\documentclass{article}
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\begin{document}
\setlength{\parindent}{0mm}

\title{Structures Algébriques}
\author{Aubin SIONVILLE}
\date{MPI Clemenceau - 2021-2023}
\maketitle

\centering

\section*{Ensembles et relations}

\subsection*{Applications}

\begin{multicols}{2}
    
    \[\begin{array}{ll}
        f \text{ est injective } & \iff f(x) \text{ a au maximum } 1 \text{ antécédent}\\ \\ \hline \\
        f \text{ est surjective } & \iff f(x) \text{ a au minimum } 1 \text{ antécédent}\\ \\ \hline \\
        f \text{ est bijective } & \iff f(x) \text{ a exactement } 1 \text{ antécédent}
    \end{array}\]
        
    \[\begin{array}{ll}
        \text{ Image directe : } & f(A) = \{f(a) \mid a \in A\}\\ \\ \hline \\
        \text{ Image réciproque : } & f^{-1}(B) = \{x \in E \mid f(x) \in B\}
    \end{array}\]
\end{multicols}

\subsection*{Relations binaires}
\textbf{Relation d'équivalence :} \\

    \vspace{0.3cm}

    \[\begin{array}{ll}
        \hline \\
        \text{Reflexivité : } & \forall x \in E, x \sim x\\ \\ \hline \\
        \text{Symétrie : } & \forall x, y \in E, x \sim y \implies y \sim x \\ \\ \hline \\
        \text{Transitivité : } & \forall x, y, z \in E, \begin{cases}x \sim y \\ y \sim z \end{cases} \implies x \sim z \\ \\ \hline \\
    \end{array}\]

\textbf{Relation d'ordre :} \\

    \vspace{0.3cm}

    \[\begin{array}{ll}
        \hline \\
        \text{Reflexivité : } & \forall x \in E, x \leq x\\ \\ \hline \\
        \text{Antisymétrie : } & \forall x, y \in E, \begin{cases}x \leq y \\ y \leq x \end{cases} \implies x = y \\ \\ \hline \\
        \text{Transitivité : } & \forall x, y, z \in E, \begin{cases}x \leq y \\ y \leq z \end{cases} \implies x \leq z \\ \\ \hline \\
    \end{array}\]



\section*{Groupes}

\subsection*{Définition}
    \[\boxed{(G, +) \text{ est un groupe si }
    \begin{cases} 
        + \text{ est associative} & \forall x, y, z \in G, (x + y) + z = x + (y + z) \\
        + \text{ a un neutre }e \in G & \forall x \in G, x + e = e + x = x \\
        \forall x \in G, x \text{ a un opposé dans } G & \exists y \in G \text{ tel que } x + y = y + x = e
    \end{cases}}\]

    On dit que c'est un groupe \textbf{commutatif} / \textbf{abélien} si $+$ est commutative.

\vspace{0.5cm}

\subsection*{Sous-groupe}
    \[\boxed{(H, +) \text{ est un sous-groupe de } (G, +) \text{ si }
    \begin{cases} 
        H \text{ est stable par } + & \forall x, y \in H, x + y \in H \\
        \text{Le neutre de } + \text{ est dans } H & e \in H \\
        \forall x \in H, x \text{ a un opposé dans } H & -x \in H
    \end{cases}}\]

\vspace{0.5cm}

\subsection*{Sous-goupe engendré}
    Soit $G$ un groupe et $A \subseteq G$.
    \[\boxed{\bigcap_{\underset{A \subseteq H}{H \text{ sous-g de } G}} H = \langle A \rangle}\]
    C'est le plus petit (par inclusion) sous-groupe de $G$ qui contient $A$.

\vspace{0.8cm}

\begin{multicols}{2}
    \subsection*{Groupe monogène}
        \[\boxed{(G, +) \text{ est un groupe monogène si } \exists a \in G, G = \langle a \rangle}\]
        (Engendré par un élément unique)

    \subsection*{Groupe produit}
    Avec $(G_1, +), (G_2, +)$ des groupes :    
    \[(G_1 \times G_2, +) \text{ le groupe produit}\]
\end{multicols}

\vspace{0.3cm}

\begin{multicols}{2}
    \subsection*{Morphismes de groupes}
        Soit $(G, \times)$ et $(H, *)$ deux groupes.\\
        $f: G \rightarrow H$ est un morphisme de groupes si :
        \[\boxed{\forall (x, y) \in G, f(x \times y) = f(x) * f(y)}\]

    \subsection*{Conjugaison}
        Soit $g \in G$.
        \[\boxed{\begin{array}{ccccc}c_g & : & G & \to & G \\ & & x & \mapsto & gxg^{-1}\end{array} \text{ est la conjugaison par }g}\]
\end{multicols}

\newpage



\section*{Anneaux}

\subsection*{Définition}
    \[\boxed{(A, +, \times) \text{ est un anneau si }
    \begin{cases}
        (A, +) \text{ est un groupe abélien de neutre } 0_A & \\
        (A, \times) \text{ est un monoïde} & \begin{cases}\times \text{ est associative}\\\times \text{ a un neutre } 1_A \in A \end{cases} \\
        + \text{ et } \times \text{ sont distributives à gauche et à droite} & \forall x, y, z \in A, \begin{cases}x(y + z) = xy + xz\\(y + z)x = yx + zx\end{cases} \\
    \end{cases}}\]
    On dit que $0_A$ est \textbf{absorbant}.

