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\begin{document}
\setlength{\parindent}{0mm}

\title{Séries entières}
\author{Aubin SIONVILLE}
\date{MPI Clemenceau - 2021-2023}
\maketitle

\centering

\section*{Définition}

\subsection*{Série entière}
    $\sum f_n$ est une série entière si
    \[\boxed{\exists (a_n) \in \mathbb{R}^\mathbb{N}, \forall n \in \mathbb{N}, \forall x \in \mathbb{R}, f_n(x) = a_nx^n}\]

\vspace{0.5cm}

\section*{Rayon de convergence}
\subsection*{Lemme d'Abel}
    Soit $x_0 > 0$,
    \[\boxed{(a_nx_0^n) \text{ bornee} \implies (\forall x \in ]-x_0, x_0[, \sum a_nx^n \text{ converge absolument})}\]

\subsection*{Convergence et divergence}
    \[\boxed{\exists! R \in \mathbb{R}^+\cup \{+\infty\}, \forall x \in ]-R, R[ \begin{cases} |x| < R \implies \sum a_nx^n \text{ converge absolument}\\ |x| > R \implies \sum a_nx^n \text{ diverge grossièrement} \end{cases}}\]

\begin{multicols}{3}
    \[\boxed{a_n = O(b_n) \implies R_a \geq R_b}\]

    \[\boxed{a_n \sim b_n \implies R_a = R_b}\]

    \[\boxed{\exists N \in \mathbb{N}, \forall n \geq N, |a_n| \leq b_n \implies R_a \geq R_b}\]
\end{multicols}

\begin{multicols}{2}
    \subsection*{Convergence normale}
    $\sum a_nx^n$ converge normalement donc uniformément sur tout segment inclus dans $]-R, R[$

    \subsection*{Continuité}
    $x \mapsto \sum a_nx^n$ est continue sur $]-R, R[$
\end{multicols}

\subsection*{Théorème d'Abel radial}
    \[\boxed{\sum a_nR^n \text{ cv } \iff \sum_{n=0}^{+\infty}a_nx^n \underset{x\rightarrow R^-}{\longrightarrow} \sum_{n=0}^{+\infty}a_nR^n \text{ cv}}\]


\vspace{0.5cm}

\section*{Dériver / Intégrer}

    \subsection*{Dériver}
    \textbf{On peut dériver terme à terme une série entière sans changer le rayon de convergence}
    \[\boxed{\forall x \in ]-R, +R[, \sum_{n=1}^{+\infty}na_nx^{n-1} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\Bigg(\sum_{n=0}^{+\infty}a_nx^n \Bigg)}\]

    $\displaystyle x \mapsto \sum_{n=0}^{+\infty}a_nx^n$ est $\boxed{\mathcal{C}^\infty}$ sur $]-R, R[$ et $\forall n \in \mathbb{N}, \boxed{a_n = \frac{f^{(n)}(0)}{n!}}$

    \subsection*{Intégrer}
    \textbf{On peut intégrer terme à terme une série entière sans changer le rayon de convergence}
    \[\boxed{\forall x \in ]-R, +R[, \sum_{n=0}^{+\infty}\frac{a_n}{n+1}x^{n+1} = \int_{0}^x\Bigg(\sum_{n=0}^{+\infty}a_nt^n \Bigg)\mathrm{d}t}\]

\vspace{0.5cm}

\section*{Développements en série entière}
    $f$ est développable en série entière (de manière unique) sur $]-r, +r[$ si
    \[\boxed{\exists \sum a_nx^n \text{ de rayon de cv } R \geq r \text{ tq } \forall x \in ]-r, +r[, f(x)= \sum_{n=0}^{+\infty} a_nx^n}\]

    \begin{multicols}{2}
        \[\begin{array}{lcl} f \text{ est } DSE \implies f \text{ est } \mathcal{C}^\infty \\  f \text{ est } DSE \cancel{\impliedby} f \text{ est } \mathcal{C}^{\infty} \end{array}\]
        
        \[\boxed{\forall x \in ]-r, +r[, f(x) = \sum_{n=0}^{+\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n}\]
    \end{multicols}

    \[\boxed{f \text{ est } DSE \text{ sur } ]-r,+r[ \iff \begin{cases} f \text{ est } \mathcal{C}^{\infty} \text{ sur } ]-r,+r[\\ \forall x \in ]-r,+r[, f(x) - \displaystyle\sum_{n=0}^{N}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n \underset{N\rightarrow+\infty}{\longrightarrow}\end{cases}}\]

\vspace{0.5cm}

\section*{Produit de Cauchy et Somme}

On a deux séries entières $\sum a_nx^n$ et $\sum b_nx^n$ de rayon de convergence $R_a$ et $R_b$.\\

Soit $c_n = a_n + b_n$ et $R$ le rayon de cv de $\sum c_nx^n$.
\end{document}