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\linespread{1.25}
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\begin{document}
\setlength{\parindent}{0mm}

\title{Calcul Différentiel}
\author{Aubin SIONVILLE}
\date{MPI Clemenceau - 2021-2023}
\maketitle

\centering

\section*{Courbes de niveau}

\begin{multicols}{2}
    \subsection*{Equation d'une ellipse}
    \[\boxed{\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1}\]

    \subsection*{Equation d'une hyperbole}
    \[\boxed{\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1}\]
\end{multicols}

\subsection*{Courbe de niveau}
\[\boxed{\forall K \in \mathbb{R}, \text{ la courbe de niveau } K \text{ est l'ensemble } C_K = \{(x,y) \in D | f(x,y) = K\}}\] 

\vspace*{0.5cm}

\section*{Dérivées partielles}

\subsection*{Dérivée partielle}
\[\boxed{\begin{array}{c}
    \displaystyle \text{Si } \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h,b) - f(a,b)}{h} \text{ existe et est finie},\\
    \displaystyle \text{On la note } \partial_1f(a,b) \text{ ou } \frac{\partial f}{\partial x} f(a,b) : \\
    \text{ la première dérivée partielle de } f \text{ en } (a,b)
\end{array}}\]

\vspace*{0.3cm}

\subsection*{$i^{\text{ème}}$ dérivée partielle}
\[\boxed{\begin{array}{c}
    \forall i, \text{ si } \partial_i f(a,b) \text{ existe pour tout } (a,b) \in D,\\
    \text{La fonction } \partial_i f \text{ est appelée la } i^{\text{ème}} \text{ dérivée partielle de } f \text{ en } (a,b)
\end{array}}\]

\subsection*{Fonction $\mathcal{C}^1$}
\[\boxed{\begin{array}{c}
    f \text{ est } \mathcal{C}^1 \text{ si et seulement si}\\
    \text{toutes ses dérivées partielles existent et sont continues sur } D
\end{array}}\]

\subsection*{Taylor-Young à l'ordre 1}
\[\boxed{\begin{array}{c}
    \underline{\text{Si } f \text{ est } \mathcal{C}^1},\quad \forall (a,b) \in D,\\
    f(a+h,b+k) = f(a,b) + h\partial_1f(a,b) + k\partial_2f(a,b) + ||(h,k)||\underset{\underset{(h,k) \to (0,0)}{\longrightarrow\ 0}}{\varepsilon(h,k)}
\end{array}}\]

\subsection*{Taylor-Young : version matricielle}
\[\boxed{\begin{array}{c}
    \text{Si } \forall i \in \llbracket 1, n \rrbracket, f_i: \mathbb{R}^p \to \mathbb{R}^n \text{ est } \mathcal{C}^1,\\
    \underset{f(a+h)}{
    \underbrace{
    \begin{pmatrix}
        f_1(a+h)\\
        \vdots\\
        f_n(a+h)
    \end{pmatrix}}}
    =
    \underset{f(a)}{
    \underbrace{
    \begin{pmatrix}
        f_1(a)\\
        \vdots\\
        f_n(a)
    \end{pmatrix}}}
    +
    \underset{J_f(a)}{
    \underbrace{
    \begin{pmatrix}
        \partial_1f_1(a) & \cdots & \partial_pf_1(a)\\
        \vdots & & \vdots\\
        \partial_1f_n(a) & \cdots & \partial_pf_n(a)
    \end{pmatrix}}}
    \underset{h}{
    \underbrace{
    \begin{pmatrix}
        h_1\\
        \vdots\\
        h_p
    \end{pmatrix}}}
    +
    ||h||
    \underset{\varepsilon(h)}{
    \underbrace{
    \begin{pmatrix}
        \varepsilon_1(h)\\
        \vdots\\
        \varepsilon_n(h)
    \end{pmatrix}}}
\end{array}}\]

\subsection*{La matrice jacobienne}
\[\boxed{\begin{array}{c}
    \text{Si } \forall i \in \llbracket 1, n \rrbracket, f_i: \mathbb{R}^p \to \mathbb{R}^n \text{ admet } p \text{ dérivées partielles en } a,\\
    \text{On note } J_f(a) \text{ la matrice jacobienne de } f \text{ en } a : (J_f(a))_{ij} = \partial_jf_i(a) :\\
    \begin{pmatrix}
        \partial_1f_1(a) & \cdots & \partial_pf_1(a)\\
        \vdots & & \vdots\\
        \partial_1f_n(a) & \cdots & \partial_pf_n(a)
    \end{pmatrix}
\end{array}}\]

