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\begin{document}
\setlength{\parindent}{0mm}

\title{Incertitudes}
\author{Aubin SIONVILLE}
\date{MPI Clemenceau - 2021-2023}
\maketitle

\centering

\begin{multicols}{2}
\section*{Incertitudes de type A}
Type A :  étude statistique possible
\[\boxed{m = \overline{m} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^nm_i}\]
Ecart-type : $\displaystyle\boxed{\sigma = \sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n(m_i - \overline{m})^2}}$\\
On a alors $68\%$ des mesures dans l'intervalle $[\overline{m} - \sigma, \overline{m} + \sigma]$\\
Incertitude-type :
$\displaystyle\boxed{u(m) = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}}$

\section*{Incertitudes de type B}
Type B : mesure unique\\
ou instrument donnant toujours la même valeur\\
Si $m \in [m_\text{min}, m_\text{max}]$,\\
On pose $\displaystyle \boxed{a = \frac{m_\text{max} - m_\text{min}}{2}}$\\
Alors $\displaystyle \boxed{u(m) = \frac{a}{\sqrt{3}}}$\\
On a alors $68\%$ des mesures dans l'intervalle $[m - u(m), m + u(m)]$
\end{multicols}

\section*{Appareils de mesure numériques}
\begin{multicols}{2}
    \subsection*{Cas 1}
    On a un nombre de digits $n$ dans la notice et un pourcentage d'incertitude $p$\\
    On note $\text{res}$ la plus petite valeur pouvant être lue\\
    Alors $\boxed{\displaystyle u(m) = \frac{1}{\sqrt{3}}(p\times m + n\times\text{res})}$

    \subsection*{Cas 2}
    On a une incertitude $\Delta$ sans autre indication\\
    C'est la demi-largeur de l'intervalle de confiance à $68\%$\\*
    Alors $\boxed{\displaystyle u(m) = \frac{\Delta}{\sqrt{3}}}$
\end{multicols}

\section*{Combinaison et propagation}
\begin{multicols}{2}
    \subsection*{Type A et B}
    Si on a les deux types d'incertitudes,
    \[\boxed{u(m) = \sqrt{(u_A(m))^2 + (u_B(m))^2}}\]

    \subsection*{Variable}
    Si on a $q=f(x)$ et qu'on connait $x\pm u(x)$,
    \[\boxed{u(q) = \left|\frac{\partial f}{\partial x}\right|u(x)}\]

    \paragraph*{Niveau de confiance}
    $1\sigma : 68\% \quad\quad 2\sigma : 95\%$

    \subsection*{Plusieurs variables}
    \[\boxed{u_q = \sqrt{\Big(\frac{\partial f}{\partial x}\Big)^2 (u(x))^2 + \Big(\frac{\partial f}{\partial y}\Big)^2 (u(y))^2 + \cdots}}\]

    \subsection*{Cas particuliers}
    \begin{tabular}{|c|c|}
        \hline
        \rule{0pt}{4ex}$q = x + y$ & $u(q) = \sqrt{u(x) + u^2(y)}$\\
        \hline
        \rule{0pt}{4ex}$q = x - y$ & $u(q) = \sqrt{u(x) + u^2(y)}$\\
        \hline
        \rule{0pt}{4ex}$q = x \times y$ & $\frac{u(q)}{q} = \sqrt{\Big(\frac{u(x)}{x}\Big)^2 + \Big(\frac{u(y)}{y}\Big)^2}$\\
        \hline
        \rule{0pt}{4ex}$q = x/y$ & $\frac{u(q)}{q} = \sqrt{\Big(\frac{u(x)}{x}\Big)^2 + \Big(\frac{u(y)}{y}\Big)^2}$\\
        \hline
    \end{tabular}
\end{multicols}
\end{document}