\vspace{0.5cm}

\subsection*{Sous-anneau}
    \[\boxed{(B, +, \times) \text{ est un sous-anneau de } (A, +, \times) \text{ si }
    \begin{cases}
        (B, +) \text{ est un sous-groupe de } (A, +) & \\
        B \text{ est stable par } \times & \forall x, y \in B, x\times y \in B \\
        \text{Le neutre de } \times \text{ est dans } B & 1_B \in B \\
    \end{cases}}\]

\vspace{0.5cm}

\subsection*{Commutativité}
    Avec $(A, +, \times)$ un anneau, si $(a,b) \in A^2$ commutent,
    \begin{multicols}{2}
        \[\boxed{(a+b)^b = \sum_k=0^n \binom{n}{k}a^k b^{n-k}}\]
        
        \[\boxed{(a-b)^n = (a-b)\sum_{k=0}^{n-1} \binom{n}{k}a^k b^{n-1-k}}\]
    \end{multicols}
    On peut faire de l'arithmétique dans les anneaux (Attention aux anneaux non commutatifs)

\vspace{0.5cm}

    \begin{multicols}{2}
        \subsection*{Anneau intègre}
        $(A,+,\times)$ est un anneau intègre si
        \[\boxed{\forall (a,b) \in A^2, (a \times b = 0_A \iff a = 0_A \text{ ou } b = 0_A)}\]

        \subsection*{Anneau nul}
        $(A,+,\times)$ est nul $(A = \{0_A\})$ si
        \[\boxed{1_A = 0_A}\]
    \end{multicols}

\vspace{0.5cm}

\subsection*{Morphismes d'anneaux}
    Soit $(A, +, \times)$ et $(B, \oplus, \cdot)$ deux anneaux.\\
    $f: A \rightarrow B$ est un morphisme d'anneaux si :
    \[\boxed{\begin{cases}
        \forall (a,b) \in A^2, f(a + b) = f(a) \oplus f(b) \\
        \forall (a,b) \in A^2, f(a \times b) = f(a) \cdot f(b) \\
        f(1_A) = 1_B
    \end{cases}}\]

\newpage


\section*{Corps}

\subsection*{Définition}
    \[\boxed{(\mathbb{K}, +, \times) \text{ est un corps si }
    \begin{cases}
        (\mathbb{K}, +) \text{ est un groupe abélien} & \\
        (\mathbb{K}, \times) \text{ est un monoïde commutatif} & \\
        \times \text{ a un neutre } 1_\mathbb{K} \in \mathbb{K} & \\
        0_\mathbb{K} \neq 1_\mathbb{K} & \\
    \end{cases}}\]

\vspace{0.5cm}

\subsection*{Sous-corps}
    \[\boxed{(\mathbb{L}, +, \times) \text{ est un sous-corps de } (\mathbb{K}, +, \times) \text{ si }
    \begin{cases}
        & \forall (x,y \in \mathbb{L}, x-y \in \mathbb{L}) \\
        & \forall (x,y \in \mathbb{L}, x \times y^{-1} \in \mathbb{L}) \\
    \end{cases}}\]

\vspace{0.5cm}

\begin{multicols}{2}
    \subsection*{$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$}
        \[\boxed{(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}, +, \times) \text{ est un corps } \iff n \text{ est premier}}\]

    \subsection*{Nombre de zéros}
    Avec $\mathbb{K}$ un corps et $P$ un polynôme de degré $n$, $P(x) = 0_{\mathbb{K}}$ a au plus $n$ solutions dans $\mathbb{K}$.
\end{multicols}

\vspace{0.5cm}

\subsection*{Morphismes de corps}
    Soit $(\mathbb{K}_1, +, \times)$ et $(\mathbb{K}_2, \oplus, \cdot)$ deux corps.\\
    $f: \mathbb{K}_1 \rightarrow \mathbb{K}_2$ est un morphisme de corps si :
    \[\boxed{\begin{cases}
        \forall (a,b) \in \mathbb{K}_1^2, f(a + b) = f(a) \oplus f(b) \\
        \forall (a,b) \in \mathbb{K}_1^2, f(a \times b) = f(a) \cdot f(b) \\
    \end{cases}}\]
\end{document}