi \sqrt{n^2+n+1} = n\pi + \frac{\pi}{2} + \alpha \frac{\pi}{n} + O\bigg(\frac{1}{n^2}\bigg)$, où $\alpha$ est un réel que l'on déterminera.
    \item En déduire que $\displaystyle \sum_{n\geqslant 1} \cos\bigg(\pi\sqrt{n^2+n+1}\bigg)$ converge.
    \item $\displaystyle \sum_{n\geqslant 1} \cos\bigg(\pi\sqrt{n^2+n+1}\bigg)$ converge-t-elle absolument ?
\end{enumerate}

\subsection*{Récap}

\begin{enumerate}
    \item DL de $\sqrt{1+x}$ à l'ordre $2$

    $\displaystyle \alpha = \frac{3}{8}$

    \item $\displaystyle \frac{\pi}{2} \implies \cos \to \sin$

        TSA puis Riemann

    \item Équivalent $\displaystyle \alpha\frac{\pi}{n}$ qui dv
\end{enumerate}

\newpage

\section*{Exercice 47}
\subsection*{Énoncé}

Pour chacune des séries entières de la variable réelle suivantes, déterminer le rayon de convergence et calculer la somme de la série entière sur l'intervalle ouvert de convergence :

\begin{enumerate}
    \item $\displaystyle \sum_{n \geqslant 1} \frac{3^nx^{2n}}{n}$
    \item $\displaystyle \sum a_nx^n \text{ avec } \begin{cases}
        a_{2n} = 4^n\\
        a_{2n+1} = 5^{n+1}
    \end{cases}$
\end{enumerate}

\subsection*{Récap}
\begin{enumerate}
    \item D'Alembert

        DSE de $\ln(1+t)$

    \item Rayon minimum des deux séries
    
        Multiplier le $2^e$ par $5x$ pour commencer à $0$

        Identifier DSE de $\displaystyle \frac{1}{1-x}$
\end{enumerate}

\vspace*{0.5cm}

\section*{Exercice 48}
\subsection*{Énoncé}

$\mathcal{C}^0([0,1],\mathbb{R})$ désigne l'espace vectoriel des fonctions continues de $[0,1]$ dans $\mathbb{R}$.

Soit $f \in \mathcal{C}^0([0,1],\mathbb{R})$ telle que $\displaystyle \forall n \in \mathbb{N}, \int_0^1 t^n f(t)\mathrm{d}t = 0$.

\begin{enumerate}
    \item Énoncer le théorème de Weierstrass d'approximation par des fonctions polynomiales.
    \item Soit $(P_n)$ une suite de fonctions polynomiales convergeant uniformément sur le segment $[0,1]$ vers $f$.

        \begin{enumerate}
            \item Montrer que la suite de fonctions $(P_nf)$ converge uniformément sur le segment $[0,1]$ vers $f^2$.
            \item Démontrer que $\displaystyle \int_0^1 f^2(t)\mathrm{d}t = \lim_{n\to+\infty} \int_0^1 P_n(t)f(t)\mathrm{d}t$.
            \item Calculer $\displaystyle \int_0^1 P_n(t)f(t)\mathrm{d}t$.
        \end{enumerate}
    \item En déduire que $f$ est la fonction nulle sur $[0,1]$.
\end{enumerate}

\subsection*{Récap}

\begin{enumerate}
    \item /
    \item \begin{enumerate}
        \item Jeu avec les normes et valeurs absolues
        \item Interversion limite-intégrale
    \end{enumerate}
    \item $\displaystyle \forall n, \int_0^1 t^n f(t) \mathrm{d}t = 0$
\end{enumerate}

\newpage

\section*{Exercice 49}
\subsection*{Énoncé}

Soit $\displaystyle \sum a_n$ une série absolument convergente à termes complexes. On pose $\displaystyle M = \sum_{n=0}^{+\infty} |a_n|$.

On pose : $\displaystyle \forall n \in \mathbb{N}, \forall t \in [0,+1[, f_n(t) = \frac{a_nt^n}{n!}e^{-t}$.

\begin{enumerate}
    \item \begin{enumerate}
        \item Justifier que la suite $(a_n)$ est bornée.
        \item Justifier que la série de fonctions $\displaystyle \sum f_n$ converge simplement sur $[0,+\infty[$.

            On admettra, pour la suite de l'exercice, que $\displaystyle f : t \mapsto \sum_{n=0}^{+\infty} f_n(t)$ est continue sur $[0,+\infty[$.
    \end{enumerate}
    \item \begin{enumerate}
        \item Justifier que, pour tout $n \in \mathbb{N}$, la fonction $g_n : t \mapsto t^ne^{-t}$ est intégrable sur $[0,+\infty[$ et calculer $\displaystyle \int_0^{+\infty} g_n(t)\mathrm{d}t$.
        
            En déduire la convergence et la valeur de $\displaystyle \int_0^{+\infty} |f_n(t)|\mathrm{d}t$.
        
        \item Prouver que $\displaystyle \int_0^{+\infty} \bigg(\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{a_nt^n}{n!}e^{-t}\bigg)\mathrm{d}t = \sum_{n=0}^{+\infty} a_n$.
    \end{enumerate}
\end{enumerate}

\subsection*{Récap}

\begin{enumerate}
    \item \begin{enumerate}
        \item Chaque $|a_n|$ est plus petit que la somme
        \item $(a_n)$ est bornée, puis reconnaître une série exponentielle
    \end{enumerate}
    \item \begin{enumerate}
        \item IPP ($\Gamma$)
        \item Interversion série-intégrale et utilisation de $\displaystyle \int g_n(t)\mathrm{d}t$
    \end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace*{0.5cm}

\section*{Exercice 50}
\subsection*{Énoncé}

On considère la fonction $\displaystyle F: x \mapsto \int_0^{+\infty} \frac{e^{-2t}}{x+t}\mathrm{d}t$

\begin{enumerate}
    \item Prouver que $F$ est définie et continue sur $]0,+\infty[$.
    \item Prouver que $x \mapsto xF(x)$ admet une limite en $+\infty$ et déterminer la valeur de cette limite.
    \item Déterminer un équivalent, au voisinage de $+\infty$, de $F(x)$
\end{enumerate}

\subsection*{Récap}

\begin{enumerate}
    \item Théorème de continuité d'intégrales à paramètres
    
        $\displaystyle \varphi : t \mapsto \frac{1}{a}e^{-2t} = o\bigg(\frac{1}{t^2}\bigg)$

    \item Convergence dominée
\end{enumerate}

\newpage

\section*{Exercice 51}
\subsection*{Énoncé}

\begin{enumerate}
    \item Montrer que la série $\displaystyle \frac{(2n)!}{(n!)^2 2^{4n}(2n+1)}$ converge.
    
        On se propose de calculer la somme de cette série.

    \item Donne le développement en série entière en $0$ de $t \mapsto \frac{1}{\sqrt{1-t}}$ en précisant le rayon de convergence.
    
        \textbf{Remarque} : dans l'expression du développement, on utilisera la notation factorielle.

    \item En déduire le développement en série entière en $0$ de $x \mapsto \mathrm{Arcsin} x$ ainsi que son rayon de convergence.
    \item En déduire la valeur de $\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(2n)!}{(n!)^2 2^{4n}(2n+1)}$.
\end{enumerate}

\subsection*{Récap}

\begin{enumerate}
    \item Calculer d'abord $\displaystyle \frac{((n+1)!)^2}{(n!)^2}$ et séparer le $(2n+2)!$
    \item DSE de $(1+x)^\alpha$
    \item Changer $t \to t^2$ puis théorème de Kilian
    \item Calculer $\mathrm{Arcsin}\ \frac{1}{2}$
\end{enumerate}

\section*{Exercice 52}
\subsection*{Énoncé}

Soit $\alpha \in \mathbb{R}$.

On considère l'application définie sur $\mathbb{R}^2$ par $\displaystyle f(x,y) = \begin{cases}
    \displaystyle\frac{y^4}{x^2 + y^4 -xy} & \text{si } (x,y) \neq (0,0) \\
    \alpha & \text{si } (x,y) = (0,0)
\end{cases}$.

\begin{enumerate}
    \item Prouver que $\displaystyle \forall (x,y) \in \mathbb{R}^2, x^2 + y^2 -xy \geqslant \frac{1}{2}(x^2 + y^2)$.
    \item \begin{enumerate}
        \item Justifier que le domaine de définition de $f$ est bien $\mathbb{R}^2$.
        \item Déterminer $\alpha$ pour que $f$ soit continue sur $\mathbb{R}^2$.
    \end{enumerate}
    \item Dans cette section, on suppose que $\alpha = 0$
    
        \begin{enumerate}
            \item Justifier l'existence de $\displaystyle \partial_1 f \text{ et } \partial_2 f$ sur $\mathbb{R}^2\setminus\{(0,0)\}$ et les calculer.
            \item Justifier l'existence de $\displaystyle \partial_1 f(0,0) \text{ et } \partial_2 f(0,0)$ et donner leur valeur.
            \item $f$ est-elle de classe $\mathcal{C}^1$ sur $\mathbb{R}^2$ ?
        \end{enumerate}
\end{enumerate}

\subsection*{Récap}

\begin{enumerate}
    \item Passer de l'autre coté et reconnaître égalité remarquable
    \item \begin{enumerate}
        \item Dénominateur non nul
        \item Continuité en $(0,0)$
    \end{enumerate}
    \item \begin{enumerate}
        \item /
        \item Limite du taux d'accroissement
        \item Poser $r = \sqrt(x^2 + y^2)$, alors $|x| \leqslant r$ et $|y| \leqslant r$
        \item Majorer $|\partial_1 f(x,y) - \partial_1 f(0,0)|$ et $|\partial_2 f(x,y) - \partial_2 f(0,0)|$ avec $r$
    \end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\section*{Exercice 53}
\subsection*{Énoncé}

On considère, pour tout entier naturel $n$ non nul, la fonction $f_n$ définie sur $\mathbb{R}$ par $\displaystyle f_n(x) = \frac{x}{1+x^4x^4}$.

\begin{enumerate}
    \item \begin{enumerate}
        \item Prouver que $\displaystyle \sum_{n \geqslant 1} f_n$ converge simplement sur $\mathbb{R}$.
        On pose alors : $\displaystyle\forall x \int \mathbb{R}, f(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} f_n(x)$.
    
        \item Soit $(a,b) \in \mathbb{R}^2$, avec $0<a<b$.
    
        
        $\displaystyle \sum_{n \geqslant 1} f_n$ converge-t-elle normalement sur $[a,b]$ ? sur $[a,+\infty[$ ?

