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\begin{document}
\setlength{\parindent}{0mm}

\title{Objets Quantiques}
\author{Aubin SIONVILLE}
\date{MPI Clemenceau - 2021-2023}
\maketitle

\centering

\section*{Dualité onde-corpuscule : la lumière}

\begin{multicols}{2}
    \subsection*{Constante de Planck}
    \[\boxed{h = 6.626 \times 10^{-34} \text{ J.s}}\]

    \subsection*{Constante de Planck réduite}
    \[\boxed{\hbar = \frac{h}{2 \pi} = 1.055 \times 10^{-34} \text{ J.s}}\]
\end{multicols}

\vspace*{0.3cm}

\subsection*{Energie du photon}
\[\boxed{E = h \nu = \hbar \omega = \frac{hc}{\lambda}}\]

\begin{multicols}{2}
    \subsection*{Energie d'un objet physique}
    \[\boxed{E^2 = (mc^2)^2 - p^2c^2}\]

    \subsection*{Energie d'un photon}
    \[\boxed{E= pc}\]
\end{multicols}

\vspace*{0.3cm}

\subsection*{Relations de Planck-Einstein}
\[\boxed{\begin{array}{c}
    \displaystyle p = \hbar\overrightarrow{k} = \frac{h}{\lambda}\overrightarrow{u}\\
    \displaystyle E = \hbar\omega
\end{array}}\]

\vspace*{0.5cm}

\section*{Interactions rayonnement-matière}

\begin{multicols}{2}
    \subsection*{Absorption de la lumière}
    \[\boxed{\begin{array}{c}
        \text{Annihilation d'un photon :}\\
        E' = E + h\nu \quad\quad \overrightarrow{p}' = \overrightarrow{p} + \hbar\overrightarrow{k}
    \end{array}}\]

    \subsection*{Émission de la lumière}
    \[\boxed{\begin{array}{c}
        \text{Création d'un photon :}\\
        E' = E - h\nu \quad\quad \overrightarrow{p}' = \overrightarrow{p} - \hbar\overrightarrow{k}
    \end{array}}\]
\end{multicols}

\subsection*{La LED}

\begin{multicols}{3}
    \subsection*{Energie d'un photon émis}
    \[\boxed{h\nu = E_{c,min} - E_{V,max} = E_{gap}}\]
    Où $E_{gap}$ est un intervalle d'énergie interdite.

    \subsection*{Rendement quantique}
    \[\boxed{\eta = N_\nu/N_e}\]
    (Nb de photons émis / Nb de photons dans la bande de conduction)

    \subsection*{Puissance du flux lumineux}
    \[\boxed{\mathcal{P} = \eta \frac{I}{e}h\nu}\]
    (Rendement * Intensité * Energie d'un photon)
\end{multicols}

\section*{Interférences}

\subsection*{Approche ondulatoire}

On envoie une onde plane sur un biprisme, on retrouve la formule de Fresnel :
\[\boxed{I(y) = 2I_0\bigg(1 + \cos\Big(2\pi\frac{y}{i}\Big)\bigg), \text{ où } i = \frac{\lambda}{2\sin\theta}}\]

\vspace*{0.3cm}

\subsection*{Approche quantique : interférences photon par photon}

La probabilité de trouver le photon en $M$ est proportionnelle à la puissance lumineuse en $M$, et donc :

\[\boxed{P(M,t) \propto |\underbar{E}(M,t)|^2}\]

\vspace*{0.5cm}

\section*{Dualité onde-corpuscule : la matière}

\subsection*{Relations de Broglie}

On associe à chaque corps d'énergie $E$ et de quantité de mouvement $p$ une onde de fréquence $\nu_{dB}$ et de longueur d'onde $\lambda_{dB}$ :
\[\boxed{\nu_{dB} = \frac{E}{h} \quad \text{et} \quad \lambda_{dB} = \frac{h}{p}}\]

\vspace{0.3cm}

Attention : $\boxed{E \neq pc}$ car $m \neq 0$ et $\boxed{\nu_{dB} \neq \frac{c}{\lambda_{dB}}}$.