\vspace*{0.3cm}

\section*{La différentielle d'une fonction}

\subsection*{Être différentiable}
\[\boxed{\begin{array}{c}
    f \text{ est différentiable en } a \text{ si et seulement si }\\
    \text{Il existe une application linéaire } \ell_a \text{ telle que }\\
    f(a+h) = f(a) + \ell_ah + ||h||\underset{\underset{h \to 0}{\longrightarrow\ 0}}{\varepsilon(h)}
\end{array}}\]

\subsection*{La différentielle}
\[\boxed{\begin{array}{c}
    \text{Si } f \text{ est différentiable en } a,\\
    (*)\ \ell_a \text{ est unique, on l'appelle la différentielle de } f \text{ en } a, \text{ et on la note} \\
    \ell_a = \mathrm{d}\!f(a) : \ell_a(h) = \mathrm{d}\!f(a)\cdot h\\

    (*)\ \text{Les dérivées partielles de } f \text{ en } a \text{ existent et}\\
    \displaystyle\forall h \in E, \mathrm{d}\!f(a)\cdot h = \sum_{i=1}^p h_i\partial_i f(a)
\end{array}}\]

\subsection*{Différentiabilité, continuité et dérivabilité}
\renewcommand{\arraystretch}{1}
\[\boxed{\begin{array}{ccc}
    f \text{ est différentiable en } a & \implies & f \text{ est continue en } a\\
    \Downarrow \notUparrow & &\\
    f \text{ possède des dérivées partielles en } a & \notimplies & f \text{ est continue en } a\\\\

    f \text{ est } \mathcal{C}^1 \text{ sur } U & \underset{\notimpliedby}{\implies} & f \text{ est différentiable sur } U\\
    f \text{ est } \mathcal{C}^1 \text{ sur } U & \iff & \begin{cases}
        f \text{ est différentiable sur } U\\
        \mathrm{d}f \text{ est continue sur } U
    \end{cases}
\end{array}}\]
\renewcommand{\arraystretch}{1.2}

\section*{Le gradient}

\subsection*{Gradient}
\[\boxed{\begin{array}{c}
    \text{Si } f \text{ est différentiable sur } I, \text{il existe un unique vecteur noté } \nabla f(a) \text{ ou } \mathrm{grad}f(a) \text{ tel que}\\
    \forall h \in E, \mathrm{d}\!f(a)\cdot h = \langle h | \nabla f(a)\rangle\\
    \\
    \text{Si }(e_1...e_p) \text{ est une base de } E, \quad \nabla f(a) = \partial_1 f(a) e_1 + ... + \partial_p f(a) e_p
\end{array}}\]

\vspace*{0.3cm}

\subsection*{Règle de la chaîne}
\[\boxed{\begin{array}{c}
    \text{Si } f: U \to I \text{ et } g: t \mapsto (x(t),y(t)) \text{ sont différentiables},\\
    f \circ g \text{ est différentiable et} \forall t \in I,\\
    \begin{array}{ccc}
        \displaystyle (f \circ g)'(t) = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}f(g(t)) = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}f(x(t),y(t)) & = & x'(t)\frac{\partial f}{\partial x}(g(t)) + y'(t)\frac{\partial f}{\partial y}(g(t))\\
        & = & \mathrm{d}\!f(g(t)) \cdot g'(t)
    \end{array}
\end{array}}\]

\vspace*{0.3cm}

\subsection*{Vecteur tangent à une partie}
\[\boxed{\begin{array}{c}
    v \text{ est tangent à } C \subset E \text{ en } a \in C \text{ si et seulement si}\\
    \begin{cases}
        \text{Il existe une application dérivable } M: I \to E \text{ tq } M(I) \subset C\\
        \exists t_0 \in I \text{ tq } M(t_0) = a \text{ et } M'(t_0) = v\\
    \end{cases} \\
    \\
    T_a C \text{ est l'ensemble des vecteurs tangents à } C \text{ en } a\\
    v \perp C \iff v \perp T_a C
\end{array}}\]