        \item $\displaystyle \sum_{n \geqslant} f_n$ converge-t-elle normalement sur $[0,+\infty[$ ?
    \end{enumerate}

    \item Prouver que $f$ est continue sur $\mathbb{R}^*$.
    \item Déterminer $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} f(x)$.
\end{enumerate}

\subsection*{Récap}

\begin{enumerate}
    \item \begin{enumerate}
        \item /
        \item Majorer la valeur absolue avec $a$ et $b$
        \item Bornée pour existence du $\sup$ puis minorer par les $\displaystyle f_n\bigg(\frac{1}{n}\bigg)$
    \end{enumerate}
    \item cvu + $f_n$ $\mathcal{C}^0$
    \item Interversion limite et série
\end{enumerate}

\vspace*{0.5cm}

\section*{Exercice 54}
\subsection*{Énoncé}

Soit $E$ l'ensemble des suites à valeurs réelles qui convergent vers $0$.

\begin{enumerate}
    \item Prouver que $E$ est un sous-espace vectoriel de l'espace vectoriel des suites à valeurs réelles.
    \item On pose : $\displaystyle \forall u = (u_n)_{n \in \mathbb{N}} \in E, ||u|| = \sup_{n \in \mathbb{N}} |u_n|$.
    
    \begin{enumerate}
        \item Prouver que $||.||$ est une norme sur $E$.
        \item Prouver que $\forall u = (u_n)_{n \in \mathbb{N}} \in E, \sum \frac{u_n}{2^{n+1}}$ converge.
        \item On pose : $\displaystyle \forall u = (u_n)_{n \in \mathbb{N}} \in E, f(u) = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{u_n}{2^{n+1}}$.
        
            Prouver que $f$ est continue sur $E$.
    \end{enumerate}
\end{enumerate}

\subsection*{Récap}

\begin{enumerate}
    \item Classique
    \item \begin{enumerate}
        \item Classique
        \item $\forall n, |u_n| \leqslant ||u||$
        \item $f$ est linéaire et inégalité triangulaire
    \end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\section*{Exercice 55}
\subsection*{Énoncé}

Soit $a$ un nombre complexe.

On note $E$ l'ensemble des suites à valeurs complexes telles que :

$\forall n \in \mathbb{N}, u_{n+2} = 2au_{n+1} +(ia-1)u_n$ avec $(u_0, u_1) \in \mathbb{C}^2$.

\begin{enumerate}
    \item \begin{enumerate}
        \item Prouver que $E$ est un sous-espace vectoriel de l'espace vectoriel des suites à valeurs complexes.
        \item Déterminer, en le justifiant, la dimension de $E$.
    \end{enumerate}
    \item Dans cette question, on considère la suite de $E$ définie par : $u_0 = 1$ et $u_1 = 1$.
    
        Exprimer, pour tout entier naturel $n$, le nombre complexe $u_n$ en fonction de $a$.

        \textbf{Indication} : discuter suivant les valeurs de $a$.
\end{enumerate}

\subsection*{Récap}

\begin{enumerate}
    \item \begin{enumerate}
        \item $u_n-v_n$
        \item Isomorphisme à $\mathbb{C}^2$
    \end{enumerate}
    \item Nombre de racines
        
        Cas $a = -2i$ et $a \neq -2i$
\end{enumerate}

\vspace*{0.5cm}

\section*{Exercice 56}
\subsection*{Énoncé}

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}^2$ par : $\forall (x,y) \in \mathbb{R}^2, f(x,y) = 2x^3 + 6xy - 3x^2 + 2$

\begin{enumerate}
    \item $f$ admet-elle des extrema locaux sur $\mathbb{R}^2$ ? Si oui, les déterminer.
    \item $f$ admet-elle des extrema globaux sur $\mathbb{R}^2$ ? Justifier.
    \item On pose $K = [0,1] \times [0,1]$.
    
        Justifier, oralement, que $f$ admet un maximum global sur $K$ puis le déterminer.
\end{enumerate}

\subsection*{Récap}

\begin{enumerate}
    \item $\partial f$ pour points critiques

        Hessienne -> Signe pour existence (valeurs propres de même signe) et trace pour signe des valeurs propres : $\displaystyle \begin{cases}> 0 \implies \min \\<0 \implies \max \end{cases}$

    \item Prendre $f(x,0)$
    
    \item Compacité
    
        Points critiques pas dans $K$ donc étude des bords de $K$.
\end{enumerate}

\newpage

\section*{Exercice 57}
\subsection*{Énoncé}

\begin{enumerate}
    \item Soit $f$ une fonction de $\mathbb{R}^2$ dans $\mathbb{R}$.
    
        \begin{enumerate}
            \item Donner, en utilisant des quantificateurs, la définition de la continuité de $f$ en $(0,0)$
            \item Donner la définition de "$f$ différentiable en $(0,0)$".
        \end{enumerate}
    
    \item On considère l'application définie sur $\mathbb{R}^2$ par $\displaystyle f(x,y) = \begin{cases}
        xy \frac{x^2-y^2}{x^2+y^2} & \text{si } (x,y) \neq (0,0) \\
        0 & \text{si } (x,y) = (0,0)
    \end{cases}$

    \begin{enumerate}
        \item Montrer que $f$ est continue sur $\mathbb{R}^2$.
        \item Montrer que $f$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $\mathbb{R}^2$.
    \end{enumerate}
\end{enumerate}

\subsection*{Récap}

\begin{enumerate}
    \item \begin{enumerate}
        \item Avec une boule
        \item Avec une application linéaire
    \end{enumerate}
    \item Prendre la norme usuelle de $\mathbb{R}^2$
    
        \begin{enumerate}
            \item Continuité numérateur / dénominateur sur $\mathbb{R}^2 \setminus \{(0,0)\}$ et continuité en $(0,0)$ par inégalité triangulaire
            \item Existence et continuité des dérivées partielles, sur $\mathbb{R}^2 \setminus \{(0,0)\}$ puis en $(0,0)$
        \end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace*{0.5cm}

\section*{Exercice 58}
\subsection*{Énoncé}

\begin{enumerate}
    \item Soit $E$ et $F$ deux $\mathbb{R}$-espace vectoriels normés de dimension finie.
    
        Soit $a \in E$ et soit $f : E \to F$ une application.

        Donner la définition de "$f$ est différentiable en $a$".

    \item Soit $n \in \mathbb{N}$. Soit $E$ un $\mathbb{R}$-espace vectoriel de dimension finie $n$.
    
        Soit $e = (e_1,e_2,...,e_n)$ une base de $E$.

        On pose : $\displaystyle \forall x \in E, ||x||_\infty = \max_{1 \leqslant i \leqslant n} |x_i|$, où $\displaystyle x = \sum_{i=1}^n x_ie_i$.

        On pose : $\forall (x,y) \in E \times E, ||(x,y)|| = \max(||x||_\infty, ||y||_\infty)$.

        On admet que $||.||_\infty$ est une norme sur $E$ et que $||.||$ est une norme sur $E \times E$.

        Soit $B : E \times E \to \mathbb{R}$ une forme bilinéaire sur $E$.

        \begin{enumerate}
            \item Prouver que $\exists C \in \mathbb{R}^+, \forall (x,y) \in E \times E, |B(x,y)| \leqslant C ||x||_\infty ||y||_\infty$.
            \item Montrer que $B$ est différentiable sur $E \times E$ et déterminer sa différentielle en tout $(u_0, v_0) \in E \times E$.
        \end{enumerate}
\end{enumerate}

\subsection*{Récap}

PAS FAIT

\newpage

\section*{Exercice 59}
\subsection*{Énoncé}

Soit $n$ un entier tel que $n \geqslant 2$.

Soit $E$ l'espace vectoriel des polynômes à coefficients dans $\mathbb{K}(\mathbb{K} = \mathbb{R}$ ou $\mathbb{C})$ de degré inférieur ou égal à $n$.

On pose : $\forall P \in E, f(P) = P - P'$.

\begin{enumerate}
    \item Démontrer que $f$ est bijectif de deux manières :
        \begin{enumerate}
            \item sans utiliser de matrice de $f$,
            \item en utilisant une matrice de $f$.
        \end{enumerate}
    \item Soit $Q \in E$. Trouver $P$ tel que $f(P) = Q$.
    
        \textbf{Indication} : Si $P \in E$, quel est le polynôme $P^(n+1)$ ?

    \item $f$ est-il diagonalisable ?
\end{enumerate}

\subsection*{Récap}

\begin{enumerate}
    \item Montrer que $f$ est un endo.
        \begin{enumerate}
            \item Injective + dim finie
            \item det M $\neq 0$
        \end{enumerate}

    \item Ecrire $Q^{(i)}$ et $P^{(n+1)} = 0$
    \item $\chi_f = (X-1)^{n+1}$ et $f \neq Id_E$
\end{enumerate}

\vspace*{0.5cm}

\section*{Exercice 60}
\subsection*{Énoncé}

Soit la matrice $A = \begin{pmatrix}
    1 & 2 \\
    2 & 4
\end{pmatrix}$ et $f$ l'endomorphisme de $\mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ défini par : $f(M) = AM$.

\begin{enumerate}
    \item Déterminer une base de $\mathrm{Ker} f$.
    \item $f$ est-il surjectif ?
    \item Déterminer une base de $\mathrm{Im} f$.
    \item A-t-on $\mathcal{M}_2(\mathbb{R}) = \mathrm{Ker} f \oplus \mathrm{Im} f$ ?
\end{enumerate}

\subsection*{Récap}

\begin{enumerate}
    \item $M \in \mathrm{Ker} f \iff ...$
    \item $\mathrm{Ker}f \neq \{0\}$ + dimension finie
    \item $M \in \mathrm{Im} f \iff ...$
    \item Soit $M \in \mathrm{Ker} f \cap \mathrm{Im} f...$
\end{enumerate}

\newpage

\section*{Exercice 61}
\subsection*{Énoncé}

On note $\mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ l'espace vectoriel des matrices carrées d'ordre $n$ à coefficients complexes.

Pour $A = (a_{i,j})_{1 \leqslant i,j \leqslant n} \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$, on pose : $\displaystyle ||A|| = \max_{1 \leqslant i,j \leqslant n} |a_{i,j}|$.

\begin{enumerate}
    \item Prouver que $||\ ||$ est une norme sur $\mathcal{M}_n(\mathbb{C})$.
    \item Démontrer que : $\forall (A,B) \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})^2, ||AB|| \leqslant n ||A|| ||B||$.
    
        Puis démontrer que, pour tout entier $p \geqslant 1, ||A^p|| \leqslant n^{p-1} ||A||^p$.
    
    \item Démontrer que, pour toute matrice $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$, la série $\displaystyle \sum_{p=0}^{+\infty} \frac{A^p}{p!}$ est absolument convergente.
    
        Est-elle convergente ?
\end{enumerate}

\subsection*{Récap}

\begin{enumerate}
    \item /
    \item $|a_{i,j}| \leqslant ||A||$

        Récurrence sur $p$
    \item $\displaystyle \bigg|\bigg| \frac{A^p}{p!} \bigg|\bigg| \leqslant \frac{1}{n} \frac{(n||A||)^p}{p!}$
    
        Comparaison des séries à termes positifs + dimension finie
\end{enumerate}

\vspace*{0.5cm}

\section*{Exercice 62}
\subsection*{Énoncé}

Soit $E$ un espace vectoriel sur $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$.

Soit $f \in \mathcal{L}(E)$ tel que $f^2-f-2\mathrm{Id} = 0$.

\begin{enumerate}
    \item Prouver que $f$ est bijectif et exprimer $f^{-1}$ en fonction de $f$.
    \item Prouver que $E = \mathrm{Ker} (f + \mathrm{Id}) \oplus \mathrm{Ker} (f - 2\mathrm{Id})$ :
        \begin{enumerate}
            \item en utilisant le lemme des noyaux,
            \item sans utiliser le lemme des noyaux.
        \end{enumerate}
    \item Dans cette question, on suppose que $E$ est de dimension finie.
    
