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\linespread{1.25}
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\begin{document}
\setlength{\parindent}{0mm}

\title{Dérivation}
\author{Aubin SIONVILLE}
\date{MPI Clemenceau - 2021-2023}
\maketitle

\centering

\section*{Dérivabilité}

\[\boxed{\begin{array}{c}
    f \text{ est dérivable en } a \text{ si et seulement si}
    \displaystyle \lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a} \text{ est finie}\\
    \displaystyle \text{On note } f'(a) = \displaystyle \lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a}
\end{array}}\]

\vspace*{0.3cm}

\subsection*{Lien avec Taylor}
\[\boxed{\begin{array}{c}
    f \text{ est dérivable en } a \text{ si et seulement si }\\
    \exists \varepsilon > 0, \forall x \in I, |x-a| < \varepsilon \implies f(x) = f(a) + l(x-a) + o_a(x-a)\\
    \text{Alors } f'(a) = l
\end{array}}\]

\vspace*{0.5cm}

\section*{Opérations sur les fonctions dérivables}

\begin{multicols}{2}
    \subsection*{Somme}
    \[\boxed{\begin{array}{c}
        \text{Si } f \text{ et } g \text{ sont dérivables en } a,\\
        \text{Alors } f + g \text{ est dérivable en } a \text{ et }\\
        (f + g)'(a) = f'(a) + g'(a)
    \end{array}}\]

    \subsection*{Composition}
    \[\boxed{\begin{array}{c}
        \text{Si } f \text{ et } g \text{ sont dérivables en } a,\\
        \text{Alors } f \circ g \text{ est dérivable en } a \text{ et }\\
        (f \circ g)'(a) = f'(g(a))g'(a)
    \end{array}}\]

    \subsection*{Produit}
    \[\boxed{\begin{array}{c}
        \text{Si } f \text{ et } g \text{ sont dérivables en } a,\\
        \text{Alors } f \cdot g \text{ est dérivable en } a \text{ et }\\
        (f \cdot g)'(a) = (fg)'(a) = f'(a)g(a) + f(a)g'(a)
    \end{array}}\]

    \subsection*{Quotient}
    \[\boxed{\begin{array}{c}
        \text{Si } f \text{ et } g \text{ sont dérivables en } a \text{ et } g(a) \neq 0,\\
        \displaystyle \text{Alors } \frac{f}{g} \text{ est dérivable en } a \text{ et }\\
        \displaystyle \frac{f}{g}'(a) = \frac{f'(a)g(a) - f(a)g'(a)}{g^2(a)}
    \end{array}}\]
\end{multicols}

\vspace*{0.3cm}

\subsection*{Théorème de la bijection monotone}
\[\boxed{\begin{array}{c}
    \text{Si } f \text{ est bijective, monotone et dérivable en } a,\\
    \text{Alors } f^{-1} \text{ est dérivable en } f(a) \text{ si et seulement si } f(a) \neq 0 \text{ et }\\
    \displaystyle (f^{-1})'(f(a)) = \frac{1}{f'(a)}
\end{array}}\]

\section*{Dérivées d'ordre supérieur}

\subsection*{Définition}
\[\boxed{\begin{array}{c}
    \forall k \in \mathbb{N}, f^{(k)} \text{ est la dérivée } k \text{-ième de } f\\
    \mathcal{D}^k(E, F) \text{ est l'ensemble des fonctions } k \text{ fois dérivables de } E \text{ dans } F\\
    \mathcal{C}^k(E, F) \text{ est l'ensemble des fonctions } k \text{ fois dérivables de } E \text{ dans } F \text{ dont la dérivée } k \text{-ième est continue}
\end{array}}\]

\vspace*{0.3cm}

\subsection*{Formule de Leibniz}
\[\boxed{\begin{array}{c}
    \text{Si } f \text{ et } g \text{ sont } k \text{ fois dérivables sur } I, \text{ alors } fg \text{ est } k \text{ fois dérivable sur } I \text{ et }\\
    \displaystyle (fg)^{k} = \sum_{i=0}^k \binom{k}{i} f^{(i)}g^{(k-i)}
\end{array}}\]

