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\begin{document}
\setlength{\parindent}{0mm}

\title{Energie Electromagnétique}
\author{Aubin SIONVILLE}
\date{MPI Clemenceau - 2021-2023}
\maketitle

\centering

\section*{Energie des circuits}

\begin{multicols}{2}
    \subsection*{Energie d'un condensateur}
    \[\boxed{\mathcal{E}_C = \frac{1}{2}CU^2 = \iiint_{V} \frac{1}{2}\varepsilon_0E^2\mathrm{d}\tau}\]
    
    \subsection*{Densité volumique d'énergie dans un condensateur}
    \[\boxed{w_{e,C} = \frac{1}{2}\varepsilon_0E^2}\]
\end{multicols}

\begin{multicols}{2}
    \subsection*{Energie d'une bobine}
    \[\boxed{\mathcal{E}_L = \frac{1}{2}LI^2 = \iiint_{V} \frac{B^2}{2\mu_0}\mathrm{d}\tau}\]

    \subsection*{Densité volumique d'énergie dans une bobine}
    \[\boxed{w_{e,L} = \frac{B^2}{2\mu_0}}\]
\end{multicols}

\[\boxed{\text{Dans un circuit à inductance constante, le courant et le flux magnétique } \Phi \text{ est continus}}\]

\vspace*{0.3cm}

\section*{Puissance et effet Joule}

\subsection*{Puissance volumique délivrée par le champ}

\[\boxed{p \triangleq \frac{\delta P}{\mathrm{d}\tau} = n \overrightarrow{F}\cdot\overrightarrow{v} = nq\overrightarrow{E}\cdot\overrightarrow{v} = \overrightarrow{j}\cdot\overrightarrow{E}}\]

\begin{multicols}{2}
    \subsection*{Effet cinétique}
    \[\boxed{\frac{\mathrm{d}\mathcal{E_c}}{\mathrm{d}t} = P_\text{elec} = q\overrightarrow{E}\cdot\overrightarrow{v}}\]

    \subsection*{Effet Joule}
    \[\boxed{p = \frac{\delta P}{\mathrm{d}\tau} = \overrightarrow{j}\cdot\overrightarrow{E} = \frac{j^2}{\gamma}}\]
\end{multicols}

\vspace*{0.5cm}

\section*{Energie électromagnétique}

\begin{multicols}{2}
    \subsection*{Densité volumique d'énergie électromagnétique}
    \[\boxed{u_{em} = \frac{1}{2}\varepsilon_0E(M,t)^2 + \frac{1}{2\mu_0}B(M,t)^2}\]

    \subsection*{Energie électromagnétique totale}
    \[\boxed{U_{em} = \iiint_\mathcal{D}\bigg(\frac{1}{2}\varepsilon_0E(M,t)^2 + \frac{1}{2\mu_0}B(M,t)^2\bigg)}\]
\end{multicols}

\subsection*{Bilan d'énergie électromagnétique}
Variations de l'énergie électromagnétique = Apport d'énergie + Création d'énergie

\[\boxed{\frac{\mathrm{d}U_{em}}{\mathrm{d}t} = P_\text{entrant} + P_\text{gain par conversion} = - P_\text{rayonnée} - P_\text{cédée par conversion}}\]

\vspace*{0.3cm}

\begin{multicols}{3}
    \subsection*{Equation locale de Poynting}
    \[\boxed{\frac{\partial}{\partial t}\bigg(\frac{1}{2}\varepsilon_0E^2 + \frac{1}{2}\frac{B^2}{\mu_0}\bigg) = -\mathrm{div} \bigg(\frac{\overrightarrow{E}\wedge\overrightarrow{B}}{\mu_0}\bigg) - \overrightarrow{j}\cdot\overrightarrow{E}}\]

    \[\quad\quad\quad\quad\quad\quad\underset{\text{Green-Ostrogradski}}{\Longrightarrow}\]

    \subsection*{Equation bilan d'énergie électromagnétique}
    \[\boxed{\frac{\mathrm{d}U_{em}}{\mathrm{d}t} = -P_\text{rayonnée} - P_\text{cédée}}\]
\end{multicols}

\vspace*{0.3cm}

\begin{multicols}{2}
    \subsection*{Vecteur de Poynting}
    \[\boxed{\overrightarrow{R} = \frac{\overrightarrow{E} \wedge \overrightarrow{B}}{\mu_0}}\]

    La moyenne de la norme du vecteur de Poynting est l'intensité lumineuse (en $W.m^{-2}$)\\
    Laser HeNe du lycée : $\langle R \rangle \simeq 10^3 W.m^{-2}$\\
    Rayonnement solaire moyen sur Terre : $\langle R \rangle \simeq 340 W.m^{-2}$\\
    Flux émis lors d'un appel téléphonique : $\langle R \rangle \simeq 0.5 W.m^{-2}$
\end{multicols}

\vspace*{0.3cm}

\subsection*{Puissance rayonnée}
\[\boxed{P_\text{rayonée} = \oiint_\mathcal{S}\overrightarrow{R}\cdot\mathrm{d}\overrightarrow{S}_\text{sortant}}\]

\subsection*{Equation locale de conservation de l'énergie électromagnétique}
\[\boxed{\frac{\partial u_{em}}{\partial t} = -\mathrm{div}\overrightarrow{R} - \overrightarrow{j}\cdot\overrightarrow{E}}\]



\end{document}