\documentclass{article}
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\begin{document}
\setlength{\parindent}{0mm}
\newcommand{\tr}{\mathrm{tr}}

\title{Inégalités dans $\mathbb{R}/\mathbb{C}$}
\author{Aubin SIONVILLE}
\date{MPI Clemenceau - 2021-2023}
\maketitle

\centering

\section*{Inégalités classiques}

\subsection*{Inégalité triangulaire}

\[\boxed{\forall (x,y) \in \mathbb{C}^, \begin{cases}
    |x+y| \leq |x| + |y| \\
    |x|-|y| \leq |x-y|
\end{cases}}\]

\begin{multicols}{2}
    \[\boxed{\forall (z_1 \dots z_n) \in \mathbb{C}^n, \bigg| \sum_{k=1}^n z_k \bigg| \leq \sum_{k=1}^n | z_k |}\]

    \[\boxed{\forall f \in \mathcal{C}^0([a,b],\mathbb{R}), \bigg | \int_a^b f(x) \, dx \bigg | \leq \int_a^b | f(x) | \, dx}\]
\end{multicols}

\vspace*{0.3cm}

\subsection*{Inégalité de Cauchy-Schwarz}
Si $f$ et $g$ sont deux fonctions \underline{continues} de $[a,b]$ dans $\mathbb{R}$, alors
\[\boxed{\bigg(\int_a^b f(t)g(t)\mathrm{d}t\bigg)^2 \leq \int_a^b f^2(t)\mathrm{d}t \int_a^b g^2(t)\mathrm{d}t}\]

\vspace*{0.5cm}

\subsection*{Inégalité des accroissements finis}
Si $f$ est une fonction $\underline{\mathcal{C}^1}$ de $I$ dans $\mathbb{C}$,\\
et que $\forall t \in I, |f'(t)| \leq M$, alors
\[\boxed{\forall (a,b) \in I^2, |f(a)-f(b)| \leq M|a-b|}\]

\vspace*{0.3cm}

\begin{multicols}{2}
    \subsection*{Borne inférieure}
    Si $A \subset \mathbb{R}$ est \underline{non vide} et \underline{minorée}, alors
    \[\boxed{m = \inf A \iff \begin{cases}
        \forall a \in A, a \geq m \\
        \forall \varepsilon > 0 \exists a_0 \in A, a_0 \leq m + \varepsilon
    \end{cases}}\]
    C'est le \underline{plus grand minorant} de $A$.

    \subsection*{Borne supérieure}
    Si $A \subset \mathbb{R}$ est \underline{non vide} et \underline{majorée}, alors
    \[\boxed{M = \sup A \iff \begin{cases}
        \forall a \in A, a \leq M \\
        \forall \varepsilon > 0 \exists a_0 \in A, a_0 \geq M - \varepsilon
    \end{cases}}\]
    C'est le \underline{plus petit majorant} de $A$.
\end{multicols}

\newpage

\section*{Inégalité de Jensen}

\subsection*{Convexité}
\begin{multicols}{2}
    \[\boxed{\begin{array}{c}
        \mathcal{D} \subset \mathbb{R} \text{ est convexe } \\
        \iff \\
        \forall (x,y) \in \mathcal{D}^2, x \leq y \implies [x,y] \subset \mathcal{D}
    \end{array}}\]

    \[\boxed{\begin{array}{c}
        f : I \to \mathbb{R} \text{ est convexe sur } I \\
        \iff \\
        \forall (x,y) \in I^2, \forall \lambda \in [0,1], f(1-\lambda x + \lambda y) \leq (1-\lambda)f(x) + \lambda f(y)
    \end{array}}\]
\end{multicols}

\vspace*{0.3cm}

\subsection*{Inégalité de Jensen}
Si $f$ est \underline{convexe sur $I$}, et $n \geq 2$
Avec $(x_1 \dots x_n) \in I^n, (\lambda_1 \dots \lambda_n) \in [0,1]^n$ tels que $\sum_{k=1}^n \lambda_k = 1$, alors
\[\boxed{f\bigg(\sum_{i=1}^n \lambda_i x_i\bigg) \leq \sum_{i=1}^n \lambda_i f(x_i)}\]

\vspace*{1cm}

\section*{Autres caractéristiques de $\mathbb{R}$}

\begin{multicols}{2}
    \subsection*{Caractère archimédien}
    $\mathbb{R}$ est \underline{archimédien}  :
    \[\boxed{\forall x \in \mathbb{R}^*_+, \forall y \in \mathbb{R}, \exists n \in \mathbb{N}, nx \geq y}\]
    
    \subsection*{Théorème des valeurs extrêmes}
    Si $f$ est une fonction \underline{continue} de $[a,b]$ dans $\mathbb{R}$, alors
    \[\boxed{\exists (\alpha, \beta) \in [a,b]^2, \forall x \in [a,b], f(\alpha) \leq f(x) \leq f(\beta)}\]        
\end{multicols}

\vspace*{0.3cm}

\subsection*{Densité}
\begin{multicols}{2}
    \[\boxed{\begin{array}{c}
        \mathcal{D} \subset \mathbb{R} \text{ est dense } \\
        \iff \\
        \text{Pour tout intervalle } I \text{ non vide de } \mathbb{R}, A \cap I \neq \emptyset
    \end{array}}\]
    
    $\underset{\ }{\ }$\\$\underset{\ }{\ }$\\
    $\mathbb{Q}$ est \underline{dense} dans $\mathbb{R}$.\\
    $\underset{\ }{\ }$\\
    $\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}$ est \underline{dense} dans $\mathbb{R}$.
\end{multicols}

\vspace*{0.3cm}

\subsection*{Lemme des pentes}

\[\boxed{\begin{array}{c}
    f \text{ est continue sur } [a,b] \\
    \implies \\
    \displaystyle \forall x_1<x_2,x_3 \in [a,b]^3, \frac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2} \leq \frac{f(x_1)-f(x_3)}{x_1-x_3} \leq \frac{f(x_2)-f(x_3)}{x_2-x_3}
\end{array}}\]

\end{document}