\vspace*{0.5cm}

\section*{Principe de complémentarité de Bohr}

\[\boxed{
    \begin{array}{c}
        \text{Les aspects corpusculaires et ondulatoires de la lumière et de la matière sont deux représentations}\\
        \text{complémentaires d'une seule et même chose.}\\
        \text{Il n'existe pas de description classique cohérente en termes exclusivement d'ondes ou exclusivement}\\
        \text{de particules permettant d'interpréter l'ensemble des phénomènes observés.}
    \end{array}
}\]

\vspace*{0.5cm}

\section*{Description d'un objet quantique}

\subsection*{Fonction d'onde}
La probabilité de trouver un quanton dans le volume $\mathrm{d}\tau$ autour de $M$ à l'instant $t$ est lié à la fonction d'onde $\psi$ par :
\[\boxed{\mathrm{d}P = |\underline{\psi}(M,t)|^2 \mathrm{d}\tau}\]

$|\underline{\psi}(M,t)|^2$ est appelé \underline{densité de probabilité}. et $\underline{\psi}(M,t)$ est appelé \underline{amplitude de probabilité}.

\subsection*{Conditions de normalisation}
Il faut que la probabilité de trouver le quanton dans l'espace soit égale à 1 :
\[\boxed{\int_{\mathcal{D}} |\underline{\psi}(M,t)|^2 \mathrm{d}\tau = 1}\]

\vspace*{0.3cm}

\subsection*{Principe de superposition}

On revient à l'expérience du biprisme :\\
On note alors $\underline{\psi}(M,t) = \frac{1}{\sqrt{2}}\big(\underline{\psi}_1(M,t) + \underline{\psi}_2(M,t)\big)$ pour assurer la normalisation
et on obtient une formule de type \underline{Formule de Fresnel} :
\[\boxed{\mathrm{d}P = \frac{1}{2}\Big(\big|\underline{\psi}_1\big|^2 + \big|\underline{\psi}_2\big|^2 + 2\big|\underline{\psi}_1\big|\big|\underline{\psi}_2\big|\cos(\phi_2 - \phi_1)\Big)\mathrm{d}\tau}\]

\vspace*{0.5cm}

\section*{Inégalités d'Heisenberg}

\subsection*{Indétermination de la position et de la vitesse}
On fait passer des quantons à travers une fente de largeur $a$, qui ressortent dans un cône de demi-angle $\theta$.

On localise la fonction d'onde grâce à la fente, donc en diminuant $a$, on a plus de précision sur la position en aval de la fente :
\[\boxed{\Delta x \simeq a}\]

Mais si $a$ diminue, $\theta$ augmente, donc on a moins de précision sur la composante $p_x$ (parallelle à la fente) de sa quantité de mouvement :
\[\boxed{\Delta p_x \Delta x \simeq h}\]

\vspace*{0.1cm}

\subsection*{Inégalités spatiales d'Heisenberg}
\[\boxed{\Delta x \Delta p_x \geq \frac{\hbar}{2}}\]
Cette inégalité est valable pour toutes les directions spatiales.\\
Ceci est parfois appelé \underline{Principe d'incertitude}.

Comme on ne peut pas mesurer la position et la vitesse d'un objet à la fois, la trajectoire n'a pas de sens en mécanique quantique.


\section*{Critères quantiques}

\begin{multicols}{2}
    \subsection*{Longueur d'onde de Broglie}
    On rappelle que $\lambda_{dB} = \frac{h}{p}$, donc :
    \[\boxed{\begin{array}{c}
        d \gg \lambda_{dB} \implies \text{Physique classique}\\
        d \ll \lambda_{dB} \implies \text{Physique quantique}
    \end{array}}\]

    \subsection*{Action caractéristique}
    On appelle action $\boxed{\mathcal{A} = mvd}$, alors :
    \[\boxed{\begin{array}{c}
        \mathcal{A} \gg \hbar \implies \text{Physique classique}\\
        \mathcal{A} \ll \hbar \implies \text{Physique quantique}
    \end{array}}\]
\end{multicols}

\end{document}