\vspace*{0.3cm}

\subsection*{Opéarations sur les fonctions dérivables d'ordre supérieur}
\begin{multicols}{2}
    \[\boxed{f \text{ et } g \text{ sont } \mathcal{C}^k \implies f + g \text{ est } \mathcal{C}^k}\]

    \[\boxed{f \text{ et } g \text{ sont } \mathcal{C}^k \implies f \cdot g \text{ est } \mathcal{C}^k}\]
\end{multicols}
\[\boxed{f \text{ et } g \text{ sont } \mathcal{C}^k \text{ et } \forall x, g(x) \neq 0 \implies \frac{f}{g} \mathcal{C}^k}\]

\vspace*{0.5cm}

\section*{Propriétés des fonctions dérivables}

\subsection*{Théorème de Rolle}
\[\boxed{\begin{array}{c}
    \text{Si } f : [a,b] \to \mathbb{R} \text{ est continue et dérivable sur } ]a,b[ \text{ et } f(a) = f(b),\\
    \text{Alors } \exists c \in ]a,b[ \text{ tel que } f'(c) = 0
\end{array}}\] 

\vspace*{0.3cm}

\subsection*{Théorème des accroissements finis}
\[\boxed{\begin{array}{c}
    \text{Si } f : [a,b] \to \mathbb{R} \text{ est continue sur } [a,b] \text{ et dérivable sur } ]a,b[,\\
    \displaystyle \text{Alors } \exists c \in ]a,b[ \text{ tel que } f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}
\end{array}}\]

\vspace*{0.3cm}

\subsection*{Inégalité des accroissements finis}
\[\boxed{\begin{array}{c}
    \text{Si } f : [a,b] \to \mathbb{R} \text{ est continue sur } [a,b] \text{ et dérivable sur } ]a,b[ \text{ telle que } \forall t \in ]a,b[, f'(t) \in [m, M],\\
    \text{Alors } f(b) - f(a) \in [m(b-a), M(b-a)]
\end{array}}\]

\newpage

\subsection*{Théorème de la limite de la dérivée (prolongement $\mathcal{C}^1$)}
\[\boxed{\text{Si } f \text{ est continue et dérivable sur } I \setminus \{a\} \text{ et } \lim_{x \to a} f'(x) = \ell, \text{ alors } f \text{ est dérivable en } a \text{ et } f'(a) = \ell}\]

\vspace*{0.3cm}

\subsection*{Prolongement $\mathcal{C}^k$}
\[\boxed{\text{Si } f \text{ est } \mathcal{C}^k \text{ et } \mathcal{C}^{k+1} \text{ sur } I \setminus \{a\}, \text{ alors } f \text{ est } \mathcal{C}^{k+1} \text{ en } a}\] 

\vspace*{0.5cm}

\section*{Fonctions réciproques}

\subsection*{Difféomorphismes}
\[\boxed{\begin{array}{c}
    f \text{ est un } \mathcal{C}^k\text{-difféomorphisme si}\\
    f \text{ est } \mathcal{C}^k \text{ et } f^{-1} \text{ est } \mathcal{C}^k
\end{array}}\]

\vspace*{0.3cm}

\subsection*{Difféomorphisme bijectif}
\[\boxed{\begin{array}{c}
    \text{Une fonction bijective } \mathcal{C}^k \text{ est un } \mathcal{C}^k\text{-difféomorphisme si et seulement si}\\
    \text{sa dérivée ne s'annule pas}
\end{array}}\]

\vspace*{0.5cm}

\section*{Fonctions complexes}

\subsection*{Décomposition}
\[\boxed{\begin{array}{c}
    f \text{ est dérivable si et seulement si}\\
    \mathrm{Re}(f) \text{ et } \mathrm{Im}(f) \text{ sont dérivables}
    \text{ et } f = \mathrm{Re}(f) + i \mathrm{Im}(f)
\end{array}}\]

\vspace*{0.3cm}

\subsection*{Fonction lipschitzienne de $\mathbb{C}$}
\[\boxed{\begin{array}{c}
    \text{Si } f :[a,b] \to \mathbb{C} \text{ est } \mathcal{C}^1 \text{ sur } ]a,b[ \text{ et } \forall t \in ]a,b[, |f'(t)| \leq M,\\
    \text{Alors } f \text{ est lipschitzienne sur } [a,b] \text{ et } |f(b) - f(a)| \leq M(b-a)
\end{array}}\]

\end{document}