\documentclass{article}
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\geometry{tmargin=.7in, bmargin=.75in, lmargin=.75in, rmargin = .75in}

\begin{document}
\setlength{\parindent}{0mm}

\title{Suites et Séries de Fonctions}
\author{Aubin SIONVILLE}
\date{MPI Clemenceau - 2021-2023}
\maketitle

\centering

\section*{Suites de fonctions}
\subsection*{Types de convergence}
\paragraph*{Convergence simple}
\[\boxed{(f_n) \text{ cvs vers } f \text{ sur } I \iff \forall t \in I, |f_n(x)-f(x)| \underset{n \longrightarrow \infty}{\longrightarrow} 0}\]
\paragraph*{Convergence uniforme}
\[\boxed{(f_n) \text{ cvu vers } f \text{ sur } I \iff \sup_{x \in I} |f_n(x)-f(x)| \underset{n \longrightarrow \infty}{\longrightarrow} 0}\]

\subsection*{Continuité}
    \[\boxed{
        \begin{cases}
            \forall n, f_n \text{ \boxed{continue} sur } I \\
            (f_n) \text{ cvu vers } f \text{ sur } I
        \end{cases}
        \implies f \text{ continue sur } I
    }\]

\subsection*{Interversion des limites}
    \[\boxed{
        \begin{cases}
            (f_n) \text{ cvu vers } f \text{ sur } I=[a,b[ \\
            \forall n,f_n \longrightarrow l_n \text{ en } b\\
        \end{cases}
        \implies
        \begin{cases}
            f \text{ admet une limite en } b\\
            \lim_{x \to b} f(x) = \lim_{n \to \infty} l_n
        \end{cases}
    }\]

\subsection*{Dérivation}
    \[\boxed{
        \begin{cases}
        \forall n, f_n \text{ est } \mathcal{C}^1 \text{ sur } I\\
        (f'_n) \text{ cvs vers } f \text{ sur } I \\
        (f'_n) \text{ cvu vers } g \text{ sur } I
        \end{cases}
        \implies
        \begin{cases}
            f \text{ est } \mathcal{C}^1 \text{ sur } I\\
            f' = g
        \end{cases}
    }\]

\subsection*{Dérivations successives}
    \[\boxed{
        \begin{cases}
            \forall n, f_n \text{ est } \mathcal{C}^k \text{ sur } I\\
            \forall j < k, (f^{(j)}_n) \text{ cvs vers } g_j \text{ sur } I\\
            (f^{(k)}_n) \text{ cvu vers } g \text{ sur } I
        \end{cases}
        \implies
        \begin{cases}
            f \text{ est } \mathcal{C}^k \text{ sur } I\\
            f^{(j)} = g_j \text{ pour } j < k\\
            f^{(k)} = g
        \end{cases}
    }\]

\subsection*{Intégration}
    \[\boxed{
        \begin{cases}
            \forall n, f_n \text{ est continue sur } I=[a,b]\\
            (f_n) \text{ cvu vers } f \text{ sur } I\\
        \end{cases}
        \implies
        \lim_{n \to \infty} \int_a^b f_n(t) dt = \int_a^b f(t) dt
    }\]


\newpage


\section*{Séries de fonctions}
\subsection*{Types de convergence}
On a $\displaystyle\forall n \in \mathbb{N}, S_n :x\mapsto \sum_{k=1}^n f_k(x)$
\paragraph*{Convergence simple}
    \[\boxed{
        \begin{split}
        \sum f_n \text{ cvs vers } S \text{ sur } I &\iff \forall x \in I,\sum S(x) \text{ converge } \\
        &\iff \forall x \in I, |S_n(x) - S(x)| \underset{n\longrightarrow\infty}{\longrightarrow}0
        \end{split}
    }\]
\paragraph*{Convergence uniforme}
    \[\boxed{
        \begin{split}
        \sum f_n \text{ cvu vers } S \text{ sur } I &\iff (S_n) \text{ cvu vers } S \text{ sur } I \\
        &\iff \sup_{x \in I} |S_n(x)-S(x)| \underset{n \longrightarrow \infty}{\longrightarrow} 0
        \end{split}
    }\]
\paragraph*{Convergence normale}
    \[\boxed{
        \sum f_n \text{ cvn vers } S \text{ sur } I \iff \exists (u_n) \text{ telle que }
        \begin {cases}
        \forall n \in \mathbb{N}, \forall x \in I, |f_n(x)| \leq u_n\\
        \sum u_n \text{ converge }  
    \end{cases}
    }\]

\subsection*{Continuité}
    \[\boxed{
        \begin{cases}
            \forall n, f_n \text{ \boxed{continue} sur } I \\
            \sum f_n\text{ cvu vers } S \text{ sur } I
        \end{cases}
        \implies S \text{ continue sur } I
    }\]

\subsection*{Interversion des limites}
    \[\boxed{
        \begin{cases}
            \sum f_n\text{ cvu vers } S \text{ sur } I=[a,b[ \\
            \forall n,f_n \longrightarrow l_n \text{ en } b\\
        \end{cases}
        \implies
        \begin{cases}
            \sum l_n \text{ converge }\\
            S \text{ admet une limite en } b\\
            \lim_{x \to b} S(x) = \lim_{N \to \infty} \overset{N}{\underset{n=1}{\sum}} l_n
        \end{cases}
    }\]


\subsection*{Dérivation}
    \[\boxed{
        \begin{cases}
        \forall n, f_n \text{ est } \mathcal{C}^1 \text{ sur } I\\
        \sum f_n\text{ cvs vers } S \text{ sur } I \\
        \sum f'_n\text{ cvu vers } g \text{ sur } I
        \end{cases}
        \implies
        \begin{cases}
            S \text{ est } \mathcal{C}^1 \text{ sur } I\\
            S' = g
        \end{cases}
    }\]

\subsection*{Dérivations successives}
    \[\boxed{
        \begin{cases}
            \forall n, f_n \text{ est } \mathcal{C}^k \text{ sur } I\\
            \forall j < k, \sum f^{(j)}_n\text{ cvs vers } S_j \text{ sur } I\\
            \sum f^{(k)}_n\text{ cvu vers } S_k \text{ sur } I
        \end{cases}
        \implies
        \begin{cases}
            S:x\mapsto\sum f_n(x) \text{ est } \mathcal{C}^k \text{ sur } I\\
            S^{(i)} = S_i \text{ pour } j \leq k\\
        \end{cases}
    }\]

\subsection*{Intégration}
    \[\boxed{
        \begin{cases}
            \forall n, f_n \text{ est continue sur } I=[a,b]\\
            \sum f_n\text{ cvu vers } S \text{ sur } I\\
        \end{cases}
        \implies
        \int_a^b S(t) dt = \lim_{N \to \infty} \overset{N}{\underset{n=1}{\sum}} \int_a^b f_n(t) dt
    }\]

\end{document}
