\documentclass{article}
\usepackage{amssymb, amsmath, geometry, multicol, stmaryrd, cancel}

\geometry{tmargin=.75in, bmargin=.75in, lmargin=.75in, rmargin = .75in}

\begin{document}
\setlength{\parindent}{0mm}

\title{Intégrales et Primitives}
\author{Aubin SIONVILLE}
\date{MPI Clemenceau - 2021-2023}
\maketitle

\centering

\section*{Théorèmes d'intégration}

\subsection*{Croissance de l'intégrale}
    \begin{multicols}{2}
        Hypothèses : 
        \[\begin{array}{c} f \text{ et } g \text{ continues sur } I\\ \forall x \in I, f(x) \leq g(x) \\ (a,b) \in I^2, a \leq b \end{array}\]
        
        \[\boxed{\int_a^b f(x)\mathrm{d}x \leq \int_a^b g(x)\mathrm{d}x} \]
    \end{multicols}

\vspace*{0.5cm}

\subsection*{Linéarité de l'intégrale}
    \begin{multicols}{2}
        Hypothèses : 
        \[\begin{array}{c} f \text{ et } g \text{ continues sur } I\\ (a,b) \in I^2, (\alpha,\beta) \in \mathbb{R}^2 \end{array}\]

        \[\boxed{\int_a^b \alpha f(x) + \beta g(x)\mathrm{d}x = \alpha \int_a^b f(x)\mathrm{d}x + \beta \int_a^b g(x)\mathrm{d}x} \]
    \end{multicols}

\vspace{1cm}

\section*{Inégalités}

\subsection*{Inégalité triangulaire}
    \begin{multicols}{2}
        Hypothèses : 
        \[\begin{array}{c} f \text{ est continue sur } I\\ (a,b) \in I^2, a \leq b \end{array}\]

        \[\boxed{\Bigg| \int_a^b f(x)\mathrm{d}x \Bigg| \leq \int_a^b \big| f(x) \big|\mathrm{d}x} \]
    \end{multicols}

\vspace*{0.5cm}

\subsection*{Inégalité de Cauchy-Schwarz}
    \begin{multicols}{2}
        Hypothèses : 
        \[\begin{array}{c} f \text{ et } g \text{ sont continues sur } I\\ (a,b) \in I^2, a \leq b \end{array}\]

        \[\boxed{\Bigg( \int_a^b f(x)g(x)\mathrm{d}x \Bigg)^2 \leq \int_a^b f(x)^2\mathrm{d}x \int_a^b g(x)^2\mathrm{d}x} \]
    \end{multicols}

\newpage

\section*{Manoeuvres}

\subsection*{Intégration par parties}
    \begin{multicols}{2}
        Hypothèses : 
        \[\begin{array}{c} f \text{ et } g \mathcal{C}^1 \text{ sur } I\\ (a,b) \in I^2, a \leq b \end{array}\]

        \[\boxed{\int_a^b u'(t) v(t)\mathrm{d}t = \bigg[u(t) v(t)\bigg]_a^b - \int_a^b u(t) v'(t)\mathrm{d}t} \]
    \end{multicols}

\vspace*{0.5cm}

\subsection*{Changement de variable}
    \begin{multicols}{2}
        Hypothèses : 
        \[\begin{array}{c} f \text{ continue sur } I \\ \varphi : J \to I \mathcal{C}^1 \\ (a,b) \in I^2, a \leq b \\ (\alpha,\beta) \in J^2, a = \varphi(\alpha), b = \varphi(\beta) \end{array}\]

        \[\boxed{\int_\alpha^\beta \varphi'(t) f(\varphi(t))\mathrm{d}t = \int_a^b f(u)\mathrm{d}u} \]
    \end{multicols}

    \[\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t} = \varphi'(t) \text{ donc } \mathrm{d}u = \varphi'(t) \mathrm{d}t \]

\vspace*{0.5cm}

\subsection*{Règles de Bioche}
    Hypothèses : $f$ est composée de fractions, $\sin, \cos, \tan$... (fonctions "simples")

        \[\boxed{f(u) \neq 0 \text{ et } \mathrm(d)(-u) = \mathrm{d}u \implies \begin{array}{c}t = \cos(u) \\ \mathrm{d}t = -\sin(u)\mathrm{d}u \end{array}}\]

        \[\boxed{f(\pi-u) \neq 0 \text{ et } \mathrm(d)(\pi-u) = \mathrm{d}u \implies \begin{array}{c}t = \sin(u) \\ \mathrm{d}t = \cos(u)\mathrm{d}u \end{array}}\]

        \[\boxed{f(\pi+u) \neq 0 \text{ et } \mathrm(d)(\pi+u) = \mathrm{d}u \implies \begin{array}{c}t = \tan(u) \\ \mathrm{d}t = \frac{\mathrm{d}u}{1+u^2} \end{array}}\]
        
\end{document}