\vspace*{0.3cm}

\subsection*{Orthogonalité du gradient aux courbes de niveau}
\[\boxed{\begin{array}{c}
    \text{Si } f \text{ est } \mathcal{C}^1 \text{ et } \nabla f(a) \neq 0, \text{ où } a \in C \text{ et } f \text{ est constante sur C}, \\
    v \in E \text{ est tangent à } C \text{ si et seulement si } v \perp \nabla f(a)\\
    \\
    \text{Autrement dit : } T_a C \text{ est l'hyperplan } [\mathrm{Vect}\nabla f(a)]^\perp = \mathrm{Ker}\,\mathrm{d}\!f(a)    
\end{array}}\]

\vspace*{0.3cm}

\subsection*{$\nabla f(a)$ et $T_a C$}
\[\boxed{\nabla f(a) \text{ est donc orthogonal à } C : \nabla f(a) \perp T_a C}\]
On a donc :\\
Le champ électrostatique est orthogonal aux équipotentielles.\\
La ligne de plus forte pente est perpendiculaire à la ligne de niveau...

\vspace*{0.5cm}

\section*{Connexité, convexité}
\
\begin{multicols}{2}
    \subsection*{Partie convexe d'un espace vectoriel}
    \textit{Penser à l'interpolation linéaire.}
    \[\boxed{\begin{array}{c}
        D \subset E \text{ est convexe si et seulement si }\\
        \forall (a,b) \in D^2, \forall t \in [0,1], (1-t)a + tb \in D\\
    \end{array}}\]

    \subsection*{Partie connexe d'un espace vectoriel}
    \[\boxed{\begin{array}{c}
        D \subset E \text{ est connexe par arcs si et seulement si }\\
        \forall (a,b) \in D^2, \exists M : [0,1] \to E \text{ continue telle que}\\
        M(0) = a \text{ et } M(1) = b \text{ et } \forall t \in [0,1], M(t) \in D\\
    \end{array}}\]
\end{multicols}

\vspace*{0.1cm}

\begin{multicols}{2}
    \subsection*{Segment}
    \[\boxed{\begin{array}{c}
        \text{Le segment } [a,b] \text{ est l'ensemble des vecteurs } \\
        (1-t)a + tb \text{ où } t \in [0,1]\\
        \text{Donc } D \text{ est convexe } \iff \forall (a,b) \in D^2, [a,b] \subset D
    \end{array}}\]

    \subsection*{Connexité et continuité}
    \[\boxed{\begin{array}{c}
        \text{L'image directe d'une partie connexe par arcs de } E\\
        \text{ par une application continue } f: E \to F\\
        \text{ est connexe par arcs dans } F
    \end{array}}\]
\end{multicols}

\[\boxed{\begin{array}{c}
    \text{Si } f: \text{ est } \mathcal{C}^1 \text{ sur un convexe } D,\\
    f \text{ est constante sur D} \iff \nabla f(a) = 0 \text{ pour tout } a \in D\\
    \\
    \text{Idem si } D \text{ est connexe par arcs}\\
\end{array}}\]

\vspace*{0.5cm}

\section*{Différentielle d'une composée}

On a trois espaces vectoriels normés $E, F$ et $G$ et deux ouverts $U \subset E$ et $V \subset F$.\\
On a deux applications $f: U \to F$ et $g: V \to G$ telles que $f(U) \subset V$ :
\[\begin{array}{lclcl}
    U \subset E & \to & V \subset F & \to & G\\
    x & \mapsto & y = f(x) & \mapsto & g(y) = (g \circ f)(x)
\end{array}\]

\subsection*{Différentielle de la composée}
\[\boxed{\begin{array}{c}
    \text{Si } f \text{ est différentiable en } a \in U \text{ et } g \text{ est différentiable en } b = f(a),\\
    \text{ alors } g \circ f \text{ est différentiable en } a \text{ et }\\
    \mathrm{d}\!(g \circ f)(a) = \mathrm{d}\!g(b) \circ \mathrm{d}\!f(a)
\end{array}}\]