        Prouver que $\mathrm{Im} (f + \mathrm{Id}) = \mathrm{Ker} (f - 2\mathrm{Id})$.
\end{enumerate}

\subsection*{Récap}

\begin{enumerate}
    \item Factoriser $f^2-f-2\mathrm{Id}$ ($f$ est linéaire)
    \item \begin{enumerate}
        \item Utiliser $P = X^2-X-2 = (X+1)(X-2)$ et $P(f) = 0$
        \item Analyse : $x = a+b$, trouver $a$ et $b$ puis synthèse
    \end{enumerate}
    \item Théorème du rang
\end{enumerate}

\newpage

\section*{Exercice 63}
\subsection*{Énoncé}

Soit $E$ un espace euclidien muni d'un produit scalaire noté $(|)$.

On pose $\forall x \in E, ||x|| = \sqrt{(x|x)}$.

Pour tout endomorphisme $u$ de $E$, on note $u^*$ l'adjoint de $u$.

\begin{enumerate}
    \item Un endomorphisme $u$ de $E$ vérifiant $\forall x \in E, (u(x)|x) = 0$ est-il nécessairement l'endomorphisme nul ?
    \item Soit $u \in \mathcal{L}(E)$.

        Prouver que les trois assertions suivantes sont équivalentes :
        \begin{enumerate}
            \item $u \circ u^* = u* \circ u$
            \item $\forall (x,y) \in E^2, (u(x)|u(y)) = (u^*(x)|u^*(y))$
            \item $\forall x \in E, ||u(x)|| = ||u^*(x)||$
        \end{enumerate}
\end{enumerate}

\subsection*{Récap}

\begin{enumerate}
    \item Rotation d'angle $\displaystyle \frac{\pi}{2}$
    \item $a \iff b$ : def adjoint puis bilinéarité
    
        $b \iff c$ : $(u(x)|u(x))$ puis linéarité

\end{enumerate}

\vspace*{0.5cm}

\section*{Exercice 64}
\subsection*{Énoncé}

Soit $f$ un endomorphisme d'un espace vectoriel $E$ de dimension finie $n$.
\begin{enumerate}
    \item Démontrer que $E = \mathrm{Im}f \oplus \mathrm{Ker}f \implies \mathrm{Im}f = \mathrm{Im}f^2$.
    \item \begin{enumerate}
        \item Démontrer que $\mathrm{Im}f = \mathrm{Im}f^2 \iff \mathrm{Ker}f = \mathrm{Ker}f^2$.
        \item Démontrer que $\mathrm{Ker}f = \mathrm{Ker}f^2 \implies E = \mathrm{Im}f \oplus \mathrm{Ker}f$.
    \end{enumerate}
\end{enumerate}

\subsection*{Récap}

\begin{enumerate}
    \item Double inclusion
    \item \begin{enumerate}
        \item Critère de rang et de dimensions + théorème du rang
        \item Montrer $\oplus$, puis théorème du rang
    \end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\section*{Exercice 65}
\subsection*{Énoncé}

Soit $u$ un endomorphisme d'un espace vectoriel $E$ sur le corps $\mathbb{K}$ ($\mathbb{K} = \mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$). On note $\mathbb{K}[X]$ l'ensemble des polynômes à coefficients dans $\mathbb{K}$.

\begin{enumerate}
    \item Démontrer que : $\forall (P,Q) \in \mathbb{K}[X] \times \mathbb{K}[X], (PQ)(u) = P(u) \circ Q(u)$.
    \item \begin{enumerate}
        \item Démontrer que : $\forall (P,Q) \in \mathbb{K}[X] \times \mathbb{K}[X], P(u) \circ Q(u) = Q(u) \circ P(u)$.
        \item Démontrer que pour tout $(P,Q) \in \mathbb{K}[X] \times \mathbb{K}[X]$ : ($P$ polynôme annulateur de $u$) $\implies$ ($PQ$  polynôme annulateur de $u$).
    \end{enumerate}
    \item Soit $A = \begin{pmatrix}
        -1 & -2 \\
        1 & 2
    \end{pmatrix}$. Écrire le polynôme caractéristique de $A$, puis en que le polynôme $R = X^4 + 2X^3 + X^2 - 4X$ est un polynôme annulateur de $A$.
\end{enumerate}

\subsection*{Récap}

\begin{enumerate}
    \item /
    \item \begin{enumerate}
        \item $PQ = QP$
        \item /
    \end{enumerate}
    \item Théorème de Cayley-Hamilton
    
        $R(0) = R(1) = 0$, factoriser
\end{enumerate}

\vspace*{0.5cm}

\section*{Exercice 66}
\subsection*{Énoncé}

\begin{enumerate}
    \item Soit $A \in S_n(\mathbb{R})$.

        Prouver que $A \in S_n^+(\mathbb{R}) \iff \mathrm{sp}(A) \subset [0,+\infty[$.
    \item Prouver que $\forall A \in S_n(\mathbb{R}), A^2 \in S_n^+(\mathbb{R})$.
    \item Prouver que $\forall A \in S_n(\mathbb{R}), \forall B \in S_n^+(\mathbb{R}), AB = BA \implies A^2B \in S_n^+(\mathbb{R})$.
    \item Soit $A \in S_n(\mathbb{R})$.

        Prouver qu'il existe $B \in S_n^+(\mathbb{R})$ tel que $A = B^2$.
\end{enumerate}

\subsection*{Récap}

\begin{enumerate}
    \item $X^TAX \geqslant 0$ et $X \neq 0$
    
        Théorème spectral : écriture en diag

    PAS FINI
\end{enumerate}

\newpage

\section*{Exercice 67}
\subsection*{Énoncé}

Soit la matrice $\displaystyle M = \begin{pmatrix}
    0 & a & c \\
    b & 0 & c \\
    b & -a & 0 
\end{pmatrix}$ où $a,b,c$ sont des réels.

$M$ est-elle diagonalisable dans $\mathcal{M}_3(\mathbb{R})$ ? $M$ est-elle diagonalisable dans $\mathcal{M}_3(\mathbb{C})$ ?

\subsection*{Récap}

\begin{enumerate}
    \item Calculer $\chi_M$ puis disjonction sur le signe de $ac-ba-bc$
    
        Semblable à la matrice nulle ?

        $\chi_M$ scindé sur $\mathbb{R}$ ?
\end{enumerate}

\vspace*{0.5cm}

\section*{Exercice 68}
\subsection*{Énoncé}

Soit la matrice $\displaystyle A = \begin{pmatrix}
    1 & -1 & 1 \\
    -1 & 1 & -1 \\
    1 & -1 & 1
\end{pmatrix}$

\begin{enumerate}
    \item Démontrer que $A$ est diagonalisable de quatre manières :
    
        \begin{enumerate}
            \item sans calcul
            \item en calculant directement le déterminant $\det(\lambda I_3 - A)$, où $I_3$ est la matrice identité d'ordre $3$, et en déterminant les sous-espaces propres
            \item en utilisant le rang de la matrice
            \item en calculant $A^2$
        \end{enumerate}
    \item On suppose que $A$ est la matrice d'un endomorphisme $u$ d'un espace euclidien dans une base orthonormée.
    
        Trouver une base orthonormée dans laquelle la matrice de $u$ est diagonale.
\end{enumerate}

\subsection*{Récap}

\begin{enumerate}
    \item \begin{enumerate}
        \item Théorème spectral
        \item $\displaystyle \sum\dim SEP = 3$
        \item $\displaystyle \sum\dim SEP = 3$
        \item $X^2-3X$ est scindé à racines simples
    \end{enumerate}
    \item SEP orthogonaux

        Fabriquer les $e_i$ à partir des SEP = $\mathrm{Vect}(...)$
\end{enumerate}

\newpage

\section*{Exercice 69}
\subsection*{Énoncé}

On considère la matrice $\displaystyle A = \begin{pmatrix}
    0 & a & 1 \\
    a & 0 & 1 \\
    a & 1 & 0
\end{pmatrix}$ où $a$ est un réel.

\begin{enumerate}
    \item Déterminer le rang de $A$.
    \item Pour quelles valeurs de $a$, la matrice $A$ est-elle diagonalisable ?
\end{enumerate}

\subsection*{Récap}

\begin{enumerate}
    \item Calculer $\det A$ puis disjonction $a = 0, a=-1, a \notin \{0,-1\}$
    \item Calculer $\chi_A$ puis si $a$ est une racine ou non
    
        $\dim E_r =$ multiplicité de $r$ ?
\end{enumerate}

\vspace*{0.5cm}

\section*{Exercice 70}
\subsection*{Énoncé}

Soit $\displaystyle A = \begin{pmatrix}
    0 & 0 & 1 \\
    1 & 0 & 0 \\
    0 & 1 & 0 \\
\end{pmatrix} \in \mathcal{M}_3(\mathbb{C})$.

\begin{enumerate}
    \item Déterminer les valeurs propres et les vecteurs propres de $A$. $A$ est-elle diagonalisable ?
    \item Soit $(a,b,c) \in \mathbb{C}^3$ et $B = aI_3 + bA + cA^2$, où $I_3$ désigne la matrice identité d'ordre $3$.

        Déduire de la question \textbf{1} les éléments propres de $B$.
\end{enumerate}

\subsection*{Récap}

\begin{enumerate}
    \item Calculer $\chi_A$ puis les vecteurs propres
    \item Construire la matrice de passage $P$ et la matrice diagonale $D$ des valeurs propres
    
        Poser $Q$ le polynôme correspondant à $B$

        $E_{Q_(\lambda)}(B) = E_\lambda(A)$

        Distinguer selon les égalités entre les $Q(\lambda)$
\end{enumerate}

\newpage

\section*{Exercice 71}
\subsection*{Énoncé}

Soit $P$ le plan d'équation $x + y + z = 0$ et $D$ la droite d'équation $\displaystyle x = \frac{y}{2} = \frac{z}{3}$.

\begin{enumerate}
    \item Vérifier que $\mathbb{R}^3 = P \oplus D$.
    \item Soit $p$ la projection vectorielle de $\mathbb{R}^3$ sur $P$ parallèlement à $D$.
    
        Soit $u = (x, y, z) \in \mathbb{R}^3$

        Déterminer $p(u)$ et donner la matrice de $p$ dans la base canonique de $\mathbb{R}^3$.
    \item Déterminer une base de $\mathbb{R}^3$ dans laquelle la matrice de $p$ est diagonale.
\end{enumerate}

\subsection*{Récap}

\begin{enumerate}
    \item $D = \mathrm{Vect}(1,2,3)$ qui ne marche pas pour $P$ puis argument de dimension
    \item $p(u) \in P, u-p(u)\in D$, trouver le coeff de proportionnalité pour le $\mathrm{Vect}(1,2,3)$ et réécrire $p(u)$
    \item Concaténation des bases de $D$ et de $P$
\end{enumerate}

\vspace*{0.5cm}

\section*{Exercice 72}
\subsection*{Énoncé}

Soit $n$ un entier naturel non nul.

