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\begin{document}
\setlength{\parindent}{0mm}

\title{Electromagnétisme}
\author{Aubin SIONVILLE}
\date{MPI Clemenceau - 2021-2023}
\maketitle

\centering

\section*{Equations de Maxwell}

\begin{multicols}{3}
    \subsection*{Maxwell-Gauss}
    \[\boxed{\mathrm{div}(\overrightarrow{E}) = \frac{\rho}{\varepsilon_0}}\]

    \[\underset{\text{Green-Ostrogradski}}{\Longrightarrow}\]

    \subsection*{Théorème de Gauss}
    \[\boxed{\oiint_\mathcal{S} \overrightarrow{E}\cdot\mathrm{d}\overrightarrow{S} = \frac{Q_\mathrm{int}}{\varepsilon_0}}\]
\end{multicols}

\begin{multicols}{3}
    \subsection*{Maxwell-Faraday}
    \[\boxed{\rot(\overrightarrow{E}) = -\frac{\mathrm{d}\overrightarrow{B}}{\mathrm{d}t}}\]

    \[\underset{\text{Stokes}}{\Longrightarrow}\]

    \subsection*{Loi de Faraday}
    \[\boxed{\oint_\Gamma \overrightarrow{E}\cdot\mathrm{d}\overrightarrow{l} = -\frac{\mathrm{d}\Phi_\mathrm{mag}}{\mathrm{d}t}}\]
\end{multicols}

\begin{multicols}{3}
    \subsection*{Maxwell-Thomson}
    \[\boxed{\mathrm{div}(\overrightarrow{B}) = 0}\]

    \[\underset{\text{Green-Ostrogradski}}{\Longrightarrow}\]

    \subsection*{Flux conservatif du champ magnétique}
    \[\boxed{\oiint_\mathcal{S} \overrightarrow{B}\cdot\mathrm{d}\overrightarrow{S} = 0}\]
\end{multicols}

\begin{multicols}{3}
    \subsection*{Maxwell-Ampère}
    \[\boxed{\rot(\overrightarrow{B}) = \mu_0\overrightarrow{j} + \mu_0\epsilon_0\frac{\mathrm{d}\overrightarrow{E}}{\mathrm{d}t}}\]

    \[\underset{\text{Stokes}}{\Longrightarrow}\]

    \subsection*{Théorème d'Ampère}
    \[\boxed{\oint_\Gamma \overrightarrow{B}\cdot\mathrm{d}\overrightarrow{l} = \mu_0i_\text{enlacé} + \mu_0\varepsilon_0 \iint_\mathcal{S}\frac{\mathrm{d}\overrightarrow{E}}{\mathrm{d}t}}\]
\end{multicols}

\vspace*{0.5cm}

\begin{multicols}{2}
    \subsection*{Equation de conservation de la charge}
    \[\boxed{\mathrm{div}(\overrightarrow{j}) + \frac{\partial\rho}{\partial t} = 0}\]
    
    \subsection*{Relation de Maxwell}
    \[\boxed{\varepsilon_0\mu_0c^2 = 1}\]
\end{multicols}


\section*{ARQS Électromagnétique}
\renewcommand{\arraystretch}{2}
\begin{tabular}{lllll}
    \hline
                          & Maxwell-Gauss & Maxwell-Faraday & Maxwell-Thomson & Maxwell-Ampère \\ \hline
    Régimes variables     & $\displaystyle\mathrm{div}(\overrightarrow{E}) = \frac{\rho}{\varepsilon_0}$ & $\displaystyle\rot(\overrightarrow{E}) = -\frac{\mathrm{d}\overrightarrow{B}}{\mathrm{d}t}$ & $\displaystyle\mathrm{div}(\overrightarrow{B}) = 0$ & $\displaystyle\rot(\overrightarrow{B}) = \mu_0\overrightarrow{j} + \mu_0\epsilon_0\frac{\mathrm{d}\overrightarrow{E}}{\mathrm{d}t}$ \\
    ARQS                  & $\displaystyle\mathrm{div}(\overrightarrow{E}) = \frac{\rho}{\varepsilon_0}$ & $\displaystyle\rot(\overrightarrow{E}) = -\frac{\mathrm{d}\overrightarrow{B}}{\mathrm{d}t}$ & $\displaystyle\mathrm{div}(\overrightarrow{B}) = 0$ & $\displaystyle\rot(\overrightarrow{B}) = \mu_0\overrightarrow{j}$ \\
    Régimes stationnaires & $\displaystyle\mathrm{div}(\overrightarrow{E}) = \frac{\rho}{\varepsilon_0}$ & $\displaystyle\rot(\overrightarrow{E}) = \overrightarrow{0}$                                & $\displaystyle\mathrm{div}(\overrightarrow{B}) = 0$ & $\displaystyle\rot(\overrightarrow{B}) = \mu_0\overrightarrow{j}$ \\ \hline
\end{tabular}

\newpage

\section*{Propagation des champs électromagnétiques}

\[overrightarrow{E} \text{ et } \overrightarrow{B} \text{ vérifient dans le vide l'équation de d'Alembert avec une célérité } c = \frac{1}{\sqrt{\varepsilon_0\mu_0}} : \]

\[\boxed{\begin{array}{c}
    \overrightarrow{\Delta} \overrightarrow{E} = \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2\overrightarrow{E}}{\partial t^2} \\
    \overrightarrow{\Delta} \overrightarrow{B} = \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2\overrightarrow{B}}{\partial t^2}
\end{array}
}\]

\[\boxed{\text{Les équations de Maxwell sont les mêmes dans tous les référentiels inertiels}}\]

