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\begin{document}
\setlength{\parindent}{0mm}

\title{Ondes Électromagnétiques dans le vide}
\author{Aubin SIONVILLE}
\date{MPI Clemenceau - 2021-2023}
\maketitle

\centering

\section*{Propagation des champs électromagnétiques dans le vide}

\[\overrightarrow{E} \text{ et } \overrightarrow{B} \text{ vérifient dans le vide l'équation de d'Alembert avec une célérité } c = \frac{1}{\sqrt{\varepsilon_0\mu_0}} : \]

\renewcommand{\arraystretch}{2}
\[\boxed{\begin{array}{c}
        \displaystyle\overrightarrow{\Delta} \overrightarrow{E} = \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2\overrightarrow{E}}{\partial t^2} \\
        \displaystyle\overrightarrow{\Delta} \overrightarrow{B} = \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2\overrightarrow{B}}{\partial t^2}
\end{array}
}\]

\renewcommand{\arraystretch}{1.3}

\subsection*{Onde électromagnétique plane progressive harmonique}
\[\boxed{\text{Toute onde électromagnétique peut décomposée en une somme d'OEMPPH}}\]

\begin{multicols}{2}
    \[\boxed{\underline{\overrightarrow{E}}_{\overrightarrow{u}, \omega} = \underline{\overrightarrow{E}_0}\mathrm{e}^{j(\omega t - \overrightarrow{k}\cdot\overrightarrow{r})}
    = \begin{pmatrix}
        E_{0x}\mathrm{e}^{j\varphi_x}\\
        E_{0y}\mathrm{e}^{j\varphi_y}\\
        E_{0z}\mathrm{e}^{j\varphi_z}    
    \end{pmatrix}}\]
    
    \[\boxed{\overrightarrow{E}_{\overrightarrow{u}, \omega} = \begin{pmatrix}
        E_{0x}\cos(\omega t - \overrightarrow{k}\cdot\overrightarrow{r} + \varphi_x)\\
        E_{0y}\cos(\omega t - \overrightarrow{k}\cdot\overrightarrow{r} + \varphi_y)\\
        E_{0z}\cos(\omega t - \overrightarrow{k}\cdot\overrightarrow{r} + \varphi_z)
    \end{pmatrix}}\]
\end{multicols}

\subsection*{Relation de dispersion des OEM dans le vide}

\[\boxed{k^2 = \frac{\omega^2}{c^2}}\]
\begin{multicols}{2}
    \[\boxed{\lambda = cT}\]

    \[\boxed{v_\varphi = v_g = \frac{\omega}{k} = c = \frac{\mathrm{d}\omega}{\mathrm{d}k}}\]
\end{multicols}

\subsection*{Utilisation des opérateurs d'analyse vectoriels en complexe}
\[\boxed{\begin{array}{c}
    \mathrm{div}(\underline{\overrightarrow{E}}) = \overrightarrow{\nabla}\cdot\underline{\overrightarrow{E}} = - j\overrightarrow{k}\cdot\overrightarrow{E}\\
    \rot(\underline{\overrightarrow{E}}) = \overrightarrow{\nabla}\wedge\underline{\overrightarrow{E}} = - j\overrightarrow{k}\wedge\overrightarrow{E}
\end{array}}\]

\vspace*{0.3cm}

Dans le vide, $\boxed{\text{les OEMPPH sont transverses}}$, $\boxed{\overrightarrow{k}, \overrightarrow{E} \text{ et } \overrightarrow{B} \text{ forment un trièdre direct}}$ et $\boxed{\overrightarrow{E} \text{ et } \overrightarrow{B} \text{ sont en phase}}$

\[\boxed{\overrightarrow{B} = \frac{\overrightarrow{k}\wedge\overrightarrow{E}}{\omega} = \frac{k\overrightarrow{u}\wedge\overrightarrow{E}}{\omega} = \frac{\overrightarrow{u}\wedge\overrightarrow{E}}{c}}\]

\section*{Onde polarisée rectilignement}

Ici polarisée selon $y$ et se propageant vers $+x$

\begin{multicols}{2}
    \subsection*{Champ électrique}
    \[\boxed{\overrightarrow{E} = E_0\cos(\omega t - k(+x) + \varphi)\overrightarrow{e_y}}\]
    
    \subsection*{Champ magnétique}
    \[\boxed{\overrightarrow{B} = \frac{E_0}{c}\cos(\omega t - k(+x) + \varphi)\overrightarrow{e_z}}\]
\end{multicols}

\vspace*{0.5cm}

\section*{Ondes électromagnétiques planes progressives générales}

Dans le vide, $\boxed{\text{les OEMPP sont transverses}}$, $\boxed{\overrightarrow{u}, \overrightarrow{E} \text{ et } \overrightarrow{B} \text{ forment un trièdre direct}}$ et $\boxed{\overrightarrow{E} \text{ et } \overrightarrow{B} \text{ sont en phase}}$

\begin{multicols}{2}
    \[\boxed{\overrightarrow{B} = \frac{\overrightarrow{u}\wedge\overrightarrow{E}}{c}}\]
    
    En norme, \[\boxed{B = \frac{E}{c}}\]
\end{multicols}

\subsection*{Vecteur de Poyting d'une OEMPP}
\[\boxed{\overrightarrow{\Pi} = \varepsilon_0cE^2\overrightarrow{u}}\]

\vspace*{0.3cm}

\subsection*{Energie moyenne dans le cas d'une OEMPPH}
\begin{multicols}{2}
    \[\boxed{\langle w_m \rangle = \langle w_e \rangle = \frac{1}{4}\varepsilon_0cE^2}\]
    
    \[\boxed{\langle \overrightarrow{\Pi} \rangle = \frac{1}{2}\varepsilon_0cE^2\overrightarrow{u} = \langle u_{em} \rangle c\overrightarrow{u}}\]
\end{multicols}

\[\boxed{\text{L'énergie électromagnétique est transportée dans le vide à la vitesse des ondes électromagnétiques : } c}\]

\vspace*{0.5cm}

\section*{Cas de la lumière}

À chaque instant, une onde peut être décomposée en une somme de deux OEMPPH polarisées rectilignement dans des directions perpendiculaires, avec un déphasage $\varphi(t)$ variant aléatoirement :

\[\boxed{\overrightarrow{E}(M,t) =
    \begin{pmatrix}
    E_x = 0 \\
    E_y = E_{0y}\cos(\omega t)\\
    E_z = E_{0z}\cos(\omega t + \varphi(t))
    \end{pmatrix}
    = \overrightarrow{E_1} + \overrightarrow{E_2}
    = \begin{pmatrix}
    0 \\
    E_{0y}\cos(\omega t)\\
    0
    \end{pmatrix}
    + \begin{pmatrix}
    0 \\
    0\\
    E_{0y}\cos(\omega t + \varphi(t))
    \end{pmatrix}
}\]

En sortie du polariseur, l'intensité de la lumière vérifie la loi de Malus :

\[\boxed{I = I_0\cos^2(\theta)}\]

\end{document}