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\begin{document}
\setlength{\parindent}{0mm}

\title{Dispersion et Absorption des Ondes}
\author{Aubin SIONVILLE}
\date{MPI Clemenceau - 2021-2023}
\maketitle

\centering

\section*{Câble coaxial avec pertes}

\subsection*{Circuit}
    \begin{circuitikz}
        \draw (-2,0) to [short,] (-2, 0);

        \draw (0,3) to [short,*-] (0.7,3)
        to [R, l_=$r\mathrm{d}x$] (2, 3)

        to [short, i_=${i(x,t)}$] (3.5, 3)
        to [L, l=$\Lambda\mathrm{d}x$] (4.7, 3)
        to [short] (6, 3)
        to [short, -*, i=${i(x+\mathrm{d}x, t)}$] (8, 3);
        \draw (0,0) to [short, *-*,] (8, 0);
        \draw (6,3) to [short] (6, 2.7)
        to [short] (5.5, 2.7)
        to [C, l_=$\Gamma\mathrm{d}x$] (5.5, 0.3)
        to [short] (6, 0.3)
        to [short] (6, 0);
        \draw (6, 2.7) to [short] (6.5, 2.7)
        to [R, l=$g\mathrm{d}x$] (6.5, 0.3)
        to [short] (6, 0.3)
        to [short] (6, 0);
        \draw [->] (0, 0.2) to (0, 1.5) node[right] {$u(x,t)$} to (0, 2.8);
        \draw [->] (8, 0.2) to (8, 1.5) node[right] {$u(x+\mathrm{d}x,t)$} to (8, 2.8);
    \end{circuitikz}
    
\vspace*{0.3cm}

\subsection*{Equation des télégraphistes}
Équation vérifié par $u$ dans le circuit ci-dessus :
\[\boxed{\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} - \Lambda\Gamma\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} - (g\Lambda + r\Gamma)\frac{\partial u}{\partial t} - gru = 0}\]

\vspace*{0.3cm}

Avec $\displaystyle \boxed{\tau = \frac{\Lambda\Gamma}{\Lambda g + \Gamma r}}, \quad \boxed{\omega_0 = \sqrt{\frac{rg}{\Lambda\Gamma}}} \quad \text{et} \quad \boxed{c_0 = \frac{1}{\sqrt{\Lambda\Gamma}}}$ :
$\displaystyle\boxed{\underset{\text{D'Alembert}}{\underbrace{\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} - c_0^2\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}}}\ \ \underset{\text{Pertes}}{\underbrace{-\frac{1}{\tau}\frac{\partial u}{\partial t} - \omega_0^2u}}} = 0$

\vspace*{0.3cm}

\subsection*{Relation de dispersion du câble coaxial avec pertes}
\[\boxed{k^2 = \frac{\omega^2 - \omega_0^2}{c_0^2} - j\frac{\omega}{\tau c_0^2}}\]

\vspace*{0.3cm}

\begin{multicols}{3}
    \subsection*{Vecteur d'onde}
    \[\boxed{\underline{k}(\omega) = k_r(\omega) + jk_i(\omega)}\]

    \subsection*{Vitesse de phase}
    \[\boxed{v_\varphi \triangleq \frac{\omega}{k_r}}\]

    \subsection*{Dispersion ?}
    Un milieu est \underline{dispersif} si $v_\varphi$ dépend de la fréquence
\end{multicols}

\begin{multicols}{3}
    \subsection*{Amortissement}
    ($k_i < 0$ pour propagation selon $+\overrightarrow{e_x}$)
    \[\boxed{\delta = \frac{1}{|k_i|}}\]

    \subsection*{Absorption?}
    Si $k_i \neq 0$ alors il y a absorption\\
    Plus rarement, il peut y avoir amplification

    \subsection*{Forme complète de l'onde}
    \[\boxed{\begin{array}{ll}
        \psi(x,t) &= \psi_0e^{-\frac{x}{\delta}}\cos(\omega t - k_r x + \varphi)\\
        &= \psi_0e^{-\frac{x}{\delta}}\cos\bigg[\omega\bigg(t - \frac{x}{v_\varphi}\bigg) + \varphi\bigg]
    \end{array}}\]
\end{multicols}

\begin{multicols}{2}
    \subsection*{Si $\omega \gg \omega_0$ :}
    $v_\varphi = \pm c_0$ $\implies$ \underline{Pas de dispersion}\\
    $k_i = 0$ $\implies$ \underline{Pas d'absorption}

