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\let\overrightarrow\vv

\DeclareMathOperator{\grad}{\overrightarrow{\mathrm{grad}}}

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\begin{document}
\setlength{\parindent}{0mm}

\title{Thermodynamique}
\author{Aubin SIONVILLE}
\date{MPI Clemenceau - 2021-2023}
\maketitle

\centering\part*{Bases de Thermodynamique}

\section*{Lois de la Thermodynamique}


\begin{multicols}{2}
    \subsection*{Premier Principe}
    Ecriture intégrale du premier principe :
    \[\boxed{\Delta E=\Delta U+\Delta E_{\rm {c}}+\Delta E_{\rm {p}}=W+Q}\]
    
    Ecriture infinitésimale du premier principe :
    \[\mathrm {d} E_{\mathrm {c} }+\mathrm {d} E_{\mathrm {p} }+\mathrm {d} U=\delta W+\delta Q\]
    
    \subsection*{Second Principe}
    Ecriture intégrale du second principe :
    \[\boxed{\Delta S \triangleq S_{\mathrm{ech}} + S_{\mathrm{cr}}}\]
    
    Ecriture infinitésimale du second principe :
    \[\mathrm{d}S = \delta S_{\mathrm{ech}} + \delta S_{\mathrm{cr}}\]    
\end{multicols}

\hspace{1cm}

\begin{multicols}{2}
    \subsection*{Calcul de l'entropie échangée}
    \[\boxed{\delta S_{\mathrm{ech}} \triangleq \frac{\delta Q}{T_{\mathrm{ext}}}}\]
    $\delta S_{\mathrm{cr}} = 0 \iff$ Transformation réversible
    \section*{Loi de Laplace}
    Si la transformation est \textbf{adiabatique} et \textbf{réversible} :
    \[\boxed{PV^\gamma = \mathrm{Cte}} \quad \quad \quad
    TV^{1-\gamma} = \mathrm{Cte} \quad \quad \quad
    P^{1-\gamma}T^\gamma = \mathrm{Cte}\]
\end{multicols}

\hspace{1cm}

\begin{multicols}{2}
    \section*{Enthalpie}
    \subsection*{Définition}
    \[\boxed{H \triangleq U + PV}\]
    
    \subsection*{Enthalpie massique de changement de phase}
    \[l_{1\leftarrow 2} \triangleq \Delta H_{1\leftarrow 2} = H_2 - H_1\]
    \[l_{vap} = H_{vap} - H_{liq}\]
\end{multicols}

\hspace{1cm}

\begin{multicols}{2}
    \section*{Inégalité de Clausius}
    \[\boxed{\sum_{i=1}^N \frac{Q_i}{T_i} \leq 0}\quad\quad\text{(Egal si réversible)}\]
    
    \section*{Machines Thermiques}
    \[\boxed{\mathrm{perf} \triangleq \frac{|Q_{utile}|}{|Q_{depense}|}}\]    
\end{multicols}


\begin{multicols}{3}
    \subsection*{Moteur}
    \[\eta_{moteur} = \frac{-W}{Q_c}\]
    \[\eta_{moteur} \leq \frac{T_c - T_f}{T_c} \leq 1\]
    
    \subsection*{Frigo}
    \[e_{frigo} = \frac{-Q_f}{W} = \frac{-Q_f}{Q_f + Q_c}\]
    \[e_{frigo} \leq \frac{T_f}{T_c -T_f} = e_{max}\]
    
    \subsection*{Pompe à chaleur}
    \[e_{PAC} = -\frac{Q_c}{W} = \frac{-Q_c}{Q_f + Q_c}\]
    \[e_{PAC} \leq \frac{T_c}{T_c - T_f} = e_{max}\]
\end{multicols}

\newpage
\part*{Transferts Thermiques}
\section*{Flux Thermique}
\begin{multicols}{2}
    \subsection*{Définition}
    \[\delta Q = \phi \mathrm{d}T\]
    
    \subsection*{Vecteur densité de flux thermique}
    \[\boxed{\delta^2 Q \triangleq \vec{j_Q} \cdot \mathrm{d}\vec{S}\mathrm{d}T} \quad\quad \quad \phi = \frac{\delta Q}{\mathrm{d}T} = \int \mathrm{d}\phi = \iint_S \vec{j_Q} \cdot \mathrm{d}\vec{S}\]
\end{multicols}

\section*{Bilan Local d'Energie Interne}
\begin{multicols}{3}
    \[\boxed{d^2U = \rho c \mathrm{d}\tau \mathrm{d}T} \]
    
    \[\boxed{\delta^2 Q_{in} - \delta^2 Q_{out} +\delta^2Q_{interne}}\]
    
    En géométrie quelconque :
    \[\boxed{\rho \frac{\partial U}{\partial t} + \mathrm{div}(\vec{j_Q}) = p_v}\]
\end{multicols}

\begin{multicols}{3}
    En cartésien 1D :
    \[\rho c\frac{\partial T}{\partial t} = - \frac{\partial j_Q}{\partial x} + p_v\]
    
    En cylindrique 1D :
    \[\rho c\frac{\partial T}{\partial t} = - \frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}(rj_Q) + p_v\]
    
    En sphérique 1D :
    \[\rho c\frac{\partial T}{\partial t} = - \frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}(r^2j_Q) + p_v\]
\end{multicols}

\vspace{0.5cm}

\section*{Conduction Thermique}
\subsection*{Loi de Fourier}
\[\boxed{\vec{j_Q} = -\lambda \grad T}\]

\section*{Equation de la Diffusion Thermique}

\begin{multicols}{3}
    Coefficient de diffusion thermique
    \[\boxed{D_{th} \triangleq \frac{\lambda}{\rho c}}\]

