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\begin{document}
\setlength{\parindent}{0mm}

\title{Equation de Schrödinger}
\author{Aubin SIONVILLE}
\date{MPI Clemenceau - 2021-2023}
\maketitle

\centering

\section*{Equation de Schrödinger}

\[\boxed{i\hbar \frac{\partial \underline{\psi}(M,t)}{\partial t} = -\frac{\hbar^2}{2m}\Delta \underline{\psi}(M,t) + V(M,t)\underline{\psi}(M,t)}\]

$V(M,t)$ est une énergie potentielle, que l'on appellera par la suite \underline{potentiel} (abus de langage).\\
$\Delta$ est le laplacien.\\

Cette année, on n'étudiera que des systèmes 1D donc on a :
\[\boxed{i\hbar \frac{\partial \underline{\psi}(x,t)}{\partial t} = -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2 \underline{\psi}(x,t)}{\partial x^2} + V(x,t)\underline{\psi}(x,t)}\]

L'équation de Schrödinger est linéaire, on peut donc appliquer le théorème de superposition.\\

\vspace*{0.5cm}

\section*{Solutions stationnaires}

\subsection*{Etats stationnaires}

On connaît des exemples d'ondes stationnaires (ex : corde vibrante), à laquelle on a associé des modes propres.\\
$\underline{\psi}(x,t) = a_0 \mathrm{e}^{i(\omega t -kx)} = a_0 \mathrm{e}^{i\omega t} \mathrm{e}^{-ikx}$ est une onde stationnaire quantique.\\

\subsection*{Solutions stationnaires de l'équation de Schrödinger}

On cherche alors des solutions sous la forme $\underline{\psi}(x,t) = \underline{\varphi}(x)\underline{g}(t)$

\[\boxed{\begin{array}{llll}
    \underline{g}(t) & \text{ vérifie } & \displaystyle\underline{g}'(t) + i\frac{E_0}{\hbar}\underline{g}(t) = 0 & \text{ avec } E_0 \text{ une constante}\\
    \underline{\varphi}(x) & \text{ vérifie } & \displaystyle-\frac{\hbar^2}{2m}\underline{\varphi}''(x) + V(x)\underline{\varphi}(x) = E_0\underline{\phi}(x)
\end{array}}\]

Les solutions stationnaires sont des états d'énergie $E$ constante tels que :

\[\boxed{\underline{\psi}(x,t) = \varphi(x) \exp\bigg(-i\frac{E}{\hbar}t\bigg)}\]

Ces états sont particulièrement intéressants car ils forment \underline{une base de l'espace des états}.\\
Autrement dit, toute solution de l'équation de Schrödinger est une combinaison linéaire des états stationnaires indépendants entre eux.

\subsection*{Probabilité de présence}

\[\boxed{\mathrm{d}P(x,t) = |\underline{\psi}(x,t)|^2 \mathrm{d}x = |\underline{\varphi}(x)|^2 \mathrm{d}x}\]
Comme $\displaystyle\bigg|\exp\bigg(-i\frac{E}{\hbar}t\bigg)\bigg|^2 = 1$, \underline{$\mathrm{d}P$ ne dépend pas du temps} (d'où le nom de stationnaire).

\vspace*{0.3cm}

\subsection*{Equation de Schrödinger pour indépendante du temps}
\[\boxed{-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\mathrm{d^2}\underline{\varphi}(x)}{\mathrm{d}x^2} + V(x)\underline{\varphi}(x) = E\underline{\varphi}(x)}\]

\vspace*{0.1cm}

On défini alors l'opérateur Hamiltonien : $\displaystyle\boxed{H = -\frac{\hbar^2}{2m}\Delta + V} \quad \text{où } \Delta \text{ est le laplacien}$

\[\boxed{\begin{array}{c}
    
    \text{L'équation de Schrödinger pour les états stationnaires est alors l'équation aux valeurs propres de l'hamiltonien :}\\
    H\underline{\varphi}(x) = E\underline{\varphi}(x)\\
    \text{Les \underline{valeurs propres} sont les énergies } E \text{ des états stationnaires.}\\
    \text{Les fonctions } \underline{\varphi} \text{ sont les \underline{fonctions propres} de l'hamiltonien.}\\
\end{array}
}\]

\vspace*{0.5cm}

\section*{Etats stationnaires d'une particule libre}

Une particule libre quantique est un quanton qui évolue dans le vide sans interactions.

\subsection*{Cas $E = 0$}

\[\boxed{\text{La seule fonction d'onde stationnaire d'énergie nulle est la fonction d'onde nulle, donc sans intéret.}}\]

\subsection*{Cas $E > 0$}

\begin{multicols}{2}
    L'équation devient
    \[\boxed{\frac{\mathrm{d}^2 \underline{\varphi}(x)}{\mathrm{d}x^2} + \frac{2mE}{\hbar^2} \underline{\varphi}(x) = \frac{\mathrm{d}^2 \underline{\varphi}(x)}{\mathrm{d}x^2} + \frac{p^2}{\hbar^2}\underline{\varphi}(x) = 0}\]
    
    On a alors des solutions de la forme
    \[\boxed{\underline{\psi}(x,t) = A \mathrm{e}^{-i(kx + \omega t)} + B \mathrm{e}^{i(kx - \omega t)}}\]
\end{multicols}
Donc la \underline{superposition de deux ondes planes harmoniques}

\vspace*{0.3cm}

\[\boxed{\text{Une particule quantique réelle est décrite par un paquet d'ondes, que la particule soit libre ou non.}}\]

\begin{multicols}{2}
    \subsection*{Relation de dispersion}
    \[\boxed{\omega = \frac{\hbar k^2}{2m}} \quad \text{(Il y a dispersion du quanton)}\]

    \subsection*{Vitesses de groupe et de phase}
    \[\boxed{v_g = 2v_\varphi = \frac{p}{m} = \sqrt{\frac{2\hbar\omega}{m}}}\]
\end{multicols}

\[\boxed{\begin{array}{c}
    \underline{\psi}(x) \text{ est la transformée de Fourier de } f(k) : \displaystyle\underline{\psi}(x) = \int_{-\infty}^\infty f(k) \mathrm{e}^{-ikx} \mathrm{d}k\\
    \text{On a alors } \displaystyle\Delta k \Delta x \geq \frac{1}{2}\\
    \text{Donc } \displaystyle\Delta(\hbar k) \Delta(x) \geq \frac{\hbar}{2} (\text{Inégalité d'Heisenberg sur l'axe} x)
\end{array}}\]

\end{document}