\documentclass{article}
\usepackage{amssymb, amsmath, geometry, multicol}

\geometry{tmargin=.7in, bmargin=.75in, lmargin=.75in, rmargin = .75in}

\newenvironment{rcases}
    {\left.\begin{aligned}}
    {\end{aligned}\right\rbrace}

\begin{document}
\setlength{\parindent}{0mm}
\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\title{Séries de Vecteurs - Exponentielle de Matrices}
\author{Aubin SIONVILLE}
\date{MPI Clemenceau - 2021-2023}
\maketitle

\centering

\subsection*{Définition}
\[\boxed{\forall A \in \mathcal{M}_nn(\mathbb{K}), \exp(A) = \mathrm{e}^A = \sum_{k=0}^\infty \frac{A^k}{k!}}\]
La série entière $\displaystyle \sum \frac{1}{n!}z^n$ a pour rayon de convergence $+\infty$ donc cette série de matrice converge pour toute matrice

\renewcommand{\arraystretch}{1.8}
\subsection*{Propriétés}
\[\boxed{\begin{array}{rcl}
    \exp(0_{\mathcal{M}_{nn}(\mathbb{K})}) & = & I_n\\
    \exp(P^{-1}AP) & = & P^{-1}\exp(A)P\\
    \exp(A^T) & = & (\exp{A})^T\\
    \exp\begin{pmatrix}
        \lambda_1 & & \\
        & \ddots & \\
        & & \lambda_n
    \end{pmatrix} & = & \begin{pmatrix}
        \mathrm{e}^{\lambda_1} & & \\
        & \ddots & \\
        & & \mathrm{e}^{\lambda_n}
    \end{pmatrix}\\
    \exp\begin{pmatrix}
        0 & -\theta \\
        \theta & 0
    \end{pmatrix} & = & \begin{pmatrix}
        \cos\theta & -\sin\theta \\
        \sin\theta & \cos\theta
    \end{pmatrix}\\
    \text{Si } A \text{ et } B \text{ commutent,} & \text{ alors } & B\mathrm{e}^A = \mathrm{e}^A B\\
    \text{Si } A \text{ et } B \text{ commutent,} & \text{ alors } & \mathrm{e}^{A+B} = \mathrm{e}^A \mathrm{e}^B\\
    \text{La matrice } \mathrm{e}^A \text{ est inversible } & \text{ et } & \big(\mathrm{e}^A\big)^{-1} = \mathrm{e}^{-A}\\
    \text{La fonction } t\mapsto \mathrm{e}^{At} \text{ est dérivable} & \text{ et } & \displaystyle\frac{d}{dt}\mathrm{e}^{At} = A\mathrm{e}^{At}\\
    \displaystyle \mathrm{Sp}(\mathrm{e}^A) & = & \{\mathrm{e}^\lambda | \lambda \in \mathrm{Sp}(A) \}\\
    \displaystyle \mathrm{det}(\mathrm{e}^A) & = & \mathrm{e}^{\mathrm{tr}(A)}
\end{array}}\]


\subsection*{Injectivité, surjectivité}

\begin{multicols}{2}

    \[\boxed{\begin{array}{c}
        A \mapsto \mathrm{e}^A \text{ n'est \underline{pas injective}}: \\
        \exp\begin{pmatrix}
            0 & -\theta \\
            \theta & 0
        \end{pmatrix}
        =
        \exp\begin{pmatrix}
            0 & -(\theta + 2\pi)  \\
            \theta + 2\pi & 0
        \end{pmatrix}
        =
        \begin{pmatrix}
            \cos\theta & -\sin\theta \\
            \sin\theta & \cos\theta
        \end{pmatrix}
    \end{array}}\]

    \[\boxed{\begin{array}{c}
        A \mapsto \mathrm{e}^A \text{ n'est \underline{pas surjective}}: \\
        \forall A \in \mathcal{M}_{nn}(\mathbb{K}), \\
        \mathrm{e}^A \in Gl_n(\mathbb{K}) \subsetneq \mathcal{M}_{nn}(\mathbb{K})
    \end{array}}\]

\end{multicols}
\end{document}
