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\geometry{tmargin=.7in, bmargin=.75in, lmargin=.75in, rmargin = .75in}

\begin{document}
\setlength{\parindent}{0mm}
\linespread{1.25}

\title{Ondes Non Dispersives}
\author{Aubin SIONVILLE}
\date{MPI Clemenceau - 2021-2023}
\maketitle

\centering

\section*{Propagation dans un câble coaxial sans perte}

Supposition de la propagation : \\
On ne se place pas dans l'ARQS : $L_{\mathrm{ligne}} \gg cT$

\vspace*{0.5cm}

\centering\subsection*{Modèle de la ligne sans perte}

\begin{circuitikz}
    \centering
    \draw (0,2) to [short,*-, i=${i(x,t)}$] (3, 2)
    to [L, l_=$\Lambda\mathrm{d}x$] (5, 2)
    to [short] (6, 2)
    to [short, -*, i=${i(x+\mathrm{d}x, t)}$] (7, 2);
    \draw (0,0) to [short, *-*,] (7, 0);
    \draw (6,2) to [C, l_=$\Gamma\mathrm{d}x$] (6, 0);
    \draw [->] (0, 0.2) to (0, 1) node[right] {$u(x,t)$} to (0, 1.8);
    \draw [->] (7, 0.2) to (7, 1) node[right] {$u(x+\mathrm{d}x,t)$} to (7, 1.8);
\end{circuitikz}

\begin{multicols}{2}
    \[\boxed{\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} -\Lambda\Gamma \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = 0}\]
    \break
    \[\boxed{\frac{\partial^2 i}{\partial x^2} -\Lambda\Gamma \frac{\partial^2 i}{\partial t^2} = 0}\]
\end{multicols}

\vspace*{0.3cm}

\subsection*{Equation de D'Alembert}
\[\boxed{\frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2} - \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} = 0}\]

\vspace*{0.5cm}

\centering\section*{Onde progressive harmonique (OPH)}
\begin{multicols}{3}
    En notation réelle :
    \[\boxed{u(x,t) = U_0\cos(\omega t - kx + \varphi)}\]

    En notation complexe :
    \[\boxed{\underline{u}(x,t) = \underline{U_0}\exp(j(\omega t - kx + \varphi))}\]
    
    Vitesse de phase :
    \[\boxed{v_\varphi \triangleq \frac{\omega}{k}} = \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\]
\end{multicols}

\hspace{0.5cm}

\section*{Onde plane progressive \\harmonique (OPPH)}

Une OPPH se propageant dans la direction de $\vec{u}$ :
\[\boxed{\underline{\psi}(M,t) = A\mathrm{e}^{j(\omega t - \vec{k}\cdot\vec{x} + \varphi)}}\]
Avec $\vec{k} = k\vec{u}$ le vecteur d'onde
    
\vspace*{0.5cm}

\section*{Onde Stationnaire (OS)}

\begin{multicols}{2}
    Deux OPH en sens opposé $\Rightarrow$ Une OS
    \[\begin{split}
        \psi(x,t) & = 2a\cos(\omega t)\cos(kx) \\
        & = f(x)g(t)
    \end{split}\]
        
    Deux OS $\Rightarrow$ Une OPH
    \[\begin{split}
        a\cos(2\pi f_0t - kx) &= a\cos(\omega t)\cos(kx)\\
        &+ a \sin(\omega t)\sin(kx)
    \end{split}\]
\end{multicols}
        
\[\boxed{\text{Les noeuds sont séparés par une distance d'une demie longueur d'onde}}\]

\vspace*{0.3cm}

\subsection*{Ondes stationnaires solutions de l'équation de D'Alembert}

\[\boxed{\psi(x,t) = f(x)g(t) = \psi_0\cos\bigg(\frac{\omega}{c}x + \phi \bigg)\cos(\omega t + \varphi)}\]

\vspace*{0.5cm}

\section*{Corde vibrante}

\begin{multicols}{3}
    \subsection*{Mode fondamental}
    Onde de fréquence $\displaystyle\boxed{f_0 = \frac{c}{2l}}$

    \subsection*{Harmonique de rang $n$}
    Onde de fréquence $\boxed{nf_0}$ \\
    de longueur d'onde $\boxed{\frac{\lambda_0}{n}}$

    \subsection*{Lien avec la longeur de la corde}
    \[\boxed{l = n\frac{\lambda_n}{2}}\]
\end{multicols}

\end{document}