\documentclass{article}
\usepackage{amssymb, amsmath, geometry, multicol, cancel}
\usepackage[table, svgnames, dvipsnames]{xcolor}
\usepackage{makecell, cellspace, caption}
\usepackage[europeanresistors]{circuitikz}
\usepackage[a]{esvect} % voir la doc pour les différents styles
\usepackage{esint}
\let\overrightarrow\vv
\newcommand{\grad}{\overrightarrow{\mathrm{grad}}}
\newcommand{\rot}{\overrightarrow{\mathrm{rot}}}


\usetikzlibrary{arrows}
\usetikzlibrary{shapes.geometric}

\newcommand{\parspace}{\vspace{0.1cm}}
\linespread{1.25}
\geometry{tmargin=.7in, bmargin=.75in, lmargin=.75in, rmargin = .75in}

\begin{document}
\setlength{\parindent}{0mm}

\title{Magnétostatique}
\author{Aubin SIONVILLE}
\date{MPI Clemenceau - 2021-2023}
\maketitle

\centering

\section*{Champ magnétique}

\begin{multicols}{2}
    \subsection*{Force magnétique}
    \[\boxed{\overrightarrow{F} = q\overrightarrow{v}\wedge\overrightarrow{B}}\]

    \subsection*{Permeabilité magnétique du vide}
    \[\boxed{\mu_0 = 4\pi.10^{-7}\,\mathrm{H.m}^{-1}}\]
\end{multicols}

\vspace*{0.3cm}

\begin{multicols}{2}
    \subsection*{Intensité}
    \[\boxed{I \triangleq \frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t}}\]

    \subsection*{Densité de courant}
    \[\boxed{I \triangleq \iint_S \overrightarrow{j}\cdot\mathrm{d}\overrightarrow{S}}\]
\end{multicols}

\vspace*{0.3cm}

\begin{multicols}{2}
    \subsection*{Théorème d'Ampère}
    \[\boxed{\oint \overrightarrow{B}\cdot \mathrm{d}\overrightarrow{l} = \mu_0I_\text{enlacé}}\]
    
    \subsection*{Charge et densité de courant}
    \[\boxed{\delta^2Q = \overrightarrow{j}\cdot\mathrm{d}\overrightarrow{S}\mathrm{d}t}\]
\end{multicols}


\[\boxed{\text{Un plan de symétrie des courants est un plan d'antisymétrie du champ magnétique}}\]
\[\boxed{\text{Un plan d'antisymétrie des courants est un plan de symétrie du champ magnétique}}\]

\vspace*{0.3cm}

\subsection*{Méthode : calculer le champ créé par un objet}
    \begin{itemize}
        \item \textbf{1.} Trouver les plans de symétrie et d'antisymétrie des courants ainsi que les invariances.
        \item \textbf{2.} Trouver un contour d'Ampère adapté (souvent une ligne de champ)
        \item \textbf{3.} Utiliser le théorème d'Ampère pour calculer le champ créé par l'objet
    \end{itemize}

\vspace*{0.3cm}

\section*{Champs magnétiques usuels}

\begin{multicols}{3}
    \subsection*{Fil fin}
    \[\boxed{\overrightarrow{B}(M) = \frac{\mu_0I}{2\pi r}\overrightarrow{e_\theta}}\]
    
    \subsection*{Fil épais de diamètre $R$}
    \[\boxed{
        \begin{array}{c}
            \displaystyle\overrightarrow{B}(r\geq R) = \frac{\mu_0I}{2\pi r}\overrightarrow{e_\theta}\\
            \displaystyle\overrightarrow{B}(r\leq R) = \frac{\mu_0Ir}{2\pi R^2}\overrightarrow{e_\theta}\\
    \end{array}
    }\]

    \subsection*{Solénoïde infini}
    \[\boxed{
        \begin{array}{c}
            \displaystyle \overrightarrow{B}_\mathrm{ext}(r) = \overrightarrow{0}\\
            \displaystyle \overrightarrow{B}_\mathrm{int}(r) = \mu_0nI \overrightarrow{e_z}
        \end{array}
    }\]

\end{multicols}

\vspace*{0.3cm}

\section*{Dipôle magnétique}
\begin{multicols}{2}
    \subsection*{Moment magnétique}
    \[\boxed{\overrightarrow{m} = i \overrightarrow{S}}\]
    
    \subsection*{Moment magnétique d'une bobine}
    \[\boxed{\overrightarrow{m}_\text{bobine} = N\overrightarrow{m}_\text{spire} = N i \overrightarrow{S}}\]
\end{multicols}

\vspace*{0.3cm}

\begin{multicols}{3}
    \subsection*{Force subie par un dipôle dans un champ}
    \[\boxed{\overrightarrow{F} = (\overrightarrow{m}\cdot\grad)\overrightarrow{B}_\text{ext}}\]

    \subsection*{Moment subi par un dipôle dans un champ}
    \[\boxed{\overrightarrow{\mathcal{M}_O} = \overrightarrow{m}\wedge\overrightarrow{B}_\text{ext}}\]

    \subsection*{Energie potentielle d'un dipôle passif}
    \[\boxed{E_p = -\overrightarrow{m}\cdot\overrightarrow{B}_\text{ext}}\]

\end{multicols}

\vspace*{0.3cm}

\subsection*{Champ magnétique d'un dipôle}
\[\boxed{\overrightarrow{B}(r,\theta) = \frac{\mu_0}{4\pi r^3}(2m\cos\theta\overrightarrow{e_r} + m\sin\theta\overrightarrow{e_\theta}) = \frac{\mu_0}{4\pi r^3}(3(\overrightarrow{m}\cdot\overrightarrow{e_r})\overrightarrow{e_r} - \overrightarrow{m})}\]

\end{document}