\vspace*{0.5cm}

\section*{Forces de Laplace}

\begin{multicols}{2}
    \subsection*{Force de Laplace élémentaire}
    Un élément en $M$ parcouru par une intensité $i$ et plongé dans un champ magnétique $\overrightarrow{B}$,
    \[\boxed{\mathrm{d}\overrightarrow{f_\mathcal{L}} = i\overrightarrow{\mathrm{d}l_M}\wedge\overrightarrow{B}(M)}\]

    \subsection*{Résultante des forces de Laplace}
    \[\boxed{\overrightarrow{F_\mathcal{L}} = \int_{M\in\text{fil}}\mathrm{d}\overrightarrow{f_\mathcal{L}} = \int_{M\in\text{fil}}i\overrightarrow{\mathrm{d}l_M}\wedge\overrightarrow{B}(M)}\]
\end{multicols}

\vspace*{0.3cm}

\begin{multicols}{2}
    \subsection*{Couple magnétique}
    Moment résultant des forces de Laplace sur un dipôle de moment dipolaire magnétique $\overrightarrow{\mathcal{M}}$ :\\
    \[\boxed{\overrightarrow{\Gamma_\mathcal{L}} = \overrightarrow{\mathcal{M}}\wedge\overrightarrow{B}}\]
    \subsection*{Effets du couple magnétique}
    Le couple magnétique exercé par un champ $\overrightarrow{B}$ sur un dipôle de moment dipolaire magnétique $\overrightarrow{\mathcal{M}}$ a tendance à l'orienter dans la direction de $\overrightarrow{B}$.\\
    Si $\overrightarrow{M}$ est dans le même sens que $\overrightarrow{B}$ : équilibre stable.\\
    Si $\overrightarrow{M}$ est dans le sens opposé à $\overrightarrow{B}$ : équilibre instable.
\end{multicols}

\vspace*{0.3cm}

\begin{multicols}{2}
\subsection*{Fabrication d'un moteur}
On peut créer un champ tournant :
Deux bobines perpendiculaires avec \\
\begin{itemize}
    \item Une même amplitude d'intensité $i_0$
    \item Une même pulsation $\omega$.\\
    \item $i_1(t) = i_0\sin(\omega t)$ et $i_2(t) = i_0\cos(\omega t)$.
\end{itemize}
\end{multicols}

\newpage

\section*{Induction}
\begin{multicols}{2}
    \subsection*{Induction de Neumann}
    Circuit fixe dans un champ magnétique dépendant du temps

    \subsection*{Induction de Lorentz}
    Circuit mobile dans un champ magnétique stationnaire
\end{multicols}

\begin{multicols}{2}
    \subsection*{Flux magnétique}
    Flux magnétique à travers un circuit fermé de surface $S$ :
    \[\boxed{\Phi_{\overrightarrow{B}/S} = \iint_{M\in S} \overrightarrow{B}(M)\cdot\overrightarrow{\mathrm{d}S_M}}\]

    \subsection*{Loi de Faraday}
    Force électromotrice $e$ induite dans un circuit fermé de surface $S$ :
    \[\boxed{e = -\frac{\mathrm{d}\Phi_{\overrightarrow{B}/S}}{\mathrm{d}t}}\]
\end{multicols}

\begin{multicols}{3}
    \subsection*{Inductance propre}
    \[\boxed{\Phi_\text{propre} = Li}\]

    \subsection*{Force électromotrice auto-induite}
    \[\boxed{e_\text{auto} = -\frac{\mathrm{d}\Phi_\text{propre}}{\mathrm{d}t} = -L\frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t}}\]
    
    \subsection*{Energie magnétique stockée}
    \[\boxed{\mathcal{E}_\text{mag} = \frac{1}{2}Li^2(t)}\]
\end{multicols}

\begin{multicols}{2}
        
    \subsection*{Inductance mutuelle}
    Flux magnétique envoyés d'un circuit à l'autre :
    \[\boxed{\Phi_{1\rightarrow 2} = Mi_1} \quad\quad \boxed{\Phi_{2\rightarrow 1} = Mi_2}\]
    Où $M$ est l'inductance mutuelle (en H).

    \subsection*{Force électromotrice mutuelle}
    Deux circuits fermés où $i_1$ et $i_2$ varient, alors il y a une force électromotrice induite :
    \[\boxed{e_1 = -\frac{\mathrm{d}\Phi_{1,\text{propre}}}{\mathrm{d}t} - \frac{\mathrm{d}\Phi_{1\rightarrow 2}}{\mathrm{d}t} = -L_1\frac{\mathrm{d}i_1}{\mathrm{d}t} - M\frac{\mathrm{d}i_2}{\mathrm{d}t}}\]
    \[\boxed{e_2 = -\frac{\mathrm{d}\Phi_{2,\text{propre}}}{\mathrm{d}t} - \frac{\mathrm{d}\Phi_{2\rightarrow 1}}{\mathrm{d}t} = -L_2\frac{\mathrm{d}i_2}{\mathrm{d}t} - M\frac{\mathrm{d}i_1}{\mathrm{d}t}}\]
\end{multicols}
\end{document}