    En 1D :
    \[\boxed{\frac{\partial T}{\partial t} = D_{th}\frac{\partial^2 T}{\partial x^2} + \frac{p_v}{\rho c}}\]
    
    En 3D :
    \[\boxed{\frac{\partial T}{\partial t} = D_{th}\Delta T + \frac{p_v}{\rho c}}\]
    
\end{multicols}

\section*{Conducto-Convection}
\subsection*{Loi de Newton}
\[\boxed{j_Q(interface) = h(T_{ext} - T_{int})} \quad\quad\quad \boxed{\phi = hS(T_{ext} - T_{int})}\]


\vspace{0.5cm}

\section*{Resistances Thermiques}
\begin{multicols}{2}
    \paragraph*{Résistance thermique de conduction}
    \[\boxed{R_{th} \triangleq \frac{l}{\lambda S}}\]
    
    \paragraph*{Résistance thermique de conducto-convection}
    \[\boxed{R_{th,cc} \triangleq \frac{1}{hS}}\]
\end{multicols}

\begin{multicols}{2}
    \paragraph*{Résistances en série}
    \[\boxed{R_{th} = R_1 + R_2 + \dots + R_n}\]
    
    \paragraph*{Résistances en parallèle}
    \[\boxed{R_{th} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \dots + \frac{1}{R_n}}\]
\end{multicols}

\newpage

\section*{Rayonnement Thermique}

Tout corps porté à une température $T$ émet un rayonnement électromagnétique de spectre continu en longueur d'onde, se propageant dans l'espace à la vitesse que l'on nomme \textbf{rayonnement thermique} du corps.

\subsection*{Les différents flux}

\begin{multicols}{3}
    \[\boxed{\text{Flux émis :} \phi_e}\]

    \[\boxed{\text{Flux incident :} \phi_i}\]

    \[\boxed{\text{Flux réfléchi :} \phi_r}\]

    \[\boxed{\text{Flux transmis :} \phi_t}\]

    \[\boxed{\text{Flux absorbé :} \phi_a}\]

    \[\boxed{\text{Flux total partant : } \phi_p \triangleq \phi_r + \phi_e}\]
\end{multicols}

\subsection*{Conservation de l'énergie}
\[\boxed{\phi_i = \phi_r + \phi_a + \phi_t}\]

\subsection*{Comportements}
\begin{multicols}{2}
    Transparent :
    \[\boxed{\phi_r = \phi_a = 0 \implies \phi_i = \phi_t}\]

    Réfléchissant :
    \[\boxed{\phi_t = \phi_a = 0 \implies \phi_i = \phi_r}\]

    Opaque :
    \[\boxed{\phi_t = 0 \implies \phi_i = \phi_r + \phi_a}\]

    Corps noir :
    \[\boxed{\phi_t = \phi_a = 0 \implies \phi_i = \phi_r}\]
\end{multicols}

\vspace{0.1cm}

\begin{multicols}{2}
    \subsection*{Flux radiatif}
    \[\boxed{\phi_R \triangleq \phi_p-\phi_i = \phi_e-\phi_a}\]

    \subsection*{Equilibre radiatif}
    \[\boxed{\phi_R = 0 \implies \phi_p = \phi_i \text{ et } \phi_e = \phi_a}\]
\end{multicols}

\vspace{0.1cm}

\begin{multicols}{2}
    \subsection*{Densité spectrale d'énergie}
    Donne la contribution de chaque longueur d'onde à la densité volumique totale d'énergie.
    \[\omega(\lambda, T) \text{ (En }\mathrm{J.m^{-4}})\]

    \subsection*{Densité surfacique de flux}
    \[\boxed{\varphi = \frac{\mathrm{d}\phi}{\mathrm{d}S}}\]
    A l'équilibre radiatif, on a $\phi_p = \phi_i$ donc on introduit le flux surfacique d'équilibre : $\varphi\text{\textdegree} \triangleq \varphi_i = \varphi_p$.
\end{multicols}

\vspace{0.1cm}

\begin{multicols}{3}
    \subsection*{Loi de Planck}
    \[\omega(\lambda, T) = \frac{8\pi h c}{\lambda^5}\frac{1}{\exp\bigg(\displaystyle\frac{hc}{\lambda k_B T}\bigg)-1}\]
    
    \subsection*{Loi de Wien}
    \[\boxed{\lambda_{m}T = 3\mathrm{mm.K}}\]
    Où $\lambda_{m}$ est le $\lambda$ du max de $\omega(\lambda, T)$.

    \subsection*{Loi de Stefan}
    \[\boxed{\varphi\text{\textdegree} = \sigma T^4}\]
    Où $\sigma = 5.67\cdot 10^{-8}\mathrm{W.m^{-2}.K^{-4}}$.
\end{multicols}

\vspace{0.1cm}

\begin{multicols}{2}
    \subsection*{Fenêtre spectrale d'émission}
    \[\boxed{98\% \text{ de } \varphi\text{\textdegree} \text{ est compris dans } \bigg[ \frac{\lambda_m}{2}, 8\lambda_m \bigg]}\]

    \subsection*{Lien avec le corps noir}
    Si un corps à $T$ a une fenêtre d'absorption $I \supseteq \displaystyle\bigg[\frac{\lambda_m}{2}, 8\lambda_m\bigg]$,\\ avec $\lambda_m$ le $\lambda$ du max de $\omega(\lambda,T)$ du corps noir à $T$, on l'assimilera ce corps noir puis d'après les lois de Wien et de Stefan, $\varphi_e \simeq \varphi\text{\textdegree}$.
\end{multicols}

\end{document}