\documentclass{article}
\usepackage{amssymb, amsmath, geometry, multicol}

\geometry{tmargin=.7in, bmargin=.75in, lmargin=.75in, rmargin = .75in}

\newenvironment{rcases}
    {\left.\begin{aligned}}
    {\end{aligned}\right\rbrace}

\begin{document}
\setlength{\parindent}{0mm}
\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\title{Séries de Vecteurs - Exponentielle de Matrices}
\author{Aubin SIONVILLE}
\date{MPI Clemenceau - 2021-2023}
\maketitle

\centering

\section*{Rappel : Suites de vecteurs}

\[\boxed{\begin{rcases}
    \text{La transposée } A \mapsto A^T\\
    \text{Un changement de base } A \mapsto P^{-1}AP\\
    \text{La multiplication de deux matrices } (A,B) \mapsto AB\\
\end{rcases} \text{ sont des applications linéaires continues}}\]

\vspace*{0.5cm}

\section*{Séries de vecteurs}

Soit $(u_n)$ une suite de vecteurs d'un \underline{espace vectoriel normé}

\begin{multicols}{2}
    \subsection*{Convergence}
    \[\boxed{\begin{array}{c}
        \displaystyle\text{La séries de vecteurs } \sum u_n \text{ converge si}\\
        \displaystyle S_n = \sum_{k=0}^n u_k \text{ converge}
    \end{array}}\]
    
    \subsection*{Convergence absolue}
    \it{La valeur aboslue devient la norme des vecteurs}
    \[\boxed{\begin{array}{c}
        \displaystyle\text{La séries de vecteurs } \sum u_n \text{ converge absolument si}\\
        \displaystyle\sum ||u_n|| \text{ converge}
    \end{array}}\]

\end{multicols}

\vspace*{0.3cm}

\subsection*{Convergences}
\[\boxed{\text{En \underline{dimension finie}, convergence absolue} \implies \text{convergence}}\]

\vspace*{0.3cm}

    \subsection*{Série entière de matrices}
    \[\boxed{\begin{array}{c}
        \displaystyle\text{Soit }  ||\cdot|| \text{ une norme \underline{sous-multiplicative} sur } \mathcal{M}_{nn}(\mathbb{K}), A \in \mathcal{M}_{nn}(\mathbb{K})\\
        \displaystyle\text{et } \sum a_nz^n \text{ une série entière de rayon de cv } R,\\
        
        \displaystyle\text{Si } ||A|| < R, \text{ alors } \sum a_nA^n \text{ converge}
    \end{array}}\]

    \subsection*{Série géométrique de matrices}
    \[\boxed{\begin{array}{c}
        \displaystyle\text{Soit }  ||\cdot|| \text{ une norme \underline{sous-multiplicative} sur } \mathcal{M}_{nn}(\mathbb{K}), A \in \mathcal{M}_{nn}(\mathbb{K})\\
        
        \displaystyle\text{Si } I_n - A \text{ et \underline{inversible}, alors } (I_n-A)^{-1} = \sum_{k=0}^\infty A^k\\
    \end{array}}\]

    \[\boxed{\text{Si } A \text{ est } \underline{\text{nilpotente d'ordre } \nu}, \text{ alors } (I_n-A) \text{ est inversible et } (I_n-A)^{-1} = \sum_{k=0}^{\nu-1} A^k}\]  

\end{document}