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\begin{document}
\setlength{\parindent}{0mm}
\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\title{Formules de Taylor}
\author{Aubin SIONVILLE}
\date{MPI Clemenceau - 2021-2023}
\maketitle

\centering

\begin{multicols}{2}
    \section*{Taylor-Young}

    Soit $f : I \to \mathbb{R}, a \in I$\\
    Si $f$ est \underline{$\mathcal{C}^{n}$ sur $I$},\\
    Alors f admet un développement limité à l'ordre $n$ en $a$ et\\

    \[\boxed{\forall x \in I, f(x) = f(a) + \sum_{k=1}^{n} \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k + o(h^{n})}\]


    \section*{Taylor avec reste intégral}

    Soit $f : I \to \mathbb{R}$ et $a \in I$\\
    Si $f$ est \underline{$\mathcal{C}^{n+1}$ sur $I$},

    \[\boxed{\forall x \in I, f(x) = f(a) + \sum_{k=1}^{n}\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k + \int_{a}^{x}\frac{f^{(n+1)}(t)}{n!}(x-t)^n\,\mathrm{d}t}\]
\end{multicols}

\vspace*{0.7cm}

\begin{multicols}{2}
    \section*{Taylor-Lagrange}

    Soit $f : [a,b] \to \mathbb{R}$\\
    Si $f$ est \underline{$\mathcal{C}^{n+1}$ sur $[a,b]$},\\
    Alors il existe $c \in [a,b]$ tel que

    \[\boxed{f(b) = f(a) + \sum_{k=1}^{n}\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(b-a)^k + \frac{f^{n+1}(c)}{(n+1)!}(b-a)^{n+1}}\]


    \section*{Inégalité de Taylor-Lagrange}

    Soit $f : I \to \mathbb{R}$ et $a \in I$\\
    Si $f$ est \underline{$\mathcal{C}^{n+1}$ sur $I$} et qu'il existe $M \in \mathbb{R}$ tel que
    \[\underline{\forall x \in I, |f^{(n+1)}(x)| \leq M},\]
    \[\boxed{\forall x \in I, \bigg|f(x) - \bigg(f(a) + \sum_{k=1}^{n}\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k\bigg)\bigg| \leq \frac{M}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}}\]

\end{multicols}

\vspace*{0.3cm}

\section*{Taylor dans les polynômes}

Soit $P \in \mathbb{K}_n[X]$ et $a \in \mathbb{K}$,
\[\boxed{P(X) = P(a) + \sum_{k=1}^{n}\frac{P^{(k)}(a)}{k!}(X-a)^k}\]
\vspace*{0.3cm}




\end{document}
