\documentclass{article}
\usepackage{amssymb, amsmath, geometry, multicol, cancel}
\usepackage[table, svgnames, dvipsnames]{xcolor}
\usepackage{makecell, cellspace, caption}
\usepackage[europeanresistors]{circuitikz}
\usepackage[a]{esvect} % voir la doc pour les différents styles
\usepackage{tikz-3dplot}

\let\overrightarrow\vv


\usetikzlibrary{arrows}
\usetikzlibrary{shapes.geometric}

\newcommand{\parspace}{\vspace{0.1cm}}
\linespread{1.25}
\geometry{tmargin=.7in, bmargin=.75in, lmargin=.75in, rmargin = .75in}

\begin{document}
\setlength{\parindent}{0mm}

\title{Traitement des signaux déterministes - Théorie des fonctions généralisées}
\author{Aubin SIONVILLE}
\date{Télécom St Etienne 2023-2024}

\maketitle

\center

\section*{Delta de Dirac}

\subsection*{Par la fonction de Heaviside}

La dérivée d'une fonction qui passe de 0 à 1 avec une pente est une fonction porte de hauteur croissante et de support décroissant.

\[\boxed{\delta(t) = \lim_{h \to 0} q_h(t)}\]

\subsection*{Définition et intégrale}

\begin{multicols}{2}
    \[\boxed{\delta(t) = \begin{cases}
        +\infty & \text{ si } t = 0 \\
        0 & \text{ sinon}
    \end{cases}}\]

    \[\boxed{\int_{a}^{b} \delta(t)\,\mathrm{d}t = \begin{cases}
        1 & \text{ si } a < 0 < b \\
        0 & \text{ sinon}
    \end{cases}}\]
\end{multicols}

\[\boxed{\int_{-\infty}^{+\infty} \delta(t)\,\mathrm{d}t = \int_0^0 \delta(t)\ \mathrm{d}t = 1 ?\ 0 ?}\]

\subsection*{Représentation graphique}
% Graphe de la fonction de Dirac
\begin{tikzpicture}
    \draw[->] (-3, 0) -- (3, 0) node[below] {$t$};
    \draw[->] (0, -0.5) -- (0, 3) node[left] {$\delta(t)$};
    \draw[domain=-3:-0.0001, smooth, variable=\x, blue] plot ({\x}, {0});
    \draw[domain=0.0001:3, smooth, variable=\x, blue] plot ({\x}, {0});
    % Point en 0
    \draw[fill=blue] (0, 1) circle (0.03);
\end{tikzpicture}

\newpage

\section*{Théorie de la distribution}

\begin{multicols}{2}
    \subsection*{Espace fonctionnel}
    \[\boxed{\text{Espace fonctionnel } \mathbb{F} : \text{Espace vectoriel de fonctions}}\]

    \subsection*{Support d'une fonction}
    \[\boxed{\text{Supp}(f) = \text{Ensemble des points où } f \neq 0}\]
\end{multicols}

\vspace*{0.3cm}

\subsection*{Fonctionnelle}

Une fonctionnelle $T$ sur un espace réel $F$ associe à chaque fonction $\phi$ de $F$ un nombre réel $\left \langle T, \phi \right \rangle$.

\textit{Exemple : $\displaystyle \left \langle T, \phi \right \rangle = \int_\mathbb{R} \phi(t)\,\mathrm{d}t$ où $F$ est l'espace des fonctions sommables.}

\vspace*{0.5cm}

\subsection*{Espace $\mathcal{D}$ : espace des fonctions test}

\[\boxed{\mathcal{D} = \left \{\text{fonctions } \phi \text{ telles que } \phi \text{ est } \mathcal{C}^{\infty} \text{ et } \text{Supp}(\phi) \text{ est un compact} \right \}}\]

\vspace*{0.3cm}

\subsubsection*{Stabilité par produit}

\[\forall \phi \in \mathcal{D}, \forall \psi\ \mathcal{C}^{\infty}, \phi.\psi \in \mathcal{D}\]

