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\newcommand{\parspace}{\vspace{0.1cm}}
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\begin{document}
\setlength{\parindent}{0mm}

\title{Optique ondulatoire}
\author{Aubin SIONVILLE}
\date{MPI Clemenceau - 2021-2023}
\maketitle

\centering

\section*{Modèle scalaire de la lumière}

On représente la lumière par une onde électromagnétique $\psi(r,t) = \psi_0\cos(\omega t - \overrightarrow{k}\overrightarrow{r} - \phi_0)$
\parspace
\parspace\\
On se place dans le cas de l'onde quasi-plane et on ne prendra (sauf mention contraire) la variation de l'amplitude.\\

\subsection*{Formule d'onde lumineuse}
\[\boxed{a(M,t) = A\cos(\omega t - \varphi(M))}\]

\vspace*{0.5cm}

\subsection*{Surfaces d'onde}
\[\boxed{\text{Une surface d'onde est une surface de phase constante}}\]

\vspace*{0.5cm}

\begin{multicols}{2}
    \subsection*{Chemin optique}
    \[\begin{array}{c}
        \displaystyle\boxed{(AB) \triangleq \int_A^B n(P)\mathrm{d}s_P} \\
        \text{ où } n(P) \text{ est l'indice optique en }P              \\
        \text{ et } \mathrm{d}s_P \text{ l'abscisse curviligne}
    \end{array}\]

    \subsection*{Déphasage}
    \[\boxed{\begin{array}{c}
        \displaystyle \Delta\phi_{AB} \triangleq \varphi(B) - \varphi(A) = \frac{\omega}{c}(AB) = \frac{2\pi}{\lambda_0}(AB) \\
        \displaystyle \varphi(B) = \varphi(A) + \frac{2\pi}{\lambda_0}(AB) = \varphi(A) + \frac{2\pi}{\lambda_0} \int_A^B n\mathrm{d}s
    \end{array}}\]
\end{multicols}

\vspace*{0.5cm}

\subsection*{Réflexions}
\[\boxed{
    \begin{array}{c}
        \text{Lors d'une réflexion d'un milieu d'indice } n_1 \text{ \underline{vers un milieu plus réfringent} d'indice } n_2>n_1,\\
        \text{on ajoute }
        \begin{cases}
            \pi \text{ à la phase}\\
            \displaystyle\frac{\lambda_0}{2} \text{ à la différence de marche}
        \end{cases}
\end{array}}\]

\vspace*{0.5cm}

\subsection*{Théorème de Malus}
\[\boxed{\text{Après un nombre quelconque de réflexions et de réfractions, les rayons lumineux sont normaux aux surfaces d'onde}}\]

\newpage

\section*{Intensité lumineuse}

\subsection*{Puissance}
La puissance transportée par une onde lumineuse est notée $p(M,t)$
\[\boxed{p(M,t) \propto a^2(M,t)}\]

\parspace
On ne peut pas mesurer les oscillations de la lumière, trop rapides, on mesure alors une moyenne de puissance sur un temps donné.
On a alors l'intensité $I(M,t) = K \langle a(M,t)^2 \rangle$ où $K$ est une constante, que l'on choisit arbitrairement à $2$.

\subsection*{Intensité}
L'intensité lumineuse est notée $I(M,t)$
\[\boxed{I(M,t) = 2\langle a(M,t)^2 \rangle }\]
Pour une onde monochromatique, $\boxed{I(M,t) = A^2}$

\end{document}