\documentclass{article}
\usepackage{amssymb, amsmath, geometry, multicol, cancel}
\usepackage[table, svgnames, dvipsnames]{xcolor}
\usepackage{makecell, cellspace, caption}
\usepackage[europeanresistors]{circuitikz}
\usepackage[a]{esvect} % voir la doc pour les différents styles
\usepackage{esint}
\let\overrightarrow\vv
\newcommand{\grad}{\overrightarrow{\mathrm{grad}}}
\newcommand{\rot}{\overrightarrow{\mathrm{rot}}}


\usetikzlibrary{arrows}
\usetikzlibrary{shapes.geometric}

\newcommand{\parspace}{\vspace{0.1cm}}
\linespread{1.25}
\geometry{tmargin=.7in, bmargin=.75in, lmargin=.75in, rmargin = .75in}

\begin{document}
\setlength{\parindent}{0mm}

\title{Électrostatique}
\author{Aubin SIONVILLE}
\date{MPI Clemenceau - 2021-2023}
\maketitle

\centering

\section*{Champ électrique}

\begin{multicols}{2}
    \subsection*{Loi de Coulomb}
    \[\boxed{\overrightarrow{F_{el}} = \frac{q_1q_2}{4\pi\varepsilon_0r^2}\overrightarrow{e_r}}\]

    \subsection*{Permittivité diéléctrique du vide}
    \[\boxed{\varepsilon_0 = 8,85.10^{-12}\,\mathrm{F.m}^{-1}}\]
\end{multicols}

\begin{multicols}{2}
    \subsection*{Champ d'une charge ponctuelle}
    \[\boxed{\overrightarrow{E} = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0OM^3}\overrightarrow{OM}}\]

    \subsection*{Champ d'une distribution de charges}
    \[\boxed{\overrightarrow{E} = \sum_i \frac{q_i}{4\pi\varepsilon_0r_i^3}\overrightarrow{r_i}}\]
\end{multicols}

\vspace*{0.3cm}

\begin{multicols}{2}
    \subsection*{Champ créé par un fil}
    \[\boxed{\overrightarrow{E}(M) = \int_l \frac{\sigma(P)\mathrm{d}\ell}{4\pi\varepsilon_0PM^3}\overrightarrow{PM}}\]
    
    \subsection*{Champ créé par une surface}
    \[\boxed{\overrightarrow{E}(M) = \iint_S \frac{\sigma(P)\mathrm{d}S}{4\pi\varepsilon_0PM^3}\overrightarrow{PM}}\]

    \subsection*{Champ créé par un volume}
    \[\boxed{\overrightarrow{E}(M) = \iint_V \frac{\rho(P)\mathrm{d}\tau}{4\pi\varepsilon_0PM^3}\overrightarrow{PM}}\]

    \subsection*{Densité linéique de charges}
    \[\boxed{Q = \int_l \lambda(P)\mathrm{d}\ell}\]

    \subsection*{Densité surfacique de charges}
    \[\boxed{Q = \iint_S \sigma(P)\mathrm{d}S}\]

    \subsection*{Densité volumique de charges}
    \[\boxed{Q = \iint_V \rho(P)\mathrm{d}\tau}\]

\end{multicols}

\vspace*{0.3cm}

\[\boxed{\text{Un plan de symétrie des charges est un plan de symétrie du champ électrique}}\]
\[\boxed{\text{Un plan d'antisymétrie des charges est un plan d'antisymétrie du champ électrique}}\]

\vspace*{0.3cm}

\subsection*{Méthode : calculer le champ créé par un objet}
    \begin{itemize}
        \item \textbf{1.} Trouver les plans de symétrie et d'antisymétrie des charges
        \item \textbf{2.} Trouver les invariants de la distribution de charges
        \item \textbf{3.} Calculer le flux en utilisant le théorème de Gauss
        \item \textbf{4.} En se plaçant dans puis hors de l'objet, calculer le champ créé par l'objet
    \end{itemize}

\section*{Potentiel électrostatique}
\begin{multicols}{2}
    \subsection*{Potentiel d'une charge ponctuelle}
    \[\boxed{V(M) = \frac{q_0}{4\pi\varepsilon_0OM}+\mathrm{Cst}}\]

    \subsection*{Potentiel d'une distribution de charges}
    \[\boxed{V(M) = \sum_i \frac{Q_i}{4\pi\varepsilon_0P_iM}}\]
    
