\documentclass{article}
\usepackage{amssymb, amsmath, geometry, multicol, stmaryrd, cancel}

\geometry{tmargin=.75in, bmargin=.75in, lmargin=.3in, rmargin = .3in}

\begin{document}
\setlength{\parindent}{0mm}

\title{Intégrales et Primitives}
\author{Aubin SIONVILLE}
\date{MPI Clemenceau - 2021-2023}
\maketitle

\centering

\section*{Théorèmes d'intégration}

\subsection*{Croissance de l'intégrale}
    \begin{multicols}{2}
        Hypothèses : 
        \[\begin{array}{c} f \text{ et } g \text{ continues sur } I\\ \forall x \in I, f(x) \leq g(x) \\ (a,b) \in I^2, a \leq b \end{array}\]
        
        \[\boxed{\int_a^b f(x)\mathrm{d}x \leq \int_a^b g(x)\mathrm{d}x} \]
    \end{multicols}

\vspace*{0.5cm}

\subsection*{Linéarité de l'intégrale}
    \begin{multicols}{2}
        Hypothèses : 
        \[\begin{array}{c} f \text{ et } g \text{ continues sur } I\\ (a,b) \in I^2, (\alpha,\beta) \in \mathbb{R}^2 \end{array}\]

        \[\boxed{\int_a^b \alpha f(x) + \beta g(x)\mathrm{d}x = \alpha \int_a^b f(x)\mathrm{d}x + \beta \int_a^b g(x)\mathrm{d}x} \]
    \end{multicols}

\vspace{1cm}

\section*{Inégalités}

\subsection*{Inégalité triangulaire}
    \begin{multicols}{2}
        Hypothèses : 
        \[\begin{array}{c} f \text{ est continue sur } I\\ (a,b) \in I^2, a \leq b \end{array}\]

        \[\boxed{\Bigg| \int_a^b f(x)\mathrm{d}x \Bigg| \leq \int_a^b \big| f(x) \big|\mathrm{d}x} \]
    \end{multicols}

\vspace*{0.5cm}

\subsection*{Inégalité de Cauchy-Schwarz}
    \begin{multicols}{2}
        Hypothèses : 
        \[\begin{array}{c} f \text{ et } g \text{ sont continues sur } I\\ (a,b) \in I^2, a \leq b \end{array}\]

        \[\boxed{\Bigg( \int_a^b f(x)g(x)\mathrm{d}x \Bigg)^2 \leq \int_a^b f(x)^2\mathrm{d}x \int_a^b g(x)^2\mathrm{d}x} \]
    \end{multicols}

\newpage

\section*{Manœuvres}

\subsection*{Intégration par parties}
    \begin{multicols}{2}
        Hypothèses : 
        \[\begin{array}{c} f \text{ et } g \text{ sont } \mathcal{C}^1 \text{ sur } I\\ (a,b) \in I^2, a \leq b \end{array}\]

        \[\boxed{\int_a^b u'(t) v(t)\mathrm{d}t = \bigg[u(t) v(t)\bigg]_a^b - \int_a^b u(t) v'(t)\mathrm{d}t} \]
    \end{multicols}

\vspace*{0.5cm}

\subsection*{Changement de variable}
    \begin{multicols}{2}
        Hypothèses : 
        \[\begin{array}{c} f \text{ continue sur } I \\ \varphi : J \to I \text{ sont } \mathcal{C}^1 \\ (a,b) \in I^2, a \leq b \\ (\alpha,\beta) \in J^2, a = \varphi(\alpha), b = \varphi(\beta) \end{array}\]

        \[\boxed{\int_\alpha^\beta \varphi'(t) f(\varphi(t))\mathrm{d}t = \int_a^b f(u)\mathrm{d}u} \]
    \end{multicols}

    \[\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t} = \varphi'(t) \text{ donc } \mathrm{d}u = \varphi'(t) \mathrm{d}t \]

\vspace*{0.5cm}

\subsection*{Règles de Bioche}
    Hypothèses : $f$ est composée de fractions, $\sin, \cos, \tan$... (fonctions ``simples")

        \[\boxed{f(u) \neq 0 \text{ et } \mathrm{d}(-u) = \mathrm{d}u \implies \begin{array}{c}t = \cos(u) \\ \mathrm{d}t = -\sin(u)\mathrm{d}u \end{array}}\]

        \[\boxed{f(\pi-u) \neq 0 \text{ et } \mathrm{d}(\pi-u) = \mathrm{d}u \implies \begin{array}{c}t = \sin(u) \\ \mathrm{d}t = \cos(u)\mathrm{d}u \end{array}}\]

        \[\boxed{f(\pi+u) \neq 0 \text{ et } \mathrm{d}(\pi+u) = \mathrm{d}u \implies \begin{array}{c}t = \tan(u) \\ \mathrm{d}t = \frac{\mathrm{d}u}{1+u^2} \end{array}}\]



