\documentclass{article}
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\begin{document}
\setlength{\parindent}{0mm}

\title{Equations Différentielles}
\author{Aubin SIONVILLE}
\date{MPI Clemenceau - 2021-2023}
\maketitle

\centering

\section*{Théorème de Cauchy}
    \begin{multicols}{2}
        Hypothèses :
        \[\begin{array}{c} (E) \text{ une } EDL \\ (a_0 \dots a_n) \text{ continues sur } I \\ t_0 \in I, (\alpha_0 \dots \alpha_n) \in \mathbb{C}^n \end{array}\]
    
        \[\boxed{\exists! y, \begin{cases} y \text{ solution de } (E) \\ \forall i \in \llbracket 0,n-1\rrbracket, y^{(i)}(t_0) = (\alpha_i) \end{cases}}\]
    \end{multicols}

\vspace{0.5cm}

\section*{Solution générale}

\subsection*{Ordre 1 : $ay' + by = 0$}
    Solution générale : $\displaystyle\boxed{y_g = Ce^{-\frac{b}{a}t}}$

\subsection*{Ordre 2 harmonique : $y'' + \omega^2 y = 0$}
    Solution générale : $\displaystyle\boxed{y_g = A \sin(\omega t) + B \cos(\omega t)}$

\subsection*{Ordre 2 non-harmonique : $ay'' + by' + cy = 0$}
    $\Delta = b^2 - 4ac$

    \begin{multicols}{3}
        Si $\Delta > 0$ :
        \[\boxed{\text{Racines } : \frac{-b \pm \sqrt{\Lambda}}{2a}}\]
        \[\boxed{y_g = A\mathrm{e}^{r_1t} + B\mathrm{e}^{r_2t}}\]

        Si $\Delta = 0$ :
        \[\boxed{\text{Racine } : \frac{-b}{2a}}\]
        \[\boxed{y_g = (A + Bt)\mathrm{e}^{rt}}\]

        Si $\Delta < 0$ :
        \[\boxed{\text{Racines } : \alpha \pm i\omega}\]
        \[\boxed{y_g = \bigg(A\sin(\omega t) + B\cos(\omega t)\bigg)\mathrm{e}^{\alpha t}}\]
    \end{multicols}

\vspace{0.5cm}

\section*{Solution particulière}
Selon le type de second membre

\[\arraycolsep=15pt\def\arraystretch{2}\begin{array}{c|c|c}
    \hline
    \text{Constante} & A\sin(\omega t) + B\cos(\omega t) & \text{Somme} \\
    \hline
    & \text{Utiliser} \cos(\omega t) = \mathrm(Re)(\mathrm{e}^{i\omega t}) \text{ et } \sin(\omega t) = \mathrm(Im)(\mathrm{e}^{i\omega t}) & \\
    & \text{Chercher } y_p \text{ solution de l'équation complexe associée} & \\
    \boxed{y_p = \text{Cst}} & \boxed{y_p} = C\mathrm{e}^{i\omega t} & \text{Somme des solutions partielles}
\end{array}\]
\end{document}