    \subsection*{Energie potentielle d'une charge ponctuelle}
    \[\boxed{\mathcal{E}_{el}(M) = qV(M)}\]

    \subsection*{Champ et potentiel électrostatique}
    \[\boxed{\overrightarrow{E} = -\grad V}\]
\end{multicols}

\vspace*{0.3cm}

\section*{Condensateur}
\[\boxed{C = \frac{Q_1}{V_1-V_2} = \frac{Q_2}{V_2-V_1}}\]

\begin{multicols}{2}
    \subsection*{Capacité condensateur plan}
    \[\boxed{C=\frac{\varepsilon_0 S}{e}}\]

    \subsection*{Champ créé par un condensateur plan}
    Nul entre les armatures\\
    Somme des deux champs créés par les plaques en dehors
\end{multicols}

\vspace*{0.3cm}

\section*{Formules importantes}

\begin{multicols}{3}
    \subsection*{Théorème de Gauss}
    \[\boxed{\oiint_{S} \overrightarrow{E}(M)\cdot\mathrm{d}\overrightarrow{S} = \frac{Q_{int}}{\varepsilon_0}}\]
    
    \subsection*{Equation de Maxwell-Gauss}
    \[\boxed{\mathrm{div}\overrightarrow{E}(M) = \frac{\rho(M)}{\varepsilon_0}}\]

    \subsection*{Equation de Maxwell-Faraday en régime stationnaire}
    \[\boxed{\rot\overrightarrow{E} = \overrightarrow{0}}\]
\end{multicols}

\begin{multicols}{2}
    \subsection*{Equation de Poisson}
    \[\boxed{\mathrm{div}\overrightarrow{E}(M) = -\frac{\rho(M)}{\varepsilon_0}}\]

    \subsection*{Equation de Laplace (dans le vide)}
    \[\boxed{\Delta V(M) = 0}\]

\end{multicols}

\newpage

\section*{Dipôle électrostatique}

Dipôle électrostatique : 2 charges $N: -q$ et $P : +q$ séparées par une distance $a$.

\subsection*{Moment dipolaire}
\[\boxed{\overrightarrow{p} = q\overrightarrow{NP}}\]

\begin{multicols}{2}
    \subsection*{Potentiel créé par un dipôle}
    \[\boxed{V(M) = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0}\bigg(\frac{1}{PM}-\frac{1}{NM}\bigg)}\]

    \subsection*{Potentiel dans l'approximation dipolaire}
    $\theta$ : angle $NOM$, $r$ : distance $OM$\\
    \[\boxed{V(M) = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0}\frac{a\cos\theta}{r^2} = \frac{\overrightarrow{p}\cdot\overrightarrow{r}}{4\pi\varepsilon_0r^3}}\]
\end{multicols}

\subsection*{Champ créé par un dipôle}
\[\boxed{\overrightarrow{E}(M) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0 r^3}\big[r(\overrightarrow{p}\cdot\overrightarrow{e_r})\overrightarrow{e_r} - \overrightarrow{p}\big] = \frac{2p\cos\theta}{4\pi\varepsilon_0r^3}\overrightarrow{e_r} + \frac{p\sin\theta}{4\pi\varepsilon_0r^3}\overrightarrow{e_\theta}}\]

\vspace*{0.5cm}

\section*{Dipôle électrostatique dans un champ uniforme}
\begin{multicols}{2}
    Un dipôle électrostatique plongé dans un champ uniforme est soumis à un couple qui le fait s'aligner avec le champ :
    \[\boxed{\overrightarrow{M_O} = \overrightarrow{p}\wedge\overrightarrow{E_\mathrm{ext}}}\]
    
    Un dipôle électrostatique plongé dans un champ uniforme a une énergie potentielle électrostatique :
    \[\boxed{\mathcal{E}_{p,el} = -\overrightarrow{p}\cdot\overrightarrow{E_\mathrm{ext}}}\]
\end{multicols}

\vspace*{0.3cm}

\section*{Dipôle électrostatique dans un champ non uniforme}
\begin{multicols}{2}
    Ordre 1 : Moment qui fait s'aligner le dipôle avec le champ :
    \[\boxed{\overrightarrow{M_O} = \overrightarrow{p}\wedge\overrightarrow{E_\mathrm{ext}}}\]
    
    Ordre 2 : Force qui le fait aller vers les zones de champ fort :
    \[\boxed{\overrightarrow{F} = (\overrightarrow{p}\cdot\grad)\overrightarrow{E_\mathrm{ext}}}\]
\end{multicols}

\end{document}