\newpage

\section*{Intégrales impropres}

\subsection*{Convergence ou divergence}
\[\boxed{\forall x \in [a,b[, F(x) = \int_{[a,b[} f\quad \text{ Alors } I=\int_{[a,b[} f \text{ converge en } b \iff \lim_{x \to b^-} F(x) \text{ existe et est finie}}\]

\vspace*{0.5cm}

\subsection*{Intégrales courantes}
\begin{multicols}{2}
    \[\boxed{\int_0^1 \ln(t)\mathrm{d}t \text{ converge en } 0}\]

    \[\boxed{\int_0^{+\infty} e^{Kt}\mathrm{d}t \text{ converge en } +\infty \iff K < 0}\]
\end{multicols}

\vspace*{0.5cm}

\subsection*{Critère de Riemann}
\begin{multicols}{3}
    \[\boxed{\int_a^{+\infty} \frac{1}{t^\alpha} \mathrm{d}t \text{ converge } \iff \alpha > 1}\]

    \[\boxed{\int_0^{+\infty} \frac{1}{t^\alpha} \mathrm{d}t \text{ diverge } \forall \alpha}\]

    \[\boxed{\int_0^b \frac{1}{t^\alpha} \mathrm{d}t \text{ diverge } \iff \alpha < 1}\]
\end{multicols}

\vspace*{0.5cm}

\subsection*{Intégrale faussement impropre}

\[\boxed{\text{Si } f \text{ est continue sur } ]a,b] \text{ et a une limite finie en } a^+, \int_a^b f \text{ converge en } a}\]

\vspace*{0.5cm}

\subsection*{Convergence par majoration}
\[\boxed{\text{Si }f \text{ est } \underline{cpm} \text{ et \underline{positive} sur } [a,b[, \int_{[a,b[} f \text{ converge } \iff F : x \mapsto \int_a^x f(t)\mathrm{d}t \text{ est majorée}}\] 

\vspace*{0.5cm}

\begin{multicols}{2}
\subsection*{Comparaison des fonctions}
\underline{Ne pas comparer les intégrales, comparer les fonctions}
\[\boxed{\begin{array}{l}
    \text{Si } f \text{ et } g \text{ sont } \underline{cpm} \text{ sur } [a,b[ \text{ et } \forall t \in [a,b[, f(t) \leq g(t),\\
    \displaystyle\int_{[a,b[} g \text{ converge } \implies \int_{[a,b[} f \text{ converge et } \int_{[a,b[} f \leq \int_{[a,b[} g\\
    \displaystyle\int_{[a,b[} f \text{ diverge } \implies \int_{[a,b[} g \text{ diverge}
\end{array}}\]

\subsection*{Comparaison des $\sim$, $o$ et $O$}
\underline{Ne pas comparer les intégrales, comparer les fonctions}
\[\boxed{\begin{array}{l}
    \text{Si } f \text{ et } g \text{ sont } \underline{cpm} \text{ sur } [a,b[ \text{ et } g \text{ est \underline{positive}},\\
    f = O(g) \implies \begin{cases}
        \displaystyle\int_{[a,b[} g \text{ converge } \implies \int_{[a,b[} f \text{ converge}\\
        \displaystyle\int_{[a,b[} f \text{ diverge } \implies \int_{[a,b[} g \text{ diverge}
    \end{cases}\\
    f = o(g) \ \implies \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\text{Idem}\\
    f = \sim (g) \implies \displaystyle\int_{[a,b[} f \text{ converge } \iff \int_{[a,b[} g \text{ converge}
\end{array}}\]
\end{multicols}

\subsection*{Comparaison et convergence absolue}
\underline{Ne pas comparer les intégrales, comparer les fonctions}
\[\boxed{\begin{array}{l}
    \text{Si } f \text{ et } g \text{ sont } \underline{cpm} \text{ sur } [a,b[ \text{ et } g \text{ est \underline{positive}},\\
    f = O(g) \text{ et } \int_{[a,b[} g \text{ converge } \implies \int_{[a,b[} f \text{ converge absolument et } \int_{[x,b[} f = O\bigg(\int_{[x,b[} g\bigg)\\
    f = O(g) \text{ et } \int_{[a,b[} g \text{ diverge } \implies \int_{[a,x[} f = O\bigg(\int_{[a,x[} g\bigg)\\
    \text{Idem pour } f = o(g) \text{ et } f = \sim (g)\\
    \text{Idem pour d'autres formes d'intervalles}
\end{array}}\]

\vspace*{0.5cm}

\begin{multicols}{2}
    \subsection*{Convergence absolue}
    \[\boxed{\begin{array}{l}
        \text{Si } f \text{ est } \underline{cpm} \text{ sur } I\\
        \displaystyle\int_I \big | f \big | \text{ converge } \implies \int_I f \text{ converge et } \bigg | \int_I f \bigg | \leq \int_I \big | f \big |
    \end{array}}\]

    \subsection*{Convergence absolue et convergence}
    \[\boxed{\int_I f \text{ converge absolument } \implies \int_I f \text{ converge}}\]

