\documentclass{article}
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\begin{document}
\setlength{\parindent}{0mm}

\title{Intégrales à paramètre}
\author{Aubin SIONVILLE}
\date{MPI Clemenceau - 2021-2023}
\maketitle

\centering Soit une fonction \[\begin{split}f : X \times T &\rightarrow \mathbb{R} \\ (x, t) &\mapsto f(x, t)\end{split}\]

\centering\section*{Continuité}
\[
    \begin{cases}
        \forall t \in T, x \mapsto f(x, t) \text{ est \boxed{continue} sur } X\\
        \Big(\forall x \in X, t \mapsto f(x, t) \text{ est }\textit{cpm} \text{ sur } T\Big) \\
        \exists \varphi \textit { cpm } \text{ et \underline{intégrable} sur } T, \forall (x,t) \in X \times T, |f(x,t)| \leq \varphi(t)
    \end{cases}
    \implies g: x \mapsto \displaystyle\int_T f(x,t)\mathrm{d}t \text{ est continue sur } X
\]
    
\hspace{5cm}
    
\centering\section*{Dérivabilité}
\[
        \begin{cases}
        \forall t \in T, x \mapsto f(x, t) \text{ est } \boxed{\mathcal{C}^1} \text{ sur} X\\
        \forall x \in X, t \mapsto f(x, t) \begin{cases}
            t \mapsto f(x, t) \text{ est \underline{intégrable} } \Big( \textit{et cpm}\Big) \text{ sur } T \\
            \Big(t \mapsto \frac{\partial f}{\partial x}(x, t) \text{ est }\textit{cpm} \text{ sur } T\Big) \\
        \end{cases} \\
        \exists \varphi \textit { cpm } \text{ et \underline{intégrable} sur } T, \forall (x,t) \in X \times T, \Big|\frac{\partial f}{\partial x}(x,t)\Big| \leq \varphi(t)
    \end{cases}
    \implies
    \begin{cases}
        g: x \mapsto \int_T f(x,t)\mathrm{d}t \text{ est } \mathcal{C}^1 \text{ sur } X\\
        g'(x) = \displaystyle\int_T\frac{\partial f}{\partial x}(x,t)\mathrm{d}t\\
    \end{cases}
\]

\hspace{5cm}

\centering\section*{Dérivations successives}
\[
    \begin{cases}
        \forall t \in T, x \mapsto f(x, t) \text{ est } \boxed{\mathcal{C}^k} \text{ sur} X\\
        \forall x \in X, t \mapsto f(x, t) \begin{cases}
            \forall j < k, t \mapsto \frac{\partial^j f}{\partial x^j}(x, t) \text{ est \underline{intégrable} } \Big( \textit{et cpm}\Big) \text{ sur } T \\
            \Big(t \mapsto \frac{\partial^k f}{\partial^k x}(x, t) \text{ est }\textit{cpm} \text{ sur } T\Big) \\
        \end{cases} \\
        \exists \varphi \textit { cpm } \text{ et \underline{intégrable} sur } T, \forall (x,t) \in X \times T, \Big|\frac{\partial^k f}{\partial x^k}(x,t)\Big| \leq \varphi(t)
    \end{cases}
    \implies
    \begin{cases}
        g: x \mapsto \displaystyle\int_T f(x,t)\mathrm{d}t \text{ est } \mathcal{C}^k \text{ sur } X \\
        \forall j < k, g^{(j)}(x) = \displaystyle\int_T\frac{\partial^j f}{\partial x^j}(x,t)\mathrm{d}t\\
    \end{cases}
\]

\end{document}