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\begin{document}
\setlength{\parindent}{0mm}

\title{Groupe Symétrique}
\author{Aubin SIONVILLE}
\date{MPI Clemenceau - 2021-2023}
\maketitle

\centering

\section*{Définitions}

\begin{multicols}{2}
    
    \subsection*{Groupe symétrique d'un ensemble}
    \[\boxed{\begin{array}{c}
        \text{L'ensemble des permutations de } E\\
        (\text{ i.e les bijections de } E \text{ dans } E) \\
        \text{forme un groupe pour la composition :}\\
        \text{le groupe symétrique de } E
    \end{array}}\]

    \subsection*{$\Sn$}
    \[\boxed{\begin{array}{c}
        \forall n \in \mathbb{N}^*\\
        \Sn \text{ est le groupe symétrique de } \llbracket 1, n \rrbracket\\
        \forall \tau, \sigma \in \Sn\\
        \text{On note } \tau \sigma \text{ au lieu de } \tau \circ \sigma
    \end{array}}\]
\end{multicols}

\vspace*{0.3cm}

\subsection*{Représentation}
\[\boxed{\text{On représente une permutation } \sigma \in \Sn \text{ par } \sigma =
\begin{pmatrix}
    1 & 2 & \cdots & n\\
    \sigma(1) & \sigma(2) & \cdots & \sigma(n)
\end{pmatrix}}\]

\vspace{0.3cm}

\begin{multicols}{2}
    \subsection*{Ordre d'une permutation}
    \[\boxed{\begin{array}{c}
        \text{L'ordre d'une permutation } \sigma \text{ est }\\
        \text{le plus petit entier } r>0 \text{ tel que } \sigma^r = \text{id}
    \end{array}}\]

    \subsection*{Support d'une permutation}
    \[\boxed{\begin{array}{c}
        \text{Le support d'une permutation } \sigma \text{ est }\\
        \text{l'ensemble des indices } i \text{ tels que } \sigma(i) \neq i
    \end{array}}\]
\end{multicols}

\vspace*{0.3cm}

\begin{multicols}{2}
    
    \subsection*{Un cycle}
    \[\boxed{\begin{array}{c}
        \text{Un cycle est une permutation } \sigma \text{ telle que }\\
        \sigma(a_i) = a_{i+1} \text{ pour } i \in \llbracket 1, n-1 \rrbracket\\
        \text{ et } \sigma(a_n) = a_1
    \end{array}}\]
    
    \subsection*{Conjugaison}
    \[\boxed{\begin{array}{c}
        \text{Si } \gamma = (a_1 \dots a_p) \text{ est un p-cycle et } \sigma \in \Sn\\
        \sigma \gamma \sigma^{-1} = (a_{\sigma(1)} \dots a_{\sigma(p)})\\
        \text{On dit aussi que deux cycles quelconques sont conjugés}
    \end{array}}\] 
\end{multicols}

\begin{multicols}{2}
    \[\boxed{\text{L'ordre d'un cycle est le cardinal de son support}}\]

    \[\boxed{\text{Deux cycles à support disjoint commutent}}\]
\end{multicols}

\[\boxed{\begin{array}{c}
    \text{Soit } \sigma \in \Sn \text{ et } a \in \llbracket 1, n \rrbracket\\
    \text{L'orbite de } a \text{ par } \sigma \text{ est } \{a, \sigma(a), \sigma^2(a), \dots, \sigma^{r-1}(a)\}\\
    \text{où } r \text{ est l'ordre de } \sigma
\end{array}}\]

\section*{Décomposition en produit de cycles}

\[\boxed{\text{Toute permutation se décompose \underline{de façon unique} en produit de cycles à support disjoints}}\]

\[\boxed{\text{L'ordre d'une permutation est le PPCM des ordres de ses cycles}}\]

\vspace*{0.5cm}

\section*{Décomposition en produit de transpositions}

\[\boxed{\text{Un cycle d'ordre } 2 \text{ est une transposition}}\]

\[\boxed{\text{Toute permutation se décompose en produit de transpositions (mais pas forcément de façon unique)}}\]

\vspace*{0.5cm}

\section*{Signature d'une permutation}

\begin{multicols}{2}
    \subsection*{Inversion}
    \[\boxed{\begin{array}{c}
        \text{Une inversion est une paire d'indices } i, j \text{ tels que }\\
        i < j \text{ et } \sigma(i) > \sigma(j)
    \end{array}}\]

    \subsection*{Signature}
    \[\boxed{\begin{array}{c}
        \text{La signature d'une permutation } \sigma \text{ est } \varepsilon(\sigma) = (-1)^i\\
        \text{ où } i \text{ est le nombre d'inversions de } \sigma
    \end{array}}\]
\end{multicols}

\subsection*{Caractère de $\varepsilon$}
\[\boxed{\varepsilon : (\Sn, \circ) \to (\{-1,1\}, \times) \text{ est un morphisme de groupes}}\]

\vspace{0.3cm}

\subsection*{Nombre de transpositions}
\[\boxed{\begin{array}{c}
    \text{Toute décomposition de } \sigma \text{ fait intervenir }\\
    \text{ un nombre pair de transpositions si } \varepsilon(\sigma) = 1\\
    \text{ un nombre impair de transpositions si } \varepsilon(\sigma) = -1
\end{array}}\]

\subsection*{Parité d'une permutation}
\[\boxed{\text{On dit qu'une permutation } \sigma \text{ est paire si } \varepsilon(\sigma) = 1 \text{, impaire si } \varepsilon(\sigma) = -1}\] 

\subsection*{Sous-groupe des permutations paires}
\[\boxed{\text{L'ensemble des permutations paires est un sous-groupe de } \Sn}\]

\[\boxed{\begin{array}{c}
    \text{L'ensemble des permutations impaires n'est pas un sous-groupe de } \Sn :\\
    \text{La composée de deux permutations impaires est paire}
\end{array}}\]

\newpage

\section*{Exemples de décompositions}

\[\begin{pmatrix}
    1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6\\
    4 & 5 & 1 & 3 & 2 & 6 
\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}
    1 & 4 & 3
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
    2 & 5
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
    6
\end{pmatrix}\]

\vspace{0.3cm}

\[\begin{pmatrix}
    1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6\\
    2 & 1 & 4 & 3 & 6 & 5
\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}
    1 & 2
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
    3 & 4
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
    5 & 6
\end{pmatrix}\]

\end{document}