Soit $f$ un endomorphisme d'un espace vectoriel $E$ de dimension $n$, et soit $e = (e_1,..., e_n)$ une base de $E$.

On pose que $f(e_1) = f(e_2) = ... = f(e_n) = v$ où $v$ est un vecteur donné de $E$.

\begin{enumerate}
    \item Donner le rang de $f$.
    \item $f$ est-il diagonalisable ? (discuter en fonction du vecteur $v$)
\end{enumerate}

\subsection*{Récap}

\begin{enumerate}
    \item Disjonction $v = 0$ et $v \neq 0$
    \item Ecrire $\chi_f$
    
        Disjonction $v = 0$ et $v \neq 0$
    
        Dans le deuxième cas, disjonction $\lambda = 0$ et $\lambda \neq 0$
\end{enumerate}

\newpage

\section*{Exercice 73}
\subsection*{Énoncé}

On pose $A = \begin{pmatrix}
    2 & 1 \\
    4 & -1 \\
\end{pmatrix}$.

\begin{enumerate}
    \item Déterminer les valeurs propres et les vecteurs propres de $A$.
    \item Déterminer toutes les matrices qui commutent avec la matrice $\displaystyle \begin{pmatrix}
        3 & 0 \\
        0 & -2
    \end{pmatrix}$.

    En déduire que l'ensemble des matrices qui commutent avec $A$ est $\mathrm{Vect}(I_2,A)$.
\end{enumerate}

\subsection*{Récap}

\begin{enumerate}
    \item /
    \item Utiliser $PDP^{-1}$ avec $P$ inversible
\end{enumerate}

\vspace*{0.5cm}

\section*{Exercice 74}
\subsection*{Énoncé}

\begin{enumerate}
    \item On considère la matrice $\displaystyle A = \begin{pmatrix}
        1 & 0 & 2 \\
        0 & 1 & 0 \\
        2 & 0 & 1
    \end{pmatrix}$.
    \begin{enumerate}
        \item Justifier sans calcul que $A$ est diagonalisable.
        \item Déterminer les valeurs propres de $A$ puis une base de vecteurs propres associés.
    \end{enumerate}
    
    \item On considère le système différentiel $\displaystyle \begin{cases}
        x' = x + 2z \\
        y' = y \\
        z' = 2x + z
    \end{cases}, x,y,z$ désignant trois fonctions de la variable $t$, dérivables sur $\mathbb{R}$.

        En utilisant la question $1$ et en le justifiant, résoudre ce système.
\end{enumerate}

\subsection*{Récap}

\begin{enumerate}
    \item \begin{enumerate}
        \item Théorème spectral
        \item Développer le $\det$ sur la ligne du milieu et reconnaître $X^2-2X-3 = (X+1)(X-3)$
    \end{enumerate}
    \item Poser $X = (x(t), y(t), z(t))^T$, pour $(S) \iff X' = AX$
    
        Diagonaliser $A$ avec la matrice de passage vers la base de la question $1$

        Dériver et résoudre les équas diffs d'ordre $1$ sur chaque ligne
\end{enumerate}

\newpage

\section*{Exercice 75}
\subsection*{Énoncé}

On considère la matrice $\displaystyle A = \begin{pmatrix}
    -1 & -4 \\
    1 & 3
\end{pmatrix}$.

\begin{enumerate}
    \item Démontrer que $A$ n'est pas diagonalisable.
    \item On note $f$ l'endomorphisme de $\mathbb{R}^2$ canoniquement associé à $A$.
    
        Trouver une base $(v_1, v_2)$ de $\mathbb{R}^2$ dans laquelle la matrice de $f$ est de la forme $\displaystyle \begin{pmatrix}
            a & b \\
            0 & c
        \end{pmatrix}$

        On donnera explicitement les valeurs de $a, b$ et $c$.

    \item En déduire la résolution du système différentiel $\displaystyle \begin{cases}
        x' = -x - 4y \\
        y' = x + 3y
    \end{cases}$.
\end{enumerate}

\subsection*{Récap}

\begin{enumerate}
    \item $\chi_A$ scindé à racines simples ?
    \item La seule valeur propre est $1$

        Trouver $v_2$ tq $f(v_2) = v_1 +v_2$

    \item Poser $A = PTP^{-1}$, $X$ et $Y=P^{-1}X$
\end{enumerate}

\vspace*{0.5cm}

\section*{Exercice 76}
\subsection*{Énoncé}

Soit $E$ un $\mathbb{R}$-espace vectoriel muni d'un produit scalaire noté $(|)$.

On pose $\forall x \in E, ||x|| = \sqrt{(x|x)}$.

\begin{enumerate}
    \item \begin{enumerate}
        \item Énoncer et démontrer l'inégalité de Cauchy-Schwarz.
        \item Dans quel cas a-t-on égalité ? Le démontrer.
    \end{enumerate}

    \item Soit $E = \{f \in \mathcal{C}([a,b], \mathbb{R}), \forall x \in [a,b], f(x) > 0\}$.
    
        Prouver que l'ensemble $\displaystyle \bigg\{\int_a^b f(t)\mathrm{d}t \times \int_a^b \frac{1}{f(t)}\mathrm{d}t, f \in E \bigg\}$ admet une borne inférieure $m$ et déterminer la valeur de $m$.
\end{enumerate}

\subsection*{Récap}

\begin{enumerate}
    \item Poser $P(\lambda) = ||x + \lambda y||^2$ puis faire $y=0$ et $y \neq 0$ (second avec discriminant)

        Égalité quand colinéaire, prouvée par double implication

    \item Produit scalaire usuel sur $\mathcal{C}([a,b], \mathbb{R}^*_+)$
    
        Montrer non vide pour existence du min ($f : t\mapsto 1$)

        Utiliser $\displaystyle \int_a^b \sqrt(f(t))\mathrm{d}t \int_a^b \frac{\mathrm{d}t}{\sqrt{f(t)}}$

        min atteint avec $f : t \mapsto 1$
\end{enumerate}

\newpage

\section*{Exercice 77}
\subsection*{Énoncé}

Soit $E$ un espace euclidien.

\begin{enumerate}
    \item Soit $A$ un sous-espace vectoriel de $E$
    
        Démontrer que $(A^\perp)^\perp = A$.

     \item Soient $F$ et $G$ deux sous-espaces vectoriels de $E$.
     \begin{enumerate}
        \item Démontrer que $(F + G)^\perp = F^\perp \cap G^\perp$.
        \item Démontrer que $(F \cap G)^\perp = F^\perp + G^\perp$.
     \end{enumerate}
\end{enumerate}

\subsection*{Récap}

PAS FAIT

\vspace*{0.5cm}

\section*{Exercice 78}
\subsection*{Énoncé}

Soit $E$ un espace euclidien de dimension $n$ et $u$ un endomorphisme de $E$.

On note $(x|y)$ le produit scalaire de $x$ et de $y$ et $||.||$ la norme euclidienne associée.

\begin{enumerate}
    \item Soit $u$ un endomorphisme de $E$, tel que : $\forall x \in E, ||u(x)|| = ||x||$.
        \begin{enumerate}
            \item Démontrer que : $\forall (x,y) \in E^2, (u(x)|u(y)) = (x[y])$.
            \item Démontrer que $u$ est bijectif.
        \end{enumerate}

    \item Démontrer que l'ensemble $\mathcal{O}(E)$ des isométries vectorielles de $E$, muni de la loi $\circ$, est un groupe.
    \item Soit $u \in \mathcal{L}(E)$. Soit $e = (e_1,e_2,...,e_n)$ une base orthonormée de $E$.
    
        Prouver que : $u \in \mathcal{O}(E) \iff (u(e_1), u(e_2),...,u(e_n))$ est une base orthonormée de $E$.
\end{enumerate}

\subsection*{Récap}

PAS FAIT

\newpage

\section*{Exercice 79}
\subsection*{Énoncé}

Soit $a$ et $b$ deux réels tels que $a < b$.

\begin{enumerate}
    \item Soit $h$ une fonction continue et positive de $[a,b]$ dans $\mathbb{R}$.
    
        Démontrer que $\displaystyle \int_a^b h(t)\mathrm{d}t = 0 \implies h = 0$.

    \item Soit $E$ le $\mathbb{R}$-espace vectoriel des fonctions continues de $[a,b]$ dans $\mathbb{R}$.
    
        On pose : $\displaystyle \forall (f,g) \in E^2, (f|g) = \int_a^b f(x)g(x)\mathrm{d}x$.

        Démontrer que l'on définit ainsi un produit scalaire sur $E$.

    \item Majorer $\displaystyle \int_0^1 \sqrt{x}e^{-x}\mathrm{d}x$ en utilisant l'inégalité de Cauchy-Schwarz.
\end{enumerate}

\subsection*{Récap}

PAS FAIT

\vspace*{0.5cm}

\section*{Exercice 80}
\subsection*{Énoncé}

Soit $E$ l'espace vectoriel des applications continues et $2\pi$-périodiques de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$.

\begin{enumerate}
    \item Démontrer que $\displaystyle (f|g) = \frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} f(t)g(t)\mathrm{d}t$ définit un produit scalaire sur $E$.
    \item Soit $F$ le sous-espace vectoriel engendré par $f : x \mapsto \cos x$ et $g : x \mapsto \cos(2x)$
    
        Déterminer le projeté orthogonal sur $F$ de la fonction $u : x \mapsto \sin^2 x$.
\end{enumerate}

\subsection*{Récap}

\begin{enumerate}
    \item BSDP
    
        Attention pour la définition : on montre $f = 0$ en montrant $f = 0$ sur $[0,2\pi]$ avec l'intégrale et la $2\pi$-périodicité

    \item Utiliser $\displaystyle \sin(x) = \frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}$ et poser $\displaystyle h : x \mapsto \frac{1}{2}$
\end{enumerate}

\newpage

\section*{Exercice 81}
\subsection*{Énoncé}

On définit dans $\mathcal{M}_2(\mathbb{R}) \times \mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ l'application $\varphi$ par : $\varphi(A,A') = \mathrm{tr}(A^TA')$, où $\mathrm{tr}(A^TA')$ désigne la trace du produit de la matrice $A^T$ par la matrice $A'$.

On admet que $\varphi$ est un produit scalaire sur $\mathcal{M}_2(\mathbb{R})$.

On note $\displaystyle \mathcal{F} = \bigg\{\begin{pmatrix}
    a & b \\
    -b & a
\end{pmatrix}, (a,b) \in \mathbb{R}^2\bigg\}$.

\begin{enumerate}
    \item Démontrer que $\mathcal{F}$ est un sous-espace vectoriel de $\mathcal{M}_2(\mathbb{R})$.
    \item Déterminer une base orthonormée de $\mathcal{F}^\perp$.
    \item Déterminer le projeté orthogonal de $\displaystyle J = \begin{pmatrix}
        1 & 1 \\ 1 & 1
    \end{pmatrix}$ sur $\mathcal{F}^\perp$.