\vspace*{0.3cm}

\subsection*{Jacobienne de la composée}
\[\boxed{J_{g \circ f}(a) = J_g(b) \cdot J_f(a)}\]

\begin{multicols}{2}
    \[\boxed{\forall j \in \llbracket 1, p \rrbracket, \frac{\partial(g \circ f)(a)}{\partial x_j} = \sum_{i=1}^q \frac{\partial g}{\partial y_i}(b) \frac{\partial f}{\partial x_j}(a)}\]
    
    \[\boxed{\forall j \in \llbracket 1, p \rrbracket, \partial_j (g \circ f)(a) = \sum_{i=1}^q \partial_i g(b) \partial_j f(a)}\]
\end{multicols}

\section*{Dérivées secondes}

\subsection*{Dérivées secondes}
\[\boxed{\begin{array}{c}
    \text{En prenant } D \text{ un ouvert de } E, \begin{array}{llcl}
        f: & D & \to & E\\
        & (x_1, \dots, x_p) & \mapsto & (f(x_1), \dots, f(x_p))
    \end{array}\\
    \displaystyle \text{Si } \partial_i f \text{ existe et possède une } j \text{-ème dérivée partielle } \partial_j(\partial_i f),\\
    \displaystyle \text{alors } \partial_j(\partial_i f) \text{ est une dérivée seconde de } f, \text{ notée } \partial_j\partial_i f \text{ ou } \frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j}\\
    \displaystyle \\
    \displaystyle f \text{ est } \mathcal{C}^2 \text{ sur } D \iff \text{ les } p^2 \text{ dérivées secondes existent et sont continues sur } D
\end{array}}\]

\vspace*{0.3cm}

\subsection*{Théorème de Schwarz}
\[\boxed{\begin{array}{c}
    \text{Si } f \text{ est } \mathcal{C}^2 \text{ sur un ouvert } D \subset E, \text{ alors }\\
    \forall (i,j) \in \llbracket 1, p \rrbracket^2, \forall a \in D, \partial_i \partial_j f(a) = \partial_j \partial_i f(a)
\end{array}}\]

\vspace*{0.3cm}

\subsection*{Taylor-Young à l'ordre 2}
\[\boxed{\begin{array}{c}
    \text{Si } f \text{ est } \mathcal{C}^2 \text{ sur un ouvert } D \subset E, \text{ alors},\forall a = (a_1, \dots, a_p) \in D,\\
    \displaystyle f(a + h) = f(a) + \sum_{i=1}^p h_i \partial_i f(a) + \frac{1}{2} \sum_{i=1}^p\sum_{j=1}^p h_i h_j \partial_i \partial_j f(a) + ||h||^2\underset{\underset{h \to 0}{\longrightarrow\ 0}}{\varepsilon(h)}
\end{array}}\]

\vspace*{0.3cm}

\subsection*{La matrice hessienne}
\[\boxed{H_f(a) = \begin{pmatrix}
    \partial_1 \partial_1 f(a) & \cdots & \partial_1 \partial_p f(a)\\
    \vdots & \ddots & \vdots\\
    \partial_p \partial_1 f(a) & \cdots & \partial_p \partial_p f(a)
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
    \frac{\partial^2 f}{\partial x_1^2}(a) & \cdots & \frac{\partial^2 f}{\partial x_1 \partial x_p}(a)\\
    \vdots & \ddots & \vdots\\
    \frac{\partial^2 f}{\partial x_p \partial x_1}(a) & \cdots & \frac{\partial^2 f}{\partial x_p^2}(a)
\end{pmatrix}}\]

