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\begin{document}
\setlength{\parindent}{0mm}

\title{Compacité}
\author{Aubin SIONVILLE}
\date{MPI Clemenceau - 2021-2023}
\maketitle

\centering

\subsection*{Définition}

\[\boxed{\begin{array}{c}
    \text{Une partie } K \text{ d'un evn est \underline{compacte} si }\\
    \text{ de toute suite bornée on peut extraire une suite convergente vers } \ell \in K
    \\
    \displaystyle\text{i.e } \exists \varphi : \mathbb{N} \to \mathbb{N} \text{ strictement croissante tq } \lim_{n\to+\infty} u_{\varphi(n)} = l \in K
\end{array}}\]

\vspace*{0.3cm}

\subsection*{Théorème de Bolzano-Weierstrass}
\[\boxed{\begin{array}{c}
    \text{De toute suite réelle bornée on peut extraire une suite convergente}\\
    \text{ i.e tout segment de } \mathbb{R} \text{ est compacte}
\end{array}}\]

\vspace*{0.3cm}

\subsection*{Valeur d'adhérence}
\[\boxed{\text{Un vecteur } a \text{ est une \text{une valeur d'adhérence} de } (u_n) \text{ si on peut extraire de } (u_n) \text{ une suite convergente vers } a}\]

\vspace*{0.3cm}

\subsection*{Propriétés des valeurs d'adhérence}
\begin{multicols}{2}
    \[\boxed{\begin{array}{c}
        K \subset E \text{ est compacte} \iff\\
        \text{ toute suite de vecteurs de } K\\
        \text{ possède au moins } 1 \text{ valeur d'adhérence}
    \end{array}}\]

    \[\boxed{\begin{array}{c}
        \text{Si une suite de vecteurs converge vers } \ell\\
        \text{ Alors sa seule valeur d'adhérence est } \ell
    \end{array}}\]

    \[\boxed{\begin{array}{c}
        \text{Une suite réelle (même bornée) peut avoir}\\
        \text{ plusieurs valeurs d'adhérence}\\
        \text{ Exemple : } \Big((-1)^n\Big) \text{ a } -1 \text{ et } 1
    \end{array}}\]

    \[\boxed{\begin{array}{c}
        \text{Si une suite a plusieurs valeurs d'adhérences}\\
        \text{ Alors elle diverge}
    \end{array}}\]
\end{multicols}

\vspace*{0.3cm}

\subsection*{Convergence et valeurs d'adhérence}
\[\boxed{\begin{array}{c}
    \text{\underline{Dans un compact}, une suite de vecteurs converge } \iff\\
    \text{ elle possède une unique valeur d'adhérence}
\end{array}}\]

\begin{multicols}{2}
    \subsection*{Stabilité par partie fermée}
    \[\boxed{\text{Toute partie fermée d'un compact est un compact}}\]

    \subsection*{Stabilité par produit cartésien}
    \[\boxed{\begin{array}{c}
        \text{Le produit cartésien d'un nombre \underline{fini} de compacts}\\
        \text{est un compact}
    \end{array}}\]

    \subsection*{Stabilité par l'intersection}
    \[\boxed{\text{L'intersection de compacts est un compact}}\]

    \subsection*{Stabilité par l'union}
    \[\boxed{\begin{array}{c}
        \text{L'union d'un nombre \underline{fini} de compacts}\\
        \text{est un compact}
    \end{array}}\]
\end{multicols}

\vspace*{0.3cm}

\begin{multicols}{2}
    \subsection*{Partie compact d'un evn}
    \[\boxed{\text{Toute partie compacte d'un evn est fermée et bornée}}\]

    \subsection*{Cas particulier de $\mathbb{R}^n$}
    \[\boxed{\begin{array}{c}
        \text{Une partie de } \mathbb{R}^n \text{ est compacte }\\
        \iff \text{ elle est fermée et bornée}
    \end{array}}\]
\end{multicols}

\vspace*{0.3cm}

\subsection*{Compacité et continuité}
\[\boxed{\begin{array}{c}
    \text{L'image d'un compact par une fonction continue est un compact}\\
    \text{En particulier, toute fonction réelle continue sur un compact d'un evn est bornée et atteint ses bornes}
\end{array}}\]

\vspace*{0.3cm}
\begin{multicols}{2}
    \subsection*{Compacité et fermeture}
    \[\boxed{\begin{array}{c}
        \text{Une partie d'une \underline{evn de dimension finie} est compacte}\\
        \iff \text{elle est fermée et bornée}
    \end{array}}\]

    \subsection*{Conséquence : convergence}
    \[\boxed{\begin{array}{c}
        \text{Dans un \underline{evn de dimension finie}}\\
        \text{on peut extraire de toute suite bornée une suite convergente}
    \end{array}}\]
\end{multicols}

\vspace*{0.3cm}

\subsection*{Sous espace vectoriel fermé}
\[\boxed{\text{Tout sous-espace vectoriel de \underline{dimension finie} d'un evn est fermé}}\]

\vspace*{0.3cm}

\subsection*{Conséquences}
\[\boxed{\begin{array}{c}
    \text{En particulier, toute fonction réelle continue sur une partie fermée d'un evn est bornée et atteint ses bornes}\\
    \text{Convergence uniforme} \implies \text{ Convergence}
\end{array}}\]

\vspace*{0.3cm}

\subsection*{Théorème de Heine}
\[\boxed{\text{Toute fonction continue sur un compact est uniformément continue}}\]

\end{document}