    \item Calculer la distance de $J$ à $\mathcal{F}$.
\end{enumerate}

\subsection*{Récap}

\begin{enumerate}
    \item $M = aI_2 + b\begin{pmatrix}
        0 & 1 \\ -1 & 0
    \end{pmatrix}$

    \item /
    \item $J = J_{//} + J_\perp$
    \item Distance avec le projeté orthogonal
\end{enumerate}

\vspace*{0.5cm}

\section*{Exercice 82}
\subsection*{Énoncé}

Soit $E$ un espace préhilbertien et $F$ un sous-espace vectoriel de $E$ de dimension finie $n$.

On admet que, pour tout $x \in E$, il existe un élément unique $y_0$ de $F$ tel que $x - y_0$ soit orthogonal à $F$ et que la distance de $x$ à $F$ soit égale à $||x - y_0||$.

Pour $\displaystyle A = \begin{pmatrix}
    a & b \\
    c & d
\end{pmatrix}$ et $\displaystyle A' = \begin{pmatrix}
    a' & b' \\
    c' & d'
\end{pmatrix}$, on pose $(A|A') = aa' + bb' + cc' + dd'$.

\begin{enumerate}
    \item Démontrer que $(.|.)$ est un produit scalaire sur $\mathcal{M}_2(\mathbb{R})$.
    \item Calculer la distance de la matrice $\displaystyle A = \begin{pmatrix}
        1 & 0 \\
        -1 & 2
    \end{pmatrix}$ au sous-espace vectoriel $F$ des matrices triangulaires supérieures.
\end{enumerate}

\subsection*{Récap}

\begin{enumerate}
    \item /
    \item $(\text{triangulaire sup} | \text{triangulaire inf}) = 0$
\end{enumerate}

\newpage

\section*{Exercice 83}
\subsection*{Énoncé}

Soit $u$ et $v$ deux endomorphismes d'un $\mathbb{R}$-espace vectoriel $E$.

\begin{enumerate}
    \item Soit $\lambda$ un réel non nul. Prouver que si $\lambda$ est valeur propre de $u \circ v$, alors $\lambda$ est valeur propre de $v \circ u$.
    \item On considère, sur $E = \mathbb{R}[X]$ les endomorphismes $u$ et $v$ définis par $\displaystyle u : P \mapsto \int_1^X P$ et $v : P \mapsto P'$.
    
        Déterminer $\mathrm{Ker}(u \circ v)$ et $\mathrm{Ker}(v \circ u)$. Le résultat de la question $1$ reste-t-il vrai pour $\lambda = 0$ ?
    
    \item Si $E$ est de dimension finie, montrer que le résultat de la première question reste vrai pour $\lambda = 0$.
    
        \textbf{Indication} : penser à utiliser le déterminant.
\end{enumerate}

\subsection*{Récap}

\begin{enumerate}
    \item Appliquer $v$, trouver le vecteur propre $v(x)$
    \item Simplifier les expressions de $u \circ v$ et $v \circ u$
    \item $\det(u \circ v) = \det u \det v = \det v \det u = \det(v \circ u)$
\end{enumerate}

\vspace*{0.5cm}

\section*{Exercice 84}
\subsection*{Énoncé}

\begin{enumerate}
    \item Donner la définition d'un argument d'un nombre complexe non nul (on ne demande ni l'interprétation géométrique, ni la démonstration de l'existence d'un tel nombre).
    \item Soit $n \in \mathbb{N}^*$. Donner, en justifiant, les solutions dans $\mathbb{C}$ les solutions de l'équation $z^n = 1$ et préciser leur nombre.
    \item En déduire, pour $n \in \mathbb{N}^*$, les solutions dans $\mathbb{C}$ de l'équation $(z+i)^n = (z-i)^n$ et démontrer que ce sont des nombres réels.    
\end{enumerate}

\subsection*{Récap}

PAS FAIT

\newpage

\section*{Exercice 85}
\subsection*{Énoncé}

\begin{enumerate}
    \item Soient $n \in \mathbb{N}^*, P \in \mathbb{R}_n[X]$ et $a \in \mathbb{R}$.
    \begin{enumerate}
        \item Donner sans démonstration, en utilisant la formule de Taylor, la décomposition de $P(X)$ dans la base $\big(1, (X-a), (X-a)^2, \dots, (X-a)^n\big)$.
        \item Soit $r \in \mathbb{N}^*$. En déduire que :
        
            $a$ est une racine de $P$ de multiplicité $r$ si et seulement si $P^{(r)}(a) \neq 0$ et $\forall k \in \llbracket 0, r-1 \rrbracket, P^{(k)}(a) = 0$.
    \end{enumerate}
    \item Déterminer deux réels $a$ et $b$ pour que $1$ soit racine double du polynôme $P = X^5 + aX^2 + bX$ et factoriser alors ce polynôme dans $\mathbb{R}[X]$.
\end{enumerate}

\subsection*{Récap}

\begin{enumerate}
    \item /
    \item Formule de Taylor + unicité de la décomposition
    \item Vérification avec le déterminant
\end{enumerate}

\vspace*{0.5cm}

\section*{Exercice 86}
\subsection*{Récap}

\begin{enumerate}
    \item Soit $(a,b,p) \in \mathbb{Z}^3$. Prouver que si $p \wedge a = 1$ et $p \wedge b = 1$, alors $p \wedge (ab) = 1$.
    \item Soit $p$ un nombre premier
    
        \begin{enumerate}
            \item Prouver que $\displaystyle \forall k \in \llbracket 1, p-1 \rrbracket, p \text{ divise } \begin{pmatrix}p\\k\end{pmatrix}k!$ puis en déduire que $\displaystyle p \text{ divise } \begin{pmatrix}p\\k\end{pmatrix}$.
            \item Prouver que : $\forall n \in \mathbb{N}, n^p \equiv n \mod p$.
            
                \textbf{Indication} : procéder par récurrence.

            \item En déduire, pour tout entier naturel $n$, que : $p$ ne divise pas $n \implies n^{p-1} \equiv 1 \mod 1$.
        \end{enumerate}
\end{enumerate}

\subsection*{Récap}

\begin{enumerate}
    \item Écrire Bézout pour $a$ et $b$ et multiplier les égalités
    \item \begin{enumerate}
        \item Écrire $\displaystyle \begin{pmatrix}p\\k\end{pmatrix}$ avec les factorielles
        
            Théorème de Gauss avec $k < p$ et $p$ premier pour conclure

        \item Écrire $(n+1)^p$ avec le binôme de Newton pour la récurrence
        \item $n^p \equiv n\!\! \mod p \iff p | (n^p-n) \iff p | n(n^{p-1}-1)$
            
            Théorème de Gauss avec $p \wedge n = 1$

            $p | n^{p-1} -1 \iff n^{p-1} \equiv 1 \mod p$
    \end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\section*{Exercice 87}
\subsection*{Énoncé}

Soient $a_0,a_1,...,a_n n+1$ réels deux à deux distincts.

\begin{enumerate}
    \item Montrer que si $b_0, b_1,...,b_n$ sont $n+1$ réels quelconques, alors il existe un unique polynôme $P$ vérifiant
    
        $\deg P \leqslant n$ et $\forall i \in \llbracket 0, n \rrbracket, P(a_i) = b_i$.
    
    \item Soit $k \in \llbracket 0, n \rrbracket$.
    
        Expliciter ce polynôme $P$, que l'on notera $L_k$, lorsque :

        $\displaystyle \forall i \in \llbracket 0, n \rrbracket, b_i = \begin{cases}
            0 & \text{si } i \neq k\\
            1 & \text{si } i = k
        \end{cases}$

    \item Prouver que $\displaystyle \forall p \in \llbracket 0, n \rrbracket, \sum_{k=0}^n a_k^p L_k = X^p$ 
\end{enumerate}

\subsection*{Récap}

\begin{enumerate}
    \item Montrer que $u : P \mapsto (P(a_0)...P(a_n))$ est linéaire et injective donc bijective (pour unicité)
    
    \item $\deg L_k \leqslant n$ et $n$ racines (tous les $a_i$ sauf $a_k$) : $\displaystyle L_k = \lambda_{i \neq k} \prod (X-a_i)$
    
        Utiliser $L_k(a_k) = 1$ pour trouver la valeur de $\Lambda$ pour trouver polynôme interpolateur de Lagrange : $\displaystyle \prod_{i \neq k} \frac{X-a_i}{a_k-a_i}$

    \item Mêmes conditions d'interpolation et unicité de la question $1$

\end{enumerate}

\vspace*{0.3cm}

\section*{Exercice 88}
\subsection*{Énoncé}

\begin{enumerate}
    \item Soit $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel $(\mathbb{K} = \mathbb{R} \text{ ou } \mathbb{C})$.
    
        Soit $u \in \mathcal{L}(E)$. Soit $P \in \mathbb{K}[X]$.

        Prouver que si $P$ annule $u$, alors toute valeur propre de $u$ est racine de $P$.

    \item Soit $n \in \mathbb{N}$ tel que $n \geqslant 2$. On pose $E = \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$.
    
        Soit $\displaystyle A = (a_{i,j})_{\underset{1 \leqslant j \leqslant n}{1 \leqslant i \leqslant n}}$ la matrice de $E$ définie par $\displaystyle a_{i,j} = \begin{cases}
            0 & \text{si } i = j\\
            1 & \text{si } i \neq j
        \end{cases}$.

        Soit $u \in \mathcal{L}(E)$ défini par : $\forall M \in E, u(M) = M + \mathrm{tr}(M)A$.

        \begin{enumerate}
            \item Prouver que le polynôme $X^2-2X+1$ est annulateur de $u$.
            \item $u$ est-il diagonalisable ?
            
            Justifier votre réponse en utilisant deux méthodes (l'une avec, l'autre sans l'aide de la question $1$).
        \end{enumerate}
\end{enumerate}

\subsection*{Récap}

\begin{enumerate}
    \item $u^{k}(x) = \lambda^{k}x$
    
        Bien dire que vecteur propre $neq 0$
        
    \item \begin{enumerate}
        \item Calculer $u^{2}(M)$
        \item Non\begin{enumerate}
            \item $P = (X-1)^2$, faire $\mathrm{Sp} \subset$ puis $\supset \{1\}$
            \item $\pi_u | (X-1)^2$ puis scindé à racines simples
        \end{enumerate}
    \end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\section*{Exercice 89}
\subsection*{Énoncé}

Soit $n \in \mathbb{N}$ tel que $n \geqslant 2$. On pose $\displaystyle z = e^{i\frac{2\pi}{n}}$.

\begin{enumerate}
    \item On suppose $k \in \llbracket 1, n \rrbracket$.
    
        Déterminer le module et un argument du nombre complexe $z^k -1$.

    \item On pose $\displaystyle S = \sum_{k=0}^{n-1} |z^k-1|$. Montrer que $\displaystyle S = \frac{2}{\tan \frac{\pi}{2n}}$.
\end{enumerate}

\subsection*{Récap}

\begin{enumerate}
    \item Factoriser le $1$
    \item Euler
\end{enumerate}

\vspace*{0.5cm}

\section*{Exercice 90}
\subsection*{Énoncé}

$\mathbb{K}$ désigne le corps des réels ou celui des complexes.