\end{multicols}

\vspace*{0.5cm}

\subsection*{Intégration par parties}
\[\boxed{\begin{array}{c}
    \text{Si } f \text{ et } g \text{ sont } \mathcal{C}^1 \text{ sur } [a,b[ \\
    \lim_{x \to b^-} f(x)g(x) \text{ existe et est finie } \implies \begin{cases}
        \int_I fg' \text{ et } \int_{[a,b[} f'g \text{ sont de même nature}\\
        \text{Si elles convergent, } \int_{[a,b[} fg' = \lim_{x \to b^-} f(x)g(x) - f(a)g(a) - \int_{[a,b[} f'g
    \end{cases}\\
    \text{De même pour d'autres formes d'intervalles}
\end{array}}\]

\vspace*{0.5cm}

\subsection*{Changement de variable}
\[\boxed{\begin{array}{c}
    \text{Si } \varphi \text{ est } \mathcal{C}^1 \text{ et strictement croissante sur } [\alpha, \beta[ \text{ et } \varphi(\alpha) = a, \varphi(\beta) = \lim_{x \to \beta^-} \varphi(x)\\
    \text{Si } f \text{ est } \underline{cpm} \text{ sur } [a,b[\\
    \displaystyle\int_a^b f \text{ et } \int_\alpha^\beta f(\varphi(u)) \varphi'(u) \mathrm{d}u \text{ sont de même nature}\\
    \text{Si elles convergent, } \displaystyle\int_a^b f = \int_\alpha^\beta f(\varphi(u)) \varphi'(u) \mathrm{d}u
\end{array}}\]


\newpage


\section*{Intégrales à paramètre}
Soit une fonction \[\begin{split}f : X \times T &\rightarrow \mathbb{R} \\ (x, t) &\mapsto f(x, t)\end{split}\]

\subsection*{Continuité}
\[
    \begin{cases}
        \forall t \in T, x \mapsto f(x, t) \text{ est \boxed{continue} sur } X\\
        \Big(\forall x \in X, t \mapsto f(x, t) \text{ est }\textit{cpm} \text{ sur } T\Big) \\
        \exists \varphi \textit { cpm } \text{ et \underline{intégrable} sur } T, \forall (x,t) \in X \times T, |f(x,t)| \leq \varphi(t)
    \end{cases}
    \implies g: x \mapsto \displaystyle\int_T f(x,t)\mathrm{d}t \text{ est continue sur } X
\]

\hspace{5cm}
    
\subsection*{Dérivabilité}
\[
        \begin{cases}
        \forall t \in T, x \mapsto f(x, t) \text{ est } \boxed{\mathcal{C}^1} \text{ sur} X\\
        \forall x \in X, t \mapsto f(x, t) \begin{cases}
            t \mapsto f(x, t) \text{ est \underline{intégrable} } \Big( \textit{et cpm}\Big) \text{ sur } T \\
            \Big(t \mapsto \frac{\partial f}{\partial x}(x, t) \text{ est }\textit{cpm} \text{ sur } T\Big) \\
        \end{cases} \\
        \exists \varphi \textit { cpm } \text{ et \underline{intégrable} sur } T, \forall (x,t) \in X \times T, \Big|\frac{\partial f}{\partial x}(x,t)\Big| \leq \varphi(t)
    \end{cases}
    \implies
    \begin{cases}
        g: x \mapsto \int_T f(x,t)\mathrm{d}t \text{ est } \mathcal{C}^1 \text{ sur } X\\
        g'(x) = \displaystyle\int_T\frac{\partial f}{\partial x}(x,t)\mathrm{d}t\\
    \end{cases}
\]

\hspace{5cm}

\subsection*{Dérivations successives}
\[
    \begin{cases}
        \forall t \in T, x \mapsto f(x, t) \text{ est } \boxed{\mathcal{C}^k} \text{ sur} X\\
        \forall x \in X, t \mapsto f(x, t) \begin{cases}
            \forall j < k, t \mapsto \frac{\partial^j f}{\partial x^j}(x, t) \text{ est \underline{intégrable} } \Big( \textit{et cpm}\Big) \text{ sur } T \\
            \Big(t \mapsto \frac{\partial^k f}{\partial^k x}(x, t) \text{ est }\textit{cpm} \text{ sur } T\Big) \\
        \end{cases} \\
        \exists \varphi \textit { cpm } \text{ et \underline{intégrable} sur } T, \forall (x,t) \in X \times T, \Big|\frac{\partial^k f}{\partial x^k}(x,t)\Big| \leq \varphi(t)
    \end{cases}
    \implies
    \begin{cases}
        g: x \mapsto \displaystyle\int_T f(x,t)\mathrm{d}t \text{ est } \mathcal{C}^k \text{ sur } X \\
        \forall j < k, g^{(j)}(x) = \displaystyle\int_T\frac{\partial^j f}{\partial x^j}(x,t)\mathrm{d}t\\
    \end{cases}
\]

\end{document}