\vspace*{0.3cm}

\subsubsection*{Convergence}

\[\boxed{\text{Une suite } \phi_k \in \mathcal{D}^\mathbb{N} \text{ cv vers } \phi \in \mathcal{D} \text{ si } \begin{cases}
    \phi_k \underset{k \to + \infty}{\longrightarrow} \phi \\
    \forall n \in \mathbb{N}, \phi^{(n)}_k \underset{k \to + \infty}{\longrightarrow} \phi^{(n)}\\
    \text{ Il existe un compact } \Omega \text{ tel que } 
    \begin{cases}
        \text{Supp}(\phi_\infty) \subset \Omega \\
        \forall k \in \mathbb{N}, \text{Supp}(\phi_k) \subset \Omega
    \end{cases}
\end{cases}}\]

\vspace*{0.3cm}

\subsubsection*{Continuité et linéarité}

\[\boxed{\text{Une fonctionnelle } T \text{ est continue si pour toute suite } \phi_k \text{ qui cv vers } \phi, \left \langle T, \phi_k \right \rangle \underset{k \to + \infty}{\longrightarrow} \left \langle T, \phi \right \rangle}\]

\vspace*{0.3cm}

\subsection*{Distribution}

\[\boxed{
    \begin{array}{ll}
        \text{Une distribution } T \text{ est une fonctionnelle linéaire et continue sur } \mathcal{D} : \\
        \begin{cases}
            \forall \phi \in \mathcal{D}, \left \langle T, \phi \right \rangle \in \mathbb{C} \\
            \left \langle T, \alpha \phi + \beta \psi \right \rangle = \alpha \left \langle T, \phi \right \rangle + \beta \left \langle T, \psi \right \rangle\\
            \forall \phi_k \in \mathcal{D}^\mathbb{N}, \phi_k \underset{k \to + \infty}{\longrightarrow} \phi \in \mathcal{D} \implies \left \langle T, \phi_k \right \rangle \underset{k \to + \infty}{\longrightarrow} \left \langle T, \phi \right \rangle
        \end{cases}
\end{array}}\]

\[\boxed{\text{En pratique on montre la linéarité puis continue en } 0 \text{ car}
\begin{cases}
    f \text{ linéaire}\\
    f \text{ continue en } 0
\end{cases}
\implies f \text{ continue}}\]

\[\boxed{\text{L'espace des distributions est noté }  \mathcal{D}'}\]

\vspace*{0.3cm}

\subsubsection*{Distributions régulières}

\[\boxed{\left \langle T_f, \phi \right \rangle = \int_\mathbb{R} f(t) \phi(t)\,\mathrm{d}t \text{ où } f : \mathbb{R} \to \mathbb{C} \text{ localement sommable}}\]

\subsubsection*{Support d'une distribution}

\[\boxed{\text{Supp}(T) = \text{Plus petit fermé } K \text{ tel que } \forall \phi \in \mathcal{D}, \left \langle T, \phi \right \rangle = 0 \text{ si } \text{Supp}(\phi) \cap K = \emptyset}\]

\vspace*{0.3cm}

\begin{multicols}{2}
    \subsubsection*{Linéarité}
    \[\boxed{\langle \lambda T_1 + \mu T_2, \phi \rangle = \lambda \langle T_1, \phi \rangle + \mu \langle T_2, \phi \rangle}\]
    
    \subsubsection*{Translation}
    $\forall x \in \mathbb{R}, \tau_a f(x) = f(x - a)$
    \[\boxed{\langle \tau_a T, \phi \rangle = \langle T, \tau_{-a} \phi \rangle}\]

    \subsubsection*{Fonction paire}
    Si $f$ est paire alors $f(-x) = f(x)$
    \[\boxed{\begin{array}{l}
        \langle d_{-1} T, \phi(x) \rangle = \langle T, \phi(x) \rangle \\
        \implies d_{-1} T = T
    \end{array}}\]

    \subsubsection*{Unicité}
    \[\boxed{\langle T_1, \phi \rangle = \langle T_2, \phi \rangle \implies T_1 = T_2}\]

    \subsubsection*{Dilatation}
    $\forall x \in \mathbb{R}, d_a f(x) = f(ax)$
    \[\boxed{\langle d_a T, \phi \rangle = \frac{1}{|a|} \bigg\langle T, \phi \bigg(\frac{x}{a}\bigg) \bigg\rangle}\]