    \subsection*{Si $\omega > \omega_0$ :}
    $\displaystyle v_\varphi = \frac{\omega c_0}{\sqrt{\omega^2-\omega_0^2}}$ $\implies$ \underline{Pas de dispersion}\\
    $k_i = 0$ $\implies$ \underline{Pas d'absorption}
\end{multicols}

\subsection*{Si $\omega < \omega_0$ :}
$k_r = 0$ $\implies$ \underline{Pas de dispersion}\\
$\displaystyle k_i = \pm \frac{\sqrt{\omega_0^2-\omega^2}}{c_0^2}$ $\implies$ \underline{Absorption}\\
L'onde peut s'écrire : $\psi(x,t) = \psi_0\cos(\omega t + \varphi)$ : c'est une \underline{onde évanescente}

\vspace*{0.5cm}

\section*{Effets de la dispersion}

\subsection*{Superpositions de deux OPPH de fréquences voisines}

\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\[\boxed{
    \begin{array}{lll}
        \text{Résultante : } \psi(x,t) 
            \displaystyle& = &2A\underset{\text{Enveloppe}}{\underbrace{\cos\bigg(\frac{\mathrm{d}\omega}{2}t - \frac{\mathrm{d}k}{2}x + \frac{\varphi_2 - \varphi_1}{2}\bigg)}}\ \underset{\text{Ondulatoire}}{\underbrace{\cos\bigg(\omega_0t - k_0x + \frac{\varphi_2 - \varphi_1}{2} \bigg)}}\\
            & = & \displaystyle 2A\cos\Bigg[\frac{\mathrm{d}\omega}{2}\bigg(t - \frac{\mathrm{d}k}{\mathrm{d}\omega}x\bigg) + \frac{\varphi_2-\varphi_1}{2}\Bigg]\cos\Bigg[\omega_0\bigg(t - \frac{k_0}{\omega_0}x\bigg) + \frac{\varphi_2 - \varphi_1}{2}\Bigg]
    \end{array}
}\]

\vspace*{0.3cm}

\begin{multicols}{2}
    \subsection*{Vitesse de phase}
    \[\boxed{v_\varphi \triangleq \frac{\omega_0}{k(\omega_0)}}\]

    \subsection*{Vitesse de groupe}
    \[\boxed{v_g \triangleq \bigg(\frac{\mathrm{d}\omega}{\mathrm{d}k}\bigg)_{\omega_0}}\]
\end{multicols}

\vspace*{0.3cm}

\subsection*{Paquet d'ondes planes}
\[\boxed{\begin{array}{c}
    \text{Paquet d'ondes planes :}\\
    \text{Onde plane de durée finie, constituée d'une superposition continue (infinie) d'OPPH}\\
    \text{de pulsations voisines dans l'intervalle } \bigg[\omega_0 - \frac{\Delta\omega}{2}, \omega_0 + \frac{\Delta\omega}{2}\bigg] \text{ avec } \Delta\omega \ll \omega_0\\
    \text{On appelle } \Delta\omega \text{ l'étendue spectrale du paquet d'ondes}\\
    \text{Écriture du paquet d'onde : } \displaystyle\underline{\psi}(x,t) = \int_{-\infty}^{+\infty}\underline{a}(\omega)\exp\Big(j(\omega t - \underline{k}x)\Big)\mathrm{d}\omega
\end{array}}\]

\vspace*{0.3cm}

\begin{multicols}{2}
    \subsection*{Propagation du paquet d'ondes en milieu non dispersif}
    \[\boxed{\text{En milieu non dispersif, } v_g = \frac{\mathrm{d}\omega}{\mathrm{d}k} = v_\varphi = \frac{\omega}{k}}\]

    \subsection*{Propagation du paquet d'ondes en milieu dispersif}
    \[\boxed{\text{En milieu dispersif, } v_g = \neq v_\varphi}\]
    Le paquet d'ondes s'étale
\end{multicols}

\newpage

\section*{Résumé}

\includegraphics[width=\textwidth]{dispersion_absorption.png}

\end{document}