\vspace*{0.3cm}

\subsection*{Théorème de Schwarz et matrice hessienne}
\[\boxed{\begin{array}{c}
    \text{Si } f \text{ est } \mathcal{C}^2, \text{ alors } H_f(a) \text{ est symétrique}\\
    \\
    \text{En dimension 2 } :\\
    \displaystyle f(a+h,b+k) = f(a,b) + h \frac{\partial f}{\partial x}(a,b) + k \frac{\partial f}{\partial y}(a,b) + \frac{1}{2} \bigg[h^2 \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(a,b) + k^2 \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}(a,b) + 2hk \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}(a,b)\bigg] + (h^2+k^2)\underset{\underset{h,k \to (0,0)}{\longrightarrow\ 0}}{\varepsilon(h,k)}\\
    \text{ou avec la hessienne } : \\
    \displaystyle f(a+h,b+k) = f(a,b) + h \frac{\partial f}{\partial x}(a,b) + k \frac{\partial f}{\partial y}(a,b) + \frac{1}{2} \begin{pmatrix}
        h & k
    \end{pmatrix}
    H_f(a) \begin{pmatrix}
        h\\
        k
    \end{pmatrix} + (h^2+k^2)\underset{\underset{h,k \to (0,0)}{\longrightarrow\ 0}}{\varepsilon(h,k)}
\end{array}}\]

\vspace*{0.5cm}

\section*{Optimisation}
\
\begin{multicols}{2}
    \subsection*{Minimum global}
    \[\boxed{\begin{array}{c}
        \text{Soit } a \in D\\
        f \text{ possède un minimum global sur } D \text{ ssi }\\
        \forall x \in D, f(x) \geq f(a)
    \end{array}}\]

    \subsection*{Maximum global}
    \[\boxed{\begin{array}{c}
        \text{Soit } a \in D\\
        f \text{ possède un maximum global sur } D \text{ ssi }\\
        \forall x \in D, f(x) \leq f(a)
    \end{array}}\]
    
    \subsection*{Minimum local}
    \[\boxed{\begin{array}{c}
        \text{Soit } a \in D\\
        f \text{ possède un minimum local en } a \text{ ssi }\\
        \exists \varepsilon > 0, \forall x \in D, ||x-a|| < \varepsilon \implies f(x) \geq f(a)
    \end{array}}\]

    \subsection*{Maximum local}
    \[\boxed{\begin{array}{c}
        \text{Soit } a \in D\\
        f \text{ possède un maximum local en } a \text{ ssi }\\
        \exists \varepsilon > 0, \forall x \in D, ||x-a|| < \varepsilon \implies f(x) \leq f(a)
    \end{array}}\]
\end{multicols}

\vspace*{0.3cm}	

\subsection*{Fonction continue sur un fermé}
\[\boxed{\text{Toute fonction continue sur un fermé borné est bornée et atteint ses bornes}}\]

\vspace*{0.3cm}

\subsection*{Point critique}
\[\boxed{\begin{array}{c}
    \text{Soit un point } a \text{ intérieur à } D \text{ et } f \text{ différentiable en } a\\
    a \text{ est un point critique de } f \text{ ssi } \nabla f(a) = 0\\
    f \text{ possède un extremum local en } a \underset{\notimpliedby}{\implies} a \text{ est un point critique de } f
\end{array}}\]

\vspace*{0.3cm}

\subsection*{Conditions nécessaire et suffisante d'un extremum local}
\[\boxed{\begin{array}{c}
    \text{Soit un point } a \text{ intérieur à un ouvert } D \text{ et } f \text{ de classe } \mathcal{C}^2 \\
    \text{On note } (\lambda_1,\lambda_2) \text{ les valeurs propres de } H_f(a)\\
    
    \text{Si } f \text{ possède un extremum local en } a \text{ alors } \begin{cases}
        \nabla f(a) = 0\\
        \forall i \in \llbracket 1,p \rrbracket, \lambda_i\ \boxed{\geq}\ 0
    \end{cases}\\
    
    \text{Si } \nabla f(a) = 0 \text{ et } \forall i \in \llbracket 1,p \rrbracket, \lambda_i\ \boxed{>}\ 0 \text{ alors } f \text{ possède un extremum local en } a
\end{array}}\]

\vspace*{0.3cm}

\subsection*{Théorème des extrema liés}
\[\boxed{\begin{array}{c}
    \text{Soient } f \text{ et } g \text{ deux fonctions } \mathcal{C}^1 \text{ de } E \text{ vers } \mathbb{R}\\
    \text{Si } f \text{ est constante sur } C \subset E \text{ et que } g\vert_C \text{ admet un extremum local en } x\\
    \text{Si } x \text{ n'est pas un point critique de } f \text{ alors }\\
    \exists \lambda \in \mathbb{R}, \nabla g(x) = \lambda \nabla f(x)
\end{array}}\]

\end{document}