Soient $a_1,a_2,a_3$ trois scalaires distincts de $\mathbb{K}$.

\begin{enumerate}
    \item Montrer que $\displaystyle \phi : \begin{array}{lcl}
        \mathbb{K}_2[X] & \to & \mathbb{K}^3\\
        P & \mapsto & (P(a_1), P(a_2), P(a_3))
    \end{array}$ est un isomorphisme d'espaces vectoriels.
    \item On note $(e_1,e_2,e_3)$ la base canonique de $\mathbb{K}^3$ et on pose $\forall k \in \{1,2,3\}, L_k = \phi^{-1}(e_k)$.
    
        \begin{enumerate}
            \item Justifier que $(L_1,L_2,L_3)$ est une base de $\mathbb{K}_2[X]$.
            \item Exprimer les polynômes $L_1, L_2, L_3$ en fonction de $a_1, a_2$ et $a_3$.
        \end{enumerate}

    \item Soit $P \in \mathbb{K}^2[X]$. Déterminer les coordonnées de $P$ dans la base $(L_1,L_2,L_3)$.

    \item \textbf{Application} : on se place dans $\mathbb{R}^2$ muni d'un repère orthonormé et on considère les trois points $A(0,1), B(1,3), C(2,1)$.
    
        Déterminer une fonction polynomiale de degré $2$ dont la courbe passe par les points $A, B$ et $C$.
\end{enumerate}

\subsection*{Récap}

\begin{enumerate}
    \item /
    \item \begin{enumerate}
        \item Image réciproque d'une base par un isomorphisme
        \item Factoriser
    \end{enumerate}
    \item /
    \item On cherche $P$ tq $(P(a_1,) P(a_2), P(a_3)) = (1,3,1)$
\end{enumerate}

\newpage

\section*{Exercice 91}
\subsection*{Énoncé}

On considère la matrice $\displaystyle A = \begin{pmatrix}
    0 & 2 & -1 \\
    -1 & 3 & -1 \\
    -1 & 2 & 0
\end{pmatrix} \in \mathcal{M}_3(\mathbb{R})$.

\begin{enumerate}
    \item Montrer que $A$ n'admet qu'une seule valeur propre que l'on déterminera.
    \item La matrice $A$ est-elle inversible ? Est-elle diagonalisable ?
    \item Déterminer, en justifiant, le polynôme minimal de $A$.
    \item Soit $n \in \mathbb{N}$. Déterminer le reste de la division euclidienne de $X^n$ par $(X-1)^2$ et en déduire la valeur de $A^n$.
\end{enumerate}

\subsection*{Récap}

\begin{enumerate}
    \item $L2 - L1$ et $L3 - L1$
    \item $0$ dans spectre ? Semblable à $I_n$ ?
    \item Noter les polynômes possibles
    \item Réécrire $X^n$
\end{enumerate}

\vspace*{0.5cm}

\section*{Exercice 92}
\subsection*{Énoncé}

Soit $n \in \mathbb{N}^*$. On considère $E = \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ l'espace vectoriel des matrices carrées d'ordre $n$.

On pose : $\forall (A,B) \in E^2, \langle A, B \rangle = \mathrm{tr}(A^TB)$ où $\mathrm{tr}$ désigne la trace et $A^T$ désigne la transposée de la matrice $A$.

\begin{enumerate}
    \item Prouver que $\langle \cdot, \cdot \rangle$ est un produit scalaire sur $E$.
    \item On note $S_n(\mathbb{R})$ l'ensemble des matrices symétriques de $E$.
    
        Une matrice $A$ de $E$ est dite antisymétrique si $A^T = -A$.

        On note $A_n(\mathbb{R})$ l'ensemble des matrices antisymétriques de $E$.

        On admet que $S_n(\mathbb{R})$ et $A_n(\mathbb{R})$ sont des sous-espaces vectoriels de $E$.

        \begin{enumerate}
            \item Prouver que $E = S_n(\mathbb{R}) \oplus A_n(\mathbb{R})$.
            \item Prouver que $A_n(\mathbb{R})^\perp = S_n(\mathbb{R})$.
        \end{enumerate}

    \item Soit $F$ l'ensemble des matrices diagonales de $E$.
        
        Déterminer $F^\perp$.
\end{enumerate}

\subsection*{Récap}

\begin{enumerate}
    \item /
    \item \begin{enumerate}
        \item $\displaystyle S = \frac{M + M^T}{2}, A = \frac{M - M^T}{2}$
        \item Montrer $\langle A, B \rangle = 0$
    \end{enumerate}
    \item Utiliser la base canonique de $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$
\end{enumerate}

\newpage

\section*{Exercice 93}
\subsection*{Énoncé}

Soit $E$ un espace vectoriel de dimension finie $n > 0$ et $u \in \mathcal{L}(E)$ tel que $u^3 + u^2 + u = 0$.

On notera $\mathrm{Id}$ l'application identité sur $E$

\begin{enumerate}
    \item Montrer que $\Im(u) \oplus \mathrm{Ker}(u) = E$.
    \item \begin{enumerate}
        \item Énoncer le lemme des noyaux pour deux polynômes.
        \item En déduire que $\Im u = \mathrm{Ker}(u^2 + u + \mathrm{Id})$.
    \end{enumerate}
    \item On suppose que $u$ est non bijectif
    
        Déterminer les valeurs propres de $u$. Justifier la réponse.

    \textbf{Remarque} : les questions 1, 2 et 3 peuvent être traitées indépendamment les unes des autres.
\end{enumerate}

\subsection*{Récap}

\begin{enumerate}
    \item Poser $y \in \mathrm{Im}u\cap\mathrm{Ker}u$
    \item \begin{enumerate}
        \item /
        \item Lemme des noyaux avec $X^3+X^2+X=X(X^2+X+1)$
    \end{enumerate}
    \item $0 \in \mathrm{Sp}u \iff u$ est injectif
\end{enumerate}

\vspace*{0.5cm}

\section*{Exercice 94}
\subsection*{Énoncé}

\begin{enumerate}
    \item Énoncer le théorème de Bézout dans $\mathbb{Z}$.
    \item Soit $a$ et $b$ deux entiers naturels premiers entre eux.
    
        Soit $c \in \mathbb{N}$

        Prouver que : $(a|c \text{ et } b|c) \iff ab|c$.

    \item On considère le système $\displaystyle (S) : \begin{cases}
        x \equiv 6 [17]\\
        x \equiv 4 [15]
    \end{cases}$ dans lequel l'inconnue $x$ appartient à $\mathbb{Z}$.
    \begin{enumerate}
        \item Déterminer une solution particulière $x_0$ de $(S)$ dans $\mathbb{Z}$.
        \item Déduire des questions précédentes la résolution dans $\mathbb{Z}$ du système $(S)$.
    \end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\section*{Exercice 95}
\subsection*{Énoncé}

Une urne contient deux boules blanches et huit boules noires.

\begin{enumerate}
    \item Un joueur tire successivement, avec remise, cinq boules dans cette urne.
    
        Pour chaque boule blanche tirée, il gagne $2$ points et pour chaque boule noire tirée, il perd $3$ points.

        On note $X$ la variable aléatoire représentant le nombre de boules blanches tirées.

        On note $Y$ le nombre de points obtenus par le joueur sur une partie.

        \begin{enumerate}
            \item Déterminer la loi de $X$, son espérance et sa variance.
            \item Déterminer la loi de $Y$, son espérance et sa variance.
        \end{enumerate}

    \item Dans cette question, on suppose que les cinq tirages successifs se font sans remise.
    
        \begin{enumerate}
            \item Déterminer la loi de $X$. \quad \quad (b)\  Déterminer la loi de $Y$.
        \end{enumerate}
\end{enumerate}

\subsection*{Récap}

\begin{enumerate}
    \item \begin{enumerate}
        \item Loi binomiale \quad \quad (b)\ $Y = 2X - 3(5-X) = 5X - 15$
    \end{enumerate}
    \item \begin{enumerate}
        \item $\Omega$ est l'ensemble des parties à $5$ éléments avec $k$ boules blanches et $5-k$ boules noires.
        
            Faire les $E_k$ ces parties et les nb de possibilités avec les parmi.
        \item $Y = 5X-15$
    \end{enumerate}
\end{enumerate}

\section*{Exercice 96}

Soit $X$ une variable aléatoire à valeurs dans $\mathbb{N}$, de loi de probabilité donnée par : $\forall n \mathbb{N}, P(X=n) = p_n$.

La fonction génératrice de $X$ est notée $G_X$ et elle est définie par $G_X(t) = E[t^X] = \sum_{n=0}^{+\infty}p_nt^n$.

\begin{enumerate}
    \item Prouver que l'intervalle $]-1,1[$ est inclus dans l'ensemble de définition de $G_X$.
    \item Soit $X_1$ et $X_2$ deux variables aléatoires indépendantes à valeurs dans $\mathbb{N}$

        On pose $S = X_1 + X_2$.
        Démontrer que $\forall t \in ]-1,1[, G_S(t) = G_{x_1}(t)G_{X_2}(t)$ :

        \begin{enumerate}
            \item en utilisant le produit de Cauchy de deux séries entières.
            \item en utilisant uniquement la définition de la fonction génératrice par $G_X(t) = E[t^X]$.
        \end{enumerate}

        \textbf{Remarque} : on admettra la généralisation à $n$ variables aléatoires indépendantes à valeurs dans $\mathbb{N}$

    \item Un sac contient quatre boules : une boule numérotée $0$, deux boules numérotées $1$ et une boule numérotée $2$.
    
        Soit $n \in \mathbb{N}^*$. On effectue $n$ tirages successifs, avec remise, d'une boule dans ce sac.

        On note $S_n$ la somme des numéros tirés.

        Soit $t \in ]-1,1[$.

        Déterminer $G_{s_n}(t)$ puis en déduire la loi de $S_n$.
\end{enumerate}

\subsection*{Récap}

\begin{enumerate}
    \item $X$ est une proba
    \item \begin{enumerate}
        \item Poser les $3$ rayons de cv et le cours sur le produit de Cauchy
        
            Poser $S_n = \bigcup \big[(X_1 =k)\cap(X_1=n-k)\big]$

        \item $t^{X_1+X_2} = t^{X_1}t^{X_2}$ et linéarité de l'espérance
    \end{enumerate}
    \item Etudier un $X_i$ pour écrire $G_{X_i}$ et utiliser la question $2$ et $\displaystyle \frac{1}{4^n} = \bigg(\frac{1}{2}\bigg)^k \bigg(\frac{1}{2}\bigg)^{2n-k}$ pour retrouver une loi binomiale
\end{enumerate}

\newpage

\section*{Exercice 97}
\subsection*{Énoncé}

Soit $(X,Y)$ un couple de variables aléatoires à valeurs dans $\mathbb{N}^2$ dont la loi est donnée par :

$\displaystyle \forall (j,k) \in \mathbb{N}^2, P((X,Y) = (j,k)) = \frac{(j+k)\bigg(\frac{1}{2}\bigg)^{j+k}}{ej!k!}$.

\begin{enumerate}
    \item Déterminer les lois marginales de $X$ et $Y$.

        Les variables $X$ et $Y$ sont-elles indépendantes ?

    \item Prouver que $E[2^{X+Y}]$ existe et la calculer.
\end{enumerate}

\subsection*{Récap}

PAS FAIT

\vspace*{0.5cm}

\section*{Exercice 98}
\subsection*{Énoncé}

Une secrétaire effectue, une première fois, un appel téléphonique vers $n$ correspondants distincts.