    \subsubsection*{Fonction impaire}
    Si $f$ est impaire alors $f(-x) = -f(x)$
    \[\boxed{\begin{array}{l}
        \langle d_{-1} T, \phi(x) \rangle = -\langle T, \phi(x) \rangle \\
        \implies d_{-1} T = -T
    \end{array}}\]
\end{multicols}

\subsubsection*{Produit par une fonction $\mathcal{C}^{\infty}$}
\textit{NB : Ici $\varphi$ n'est pas forcément à support compact}
\[\boxed{\langle \psi T, \phi \rangle = \langle T, \psi \phi \rangle}\]

\vspace*{0.5cm}

\section*{Valeur principale de Cauchy}

\[\boxed{\text{v.p.} \int_{a}^{b} f(t)\,\mathrm{d}t = \lim_{\varepsilon \to 0} \bigg(\int_{a}^{\xi - \varepsilon} f(t)\,\mathrm{d}t + \int_{\xi + \varepsilon}^{b} f(t)\,\mathrm{d}t \bigg)}\]

Si la limite existe, on dit que l'intégrale est convergente au sens de la valeur principale de Cauchy.

\newpage

\section*{Distribution de Dirac}

\begin{multicols}{2}
    \subsection*{Définition de $\delta$}
    \[\boxed{\forall \phi \in \mathcal{D}, \left \langle \delta, \phi \right \rangle = \phi(0)}\]

    \subsection*{Définition de $\delta_a$}
    $\delta_a$ est la distribution de Dirac centrée en $a$.
    \[\boxed{\forall \phi \in \mathcal{D}, \left \langle \delta_a, \phi \right \rangle = \phi(a)}\]
\end{multicols}

\subsection*{Notation}

\begin{multicols}{2}
    \[\boxed{\delta(x) \Leftrightarrow \delta}\]

    \[\boxed{\delta(x - a) \Leftrightarrow \delta_a}\]
\end{multicols}

\vspace*{0.5cm}

\section*{Dérivation de la distribution}

\[\boxed{\forall \phi \in \mathcal{D}, \left \langle T', \phi \right \rangle = -\left \langle T, \phi' \right \rangle}\]

\begin{multicols}{2}
    \subsection*{Dérivée de la distribution de Dirac}
    \[\boxed{\langle \delta_a^{(n)}, \phi \rangle = (-1)^n \langle \delta_a, \phi^{(n)} \rangle = (-1)^n \phi^{(n)}(a)}\]

    \subsection*{Dérivée de la distribution de Heaviside}
    \[\boxed{\langle T_H', \phi \rangle = \langle \delta, \phi \rangle = \phi(0) \quad \text{ donc } \quad T_H' = \delta}\]
\end{multicols}

\vspace*{0.3cm}

\subsection*{Dérivée discontinue du point de vue des distributions}
Soit $f$ une fonction discontinue en $a$ et en $b$, $\sigma_a$ et $\sigma_b$ les "magnitudes des sauts" en $a$ et $b$.
\[\boxed{\langle T_f', \phi \rangle = \sigma_a \phi(a) + \sigma_b \phi(b) + \langle T_{f'}, \phi \rangle}\]

Formule générale :
\[\boxed{T_f' = T_{f'} + \sum_{i=1}^{n} \sigma_i \delta_{a_i}}\]

\subsection*{Dérivée du produit}
\[\boxed{(\psi.T)' = \psi.T' + \psi'.T}\]

\vspace*{0.3cm}

\subsection*{Equation de distribution}
Soit $f$ une fonction $\mathcal{C}^{\infty}$ telle que $\displaystyle \frac{1}{f}$ soit $\mathcal{C}^\infty$ aussi, $T$ une distribution inconnue et $S$ une distribution connue.
\begin{multicols}{2}
    \subsubsection*{Solution particulière}
    \[\boxed{f.T = S \iff T_{p} = \frac{S}{f}}\]

    \subsubsection*{Equation homogène}
    \[\boxed{f.T_0 = 0 \iff T_0 = \begin{cases}
        0 & \text{si } \forall x \in \mathbb{R}, f(x) \neq 0 \\
        k\delta_a & \text{si } f(a) = 0
    \end{cases}}\]
\end{multicols}


\end{document}