On admet que les $n$ appels constituent $n$ expériences indépendantes et que, pour chaque appel, la probabilité d'obtenir le correspondant est $p$ ($p \in ]0,1[$).

Soit $X$ la variable aléatoire représentant le nombre de correspondants obtenus.

\begin{enumerate}
    \item Donner la loi de $X$. Justifier.
    \item La secrétaire rappelle une seconde fois, dans les mêmes conditions, chacun des $n-X$ correspondants qu'elle n'a pas pu joindre au cours de la première série d'appels. On note $Y$ le nombre de personnes jointes au cours de la seconde série d'appels.
    
        \begin{enumerate}
            \item Soit $i \in \llbracket 0, n \rrbracket$. Déterminer, pour $k \in \mathbb{N}, P(Y=k | X=i)$.
            \item Prouver que $Z = X + Y$ suit une loi binomiale dont on déterminera le paramètre.
            
                \textbf{Indication} : on pourra utiliser, sans la prouver, l'égalité suivante : $\displaystyle \begin{pmatrix}n-i\\k-i\end{pmatrix}\begin{pmatrix}n\\i\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}k\\i\end{pmatrix}\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}$.
            \item Déterminer l'espérance et la variance de $Z$.
        \end{enumerate}
\end{enumerate}

\subsection*{Récap}

PAS FAIT

\newpage

\section*{Exercice 99}
\subsection*{Énoncé}

\begin{enumerate}
    \item Rappeler l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev.
    \item Soit $(Y_n)$ une suite de variables aléatoires indépendantes, de même loi et telle que $\forall n \in \mathbb{N}, Y_n \in L^2$.

        On pose $\displaystyle S_n = \sum_{k=1}^n Y_k$.

        Prouver que : $\displaystyle \forall a \in ]0, +\infty[, P\bigg(\bigg|\frac{S_n}{n} - E(Y_1)\bigg| \geqslant a\bigg) \leqslant \frac{V(Y_1)}{na^2}$.

    \item On effectue des tirages successifs, avec remise, d'une boule dans une urne contenant 2 boules rouges et 3 boules noires.
    
        À partir de quel nombre de tirages peut-on garantir à plus de $95\%$ que la proportion de boules rouges obtenues restera comprise entre $0.35$ et $0.45$ ?

        \textbf{Indication} : considérer la suite $(Y_i)$ de variables aléatoires de Bernoulli où $Y_i$ mesure l'issue du $i$-ème tirage.
\end{enumerate}

\subsection*{Récap}

\begin{enumerate}
    \item Préciser $X^2$ d'espérance finie
    \item Avec $\displaystyle X = \frac{S_n}{n}$, linéarité de l'espérance et $V(aX+B) = a^2V(X)$
    \item Poser les $Y_i$ tels que proposés, $S_n$ et $X$ comme précedemment
\end{enumerate}

\vspace*{0.5cm}

\section*{Exercice 100}
\subsection*{Énoncé}

Soit $\lambda \in ]0, +\infty[$.

Soit $X$ une variable aléatoire discrète à valeurs dans $\mathbb{N}^*$.

On suppose que $\displaystyle \forall n \in \mathbb{N}^*, P(X=n) = \frac{\lambda^n}{n(n+1)(n+2)}$.

\begin{enumerate}
    \item Décomposer en éléments simples la fractions rationnelle $R$ définie par $\displaystyle R(x) = \frac{1}{x(x+1)(x+2)}$.
    \item Calculer $\lambda$.
    \item Prouver que $X$ admet une espérance, puis la calculer.
    \item $X$ admet-elle une variance ? Justifier.
\end{enumerate}

\subsection*{Récap}

PAS FAIT

\newpage

\section*{Exercice 101}
\subsection*{Énoncé}

Dans une zone désertique, un animal erre entre trois points d'eau $A, B$ et $C$.
À $t = 0$, il se trouve au point $A$.

Quand il a épuisé l'eau du point où il se trouve, il part avec équiprobabilité rejoindre l'un deux deux autres points d'eau.
L'eau du point qu'il vient de quitter se régénère alors.

Soit $n \in \mathbb{N}$.
On note $A_n$ l'événement "l'animal est en $A$ après son $n^{ieme}$ trajet".
On note $B_n$ l'événement "l'animal est en $B$ après son $n^{ieme}$ trajet".
On note $C_n$ l'événement "l'animal est en $C$ après son $n^{ieme}$ trajet".

On pose $P(A_n) = a_n, P(B_n) = b_n$ et $P(C_n) = c_n$.

\begin{enumerate}
    \item \begin{enumerate}
        \item Exprimer, en le justifiant, $a_{n+1}$ en fonction de $a_n, b_n$ et $c_n$.
        \item Exprimer, de même, $b_{n+1}$ et $c_{n+1}$ en fonction de $a_n, b_n$ et $c_n$.
    \end{enumerate}

    \item On considère $\displaystyle A = \begin{pmatrix}
        0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2}\\
        \frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2}\\
        \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0
    \end{pmatrix}$.

    \begin{enumerate}
        \item Justifier, sans calcul, que $A$ est diagonalisable.
        \item Prouver que $-\frac{1}{2}$ est valeur propre de $A$ et déterminer le sous-espace propre associé.
        \item Déterminer une matrice $P$ inversible et une matrice $D$ diagonale de $\mathcal{M}_3(\mathbb{R})$ telles que $A = PDP^{-1}$.
        
            \textbf{Remarque} : le calcul de $P^{-1}$ n'est pas demandé.
    \end{enumerate}

    \item Montrer comment les résultats de la question $2$ peuvent être utilisés pour calculer $a_n, b_n$ et $c_n$ en fonction de $n$.
    
        \textbf{Remarque} : aucune expression finalisée de $a_n, b_n$ et $c_n$ n'est demandée.
\end{enumerate}

\subsection*{Récap}

\begin{enumerate}
    \item \begin{enumerate}
        \item Dire que c'est un système complet d'événements.
    \end{enumerate}
    \item \begin{enumerate}
        \item Théorème spectral
        \item Poser $U = (1, 0, -1)^T$ et $V = (0, 1, -1)^T$ et faire $AU$ et $AV$
        \item $ P : 1, U, V$
    \end{enumerate}

    \item $ apres = A \times avant$
\end{enumerate}

\vspace*{0.2cm}

\section*{Exercice 102}
\subsection*{Énoncé}

Soit $N \in \mathbb{N}^*$.
Soit $p \in ]0,1[$. On pose $q = 1-p$.
On considère $N$ variables aléatoires $X_1, X_2,...,X_N$ définies sur un même espace probabilisé $(\Omega, \mathcal{A}, P)$, mutuellement indépendantes et de même loi géométrique de paramètre $p$.

\begin{enumerate}
    \item Soit $i \in \llbracket 1, N \rrbracket$. Soit $n \in \mathbb{N}^*$. Déterminer $P(X_i \leqslant n)$, puis $P(X_i > n)$.

    \item On considère la variable aléatoire $Y$ définie par $\displaystyle Y = \min_{1 \leqslant i \leqslant N} X_i$.
    
        \begin{enumerate}
            \item Soit $n \in \mathbb{N}^*$. Calculer $P(Y > n)$. En déduire $P(Y \leqslant n)$ puis $P(Y = n)$.

            \item Reconnaître la loi de $Y$. En déduire $E(Y)$.
        \end{enumerate}
\end{enumerate}

\subsection*{Récap}

\begin{enumerate}
    \item $(X_i \leqslant n) = \bigcup_{k=1}^n (X_i=k)$ puis système complet d'événements
    \item \begin{enumerate}
        \item $\min$ : tous plus petits que donc $(Y>n) = \bigcap_{i=1}^N (X_i > n)$
        \item Réécrire $P(Y=n)$ avec $q^{(n-1)N} = (1-(1-q)N)^{n-1}$ pour retrouver $\mathcal{G}(1-q^N)$
    \end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\section*{Exercice 103}
\subsection*{Énoncé}

\textbf{Remarque} : les question $1$ et $2$ sont indépendantes.

Soit $(\Omega, \mathcal{A}, P)$ un espace probabilisé.

\begin{enumerate}
    \item
        \begin{enumerate}
            \item Soit $(\lambda_1, \lambda_2) \in (]0,+\infty[)^2$.
    
            Soit $X_1$ et $X_2$ deux variables aléatoires définies sur $(\Omega, \mathcal{A}, P)$.

            On suppose que $X_1$ et $X_2$ sont indépendantes et suivent des lois de Poisson, de paramètres respectifs $\lambda_1$ et $\lambda_2$.
            Déterminer la loi de $X_1 + X_2$.

            \item En déduire l'espérance et la variance de $X_1 + X_2$.
        \end{enumerate}
    \item Soit $p \in ]0,1]$. Soit $\lambda \in ]0,+\infty[$.
    
        Soit $X$ et $Y$ deux variables aléatoires définies sur $(\Omega, \mathcal{A}, P)$.

        On suppose que $Y$ suit une loi de Poisson de paramètre $\lambda$.

        On suppose que $X(\Omega) = \mathbb{N}$ et que, pour tout $m \in \mathbb{N}$, la loi conditionnelle le $X$ sachant $(Y=m)$ est une loi binomiale de paramètre $(m,p)$.
        Déterminer la loi de $X$.
\end{enumerate}

\subsection*{Récap}

\begin{enumerate}
    \item \begin{enumerate}
        \item Poisson + Poisson = Poisson
        \item Poisson : $E = V = \lambda$
    \end{enumerate}
    \item Probas totales
\end{enumerate}

\vspace*{0.5cm}

\section*{Exercice 104}
\subsection*{Énoncé}

Soit $n$ un entier naturel supérieur ou égal à $3$.
On dispose de $n$ boules numérotées de $1$ à $n$ et d'une boîte formée de trois compartiments identiques également numérotés de $1$ à $3$.

On lance simultanément les $n$ boules.
Elles viennent toutes se ranger aléatoirement dans les $3$ compartiments.
Chaque compartiment peut éventuellement contenir les $n$ boules.

On note $X$ la variable aléatoire qui à chaque expérience aléatoire fait correspondre le nombre de compartiments restés vides.

\begin{enumerate}
    \item Préciser les valeurs prises par $X$
    \item \begin{enumerate}
        \item Déterminer la probabilité $P(X=2)$.
        \item Finir de déterminer la loi de probabilité de $X$.
    \end{enumerate}
    \item \begin{enumerate}
        \item Calculer $E(X)$.
        \item Déterminer $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} E(X)$. Interpréter ce résultat.
    \end{enumerate}
\end{enumerate}

\subsection*{Récap}

\begin{enumerate}
    \item /
    \item \begin{enumerate}
        \item Choisir les non vides puis le vide
        \item Idem pour $1$, différence pour $0$
    \end{enumerate}
    \item \begin{enumerate}
        \item $E = \sum k P(X=k)$
        \item Bien réfléchir à la phrase
    \end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\section*{Exercice 105}
\subsection*{Énoncé}

\begin{enumerate}
    \item Énoncer et démontrer la formule de Bayes pour un système complet d'événements.
    \item On dispose de $100$ dés, dont $25$ sont pipés (c'est-à-dire truqués).
    
        Pour chaque dé pipé, la probabilité d'obtenir le chiffre $6$ lors d'un lancer est $\displaystyle \frac{1}{2}$.

        \begin{enumerate}
            \item On tire un dé au hasard parmi les $100$ dés. On lance ce dé et on obtient le chiffre $6$.
            
                Quelle est la probabilité que ce dé soit pipé ?

            \item Soit $n \in \mathbb{N}^*$.
            
                On tire un dé au hasard parmi les $100$ dés. On lance ce dé $n$ fois et on obtient $n$ fois le chiffre $6$.

                Quelle est la probabilité $p_n$ que ce dé soit pipé ?

            \item Déterminer $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} p_n$. Interpréter ce résultat.
        \end{enumerate}
\end{enumerate}

\subsection*{Récap}

\begin{enumerate}
    \item Attention $P(B) \neq 0$ et système complet
    \item Bien poser les événements "on obtient un $6$" et "le dé est pipé
\end{enumerate}

\vspace*{0.5cm}

\section*{Exercice 106}
\subsection*{Énoncé}

$X$ et $Y$ sont deux variables indépendantes et à valeurs dans $\mathbb{N}$.

Elles suivent la même loi définie par : $\forall k \in \mathbb{N}, P(X=k) = P(Y=k) = pq^k$ où $p \in ]0,1[$ et $q = 1-p$.

On considère alors les variables $U$ et $V$ définies par $U = \sup(X,Y)$ et $V = \inf(X,Y)$.

\begin{enumerate}
    \item Déterminer la loi du couple $(U,V)$.
    \item Déterminer la loi marginale de $U$.
    
        On admet que $V(\Omega) = \mathbb{N}$ et que, $\forall n \in \mathbb{N}, P(V=n) = pq^{2n}(1+q)$.

    \item Prouver que $W = V + 1$ suit une loi géométrique.
    
        En déduire l'espérance de $W$.

    \item $U$ et $V$ sont-elles indépendantes ?
\end{enumerate}

\subsection*{Récap}

\begin{enumerate}
    \item $P\big((U=a)\cap(V=b)\big)$ et disjonction $a=b$ ou $a>b$ ($a<b$ impossible)
    \item Calculer $P(U=n)$ par disjonction $n=0$ ou $n\geqslant 1$
    \item $P(W=n) = P(V=n-1)$ et $E(W) = E(V) + 1$
    \item Contre exemple avec $U=0$ et $V=1$
\end{enumerate}

\newpage

\section*{Exercice 107}
\subsection*{Énoncé}

On dispose de deux urnes $U_1$ et $U_2$.

L'urne $U_1$ contient deux boules blanches et quatre boules noires.

L'urne $U_2$ contient quatre boules blanches et trois boules noires.

On effectue des tirages successifs dans les conditions suivantes :

on choisit une urne au hasard et on tire une boule dans l'urne choisie.

On note sa couleur et on la remet dans l'urne d'où elle provient.

Si la boule tirée était blanche, le tirage suivant se fait dans l'urne $U_1$.

Sinon le tirage suivant se fait dans l'urne $U_2$.

Pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, on note $B_n$ l'événement "la boule tirée au $n^{eme}$ tirage est blanche" et on pose $p_n = P(B_n)$.

\begin{enumerate}
    \item Calculer $p_1$
    \item Prouver que : $\forall n \in \mathbb{N}^*, p_{n+1} = \displaystyle \frac{-6}{35}p_n + \frac{7}{4}$.
    \item En déduire, pour tout entier naturel $n$ non nul, la valeur de $p_n$.
\end{enumerate}

\subsection*{Récap}

\begin{enumerate}
    \item Probas totales avec $U_1$ et $U_2$
    \item Probas totales avec $B_n$ et $\overline{B_n}$
    \item Poser $u_n = p_n - l$ tq $\displaystyle l = -\frac{6}{35}l + \frac{4}{7}$ géométrique puis retrouver $p_n = u_n + l$
\end{enumerate}

\vspace*{0.5cm}

\section*{Exercice 108}
\subsection*{Énoncé}

Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires définies sur un même espace probabilisé $(\Omega, \mathcal{A}, P)$ et à valeurs dans $\mathbb{N}$.

On suppose que la loi du couple $(X,Y)$ est donnée par :

$\displaystyle \forall (i,j) \in \mathbb{N}^2, P(X=i \cap Y=j) = \frac{1}{e2^{i+1}j!}$.

\begin{enumerate}
    \item Déterminer les lois de $X$ et de $Y$.
    \item \begin{enumerate}
        \item Prouver que $1+X$ suit une loi géométrique et en déduire l'espérance et la variance de $X$.
        \item Déterminer l'espérance et la variance de $Y$.
    \end{enumerate}
    \item Les variables $X$ et $Y$ sont-elles indépendantes ?
    \item Calculer $P(X=Y)$.
\end{enumerate}

\subsection*{Récap}

PAS FAIT

\newpage

\section*{Exercice 109}
\subsection*{Énoncé}

Soit $n \in \mathbb{N}^*$. Une urne contient $n$ boules blanches numérotées de $1$ à $n$ et $2$ boules noires numérotées $1$ et $2$.

On effectue le tirage une à une, sans remise, de toutes les boules de l'urne.

On note $X$ la variable aléatoire égale au rang d'apparition de la première boule blanche.

On note $Y$ la variable aléatoire égale au rang d'apparition de la première boule numérotée $1$.

\begin{enumerate}
    \item Déterminer la loi de $X$.
    \item Déterminer la loi de $Y$.
\end{enumerate}

\subsection*{Récap}

\begin{enumerate}
    \item $(X=1)$ : "obtenir une boule blanche au premier tirage"
    
        $(X=2)$ : obtenir une boule noire au premier tirage et une boule blanche au deuxième"

        $(X=2)$ : obtenir une boule noire au premier et au deuxième tirage et une boule blanche au troisième"

    \item Poser $A_k$ : "une boule ne comportant pas le numéro $1$ est tirée au $k$-ième tirage"
\end{enumerate}

\vspace*{0.5cm}

\section*{Exercice 110}
\subsection*{Énoncé}

Soit $(\Omega, \mathcal{A}, P)$ un espace probabilisé.

\begin{enumerate}
    \item Soit $X$ une variable aléatoire définie sur $(\Omega, \mathcal{A}, P)$ et à valeurs dans $\mathbb{N}$.
    
        On considère la série entière $\displaystyle \sum t^n P(X=n)$ de variable réelle $t$.

        On note $R_X$ son rayon de convergence.

    \begin{enumerate}
        \item Prouver que $R_X \geqslant 1$.
            
        On pose $\displaystyle G_X(t) = \sum_{n=0}^{+ \infty} t^nP(X=n)$ et on note $D_{G_X}$ l'ensemble de définition de $G_X$.

        Justifier que $]-1, 1[ \subset D_{G_X}$.

        Pour tout réel $t$ fixé de $]-1, 1[$, exprimer $G_X(t)$ sous forme d'une espérance.

        \item Soit $k \in \mathbb{N}$. Exprimer, en justifiant la réponse, $P(X=k)$ en fonction de $G_X^{(k)}(0)$.
    \end{enumerate}

    \item \begin{enumerate}
        \item On suppose que $X$ suit une loi de Poisson de paramètre $\lambda$.
        
            Déterminer $D_{G_X}$ et, pour tout $t \in D_{G_X}$, calculer $G_X(t)$.
        
        \item Soit $X$ et $Y$ deux variables aléatoires définies sur un même espace probabilisé, indépendantes et suivant des lois de Poisson de paramètres respectifs $\lambda_1$ et $\lambda_2$.
        
            Déterminer, en utilisant les questions précédentes, la loi de $X+Y$.
    \end{enumerate}
\end{enumerate}

\subsection*{Récap}

\begin{enumerate}
    \item \begin{enumerate}
        \item $P$ est une proba puis théorème de transfert
        \item Bien dire que $G_X$ est $\mathcal{C}^\infty$ sur $]-1, 1[$
    \end{enumerate}
    \item \begin{enumerate}
        \item Reconnaître la série exponentielle
        \item Calculer $G_Z$, en précisant l'indépendance

            Reconnaître la loi de Poisson
    \end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\section*{Exercice 111}
\subsection*{Énoncé}

On admet, dans cet exercice, que :$\displaystyle \forall q \in \mathbb{N}, \forall x \in ]-1,1[, \sum_{k \geqslant q} \begin{pmatrix}k \\ q\end{pmatrix} x^{k-q} \text{ converge et que } \sum_{k \geqslant 0} \begin{pmatrix}k \\ q\end{pmatrix} x^{k-q} = \frac{1}{(1-x)^{q+1}}$.

Soit $p \in ]0,1[$.

Soit $(\Omega, \mathcal{A}, P)$ un espace probabilisé.

Soit $X$ et $Y$ deux variables aléatoires définies sur $(\Omega, \mathcal{A}, P)$ et à valeurs dans $\mathbb{N}$.

On suppose que la loi de probabilité du couple $(X,Y)$ est donnée par :

$\displaystyle \forall (k,n) \in \mathbb{N}^2, P((X=k)\cap(Y=n)) = \begin{cases}
    \begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}\bigg(\frac{1}{2}\bigg)^np(1-p^n) & \text{ si } k \leqslant n \\
    0 & \text{ sinon}
\end{cases}$

\begin{enumerate}
    \item Vérifier qu'il s'agit bien d'une loi de probabilité.
    \item \begin{enumerate}
        \item Déterminer la loi de $Y$.
        \item Prouver que $1+Y$ suit une loi géométrique.
        \item Déterminer l'espérance de $Y$.
    \end{enumerate}
    \item Déterminer la loi de $X$
\end{enumerate}

\subsection*{Récap}

\begin{enumerate}
    \item La somme vaut $1$
    \item \begin{enumerate}
        \item Loi marginale
        \item $Y+1 \sim \mathcal{G}(p)$
        \item Espérance d'une loi géométrique
    \end{enumerate}
    \item Loi marginale puis réexprimer le dénominateur
\end{enumerate}

\vspace*{0.5cm}

\section*{Exercice 112}
\subsection*{Énoncé}

Soit $n \in \mathbb{N}^*$ et $E$ un ensemble contenant $n$ éléments.

On désigne par $\mathcal{P}(E)$ l'ensemble des parties de $E$.

\begin{enumerate}
    \item Déterminer le nombre $a$ de couples $(A,B) \in \mathcal{P}(E)^2$ tels que $A \subset B$.
    \item Déterminer le nombre $b$ de couples $(A,B) \in \mathcal{P}(E)^2$ tels que $A \cap B = \emptyset$.
    \item Déterminer le nombre $c$ de triplets $(A,B,C) \in \mathcal{P}(E)^3$ tels que $A, B$ et $C$ soient deux à deux disjoints et vérifient $A \cup B \cup C = E$.
\end{enumerate}

\subsection*{Récap}

\begin{enumerate}
    \item Compter les couples tels que $A \subset B$ et $\mathrm{Card}B = p$ pour tout $p$.
    \item $A \cap B = \emptyset \iff A \subset \overline{B}$
    \item $A \cup B \cup C = E \iff C = \overline{A \cup B}$
\end{enumerate}

\end{document}