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\begin{document}
\setlength{\parindent}{0mm}

\title{Probabilité Et Statistiques - Convergence Des Variables Aléatoires}
\author{Aubin SIONVILLE}
\date{Télécom St Etienne 2023-2024}

\maketitle

\center

\section*{Convergence presque sûre}

\subsection*{Définition}
Soit $(X_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite de variables aléatoires réelles.
\[\boxed{X_n \overset{\mathrm{p.s.}}{\underset{n\rightarrow+\infty}{\longrightarrow}} X \iff \mathbb{P}\left(\left\{\omega \in \Omega, \lim\limits_{n \to +\infty} X_n(\omega) = X(\omega) \right\}\right) = 1}\]

\vspace*{0.3cm}

\subsection*{Corollaire}
\[\boxed{X_n \overset{\mathrm{p.s.}}{\underset{n\rightarrow+\infty}{\longrightarrow}} X \iff \forall \varepsilon > 0, \mathbb{P}\left(\lim\limits_{n \to +\infty} \left|X_n - X\right| \geq \varepsilon\right) = 0}\]

\vspace*{0.5cm}

\subsection*{Propriétés}

\vspace*{0.3cm}

\subsection*{Linéarité}
\[\boxed{
    \begin{cases}
        X_n \overset{\mathrm{p.s.}}{\underset{n\rightarrow+\infty}{\longrightarrow}} X \\
        Y_n \overset{\mathrm{p.s.}}{\underset{n\rightarrow+\infty}{\longrightarrow}} Y
    \end{cases} \implies \alpha X_n + \beta Y_n \overset{\mathrm{p.s.}}{\underset{n\rightarrow+\infty}{\longrightarrow}} \alpha X + \beta Y
    }\]

\vspace*{0.3cm}

\subsection*{Utilisation avec des fonctions continues}
\[\boxed{
    \begin{cases}
        X_n \overset{\mathrm{p.s.}}{\underset{n\rightarrow+\infty}{\longrightarrow}} X \\
        f \in \mathcal{C}^0(\mathbb{R})
    \end{cases} \implies f(X_n) \overset{\mathrm{p.s.}}{\underset{n\rightarrow+\infty}{\longrightarrow}} f(X)
}\]
        
\newpage

\section*{Convergence dans $\mathrm{L}^p$}

\subsection*{Définition}

Soit $(X_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite de variables aléatoires réelles.

\[\boxed{X_n \overset{\mathrm{L}^p}{\underset{n\rightarrow+\infty}{\longrightarrow}} X \iff \mathbb{E}\left[\left|X_n - X\right|^p\right] \underset{n\rightarrow+\infty}{\longrightarrow} 0}\]

\vspace*{0.5cm}

\subsection*{Propriétés}

\vspace*{0.3cm}

\subsection*{Linéarité}
\[\boxed{
    \begin{cases}
        X_n \overset{\mathrm{L}^p}{\underset{n\rightarrow+\infty}{\longrightarrow}} X \\
        Y_n \overset{\mathrm{L}^p}{\underset{n\rightarrow+\infty}{\longrightarrow}} Y
    \end{cases} \implies \alpha X_n + \beta Y_n \overset{\mathrm{L}^p}{\underset{n\rightarrow+\infty}{\longrightarrow}} \alpha X + \beta Y
}\]

\vspace*{0.3cm}

\subsection*{Normalisation de l'espace}
\[\boxed{\mathrm{L}^p \text{ est complet pour } p \geq 1 \text{ pour la norme } ||.||_p}\]

\vspace*{0.3cm}

\subsection*{Convergence en espace plus petit}
\[\boxed{\left( p \leq q \right) \implies \left( X_n \overset{\mathrm{L}^q}{\underset{n\rightarrow+\infty}{\longrightarrow}} X \implies X_n \overset{\mathrm{L}^p}{\underset{n\rightarrow+\infty}{\longrightarrow}} X \right)}\]

\vspace*{0.3cm}

\subsection*{Convergence de l'espérance}
\[\boxed{\left(X_n \overset{\mathrm{L}^1}{\underset{n\rightarrow+\infty}{\longrightarrow}} X\right) \implies \left(\mathbb{E}\left[X_n\right] \underset{n\rightarrow+\infty}{\longrightarrow} \mathbb{E}\left[X\right]\right)}\]

\newpage

\section*{Convergence en probabilité}

\subsection*{Définition}

Soit $(X_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite de variables aléatoires réelles.

\[\boxed{X_n \overset{\mathbb{P}}{\underset{n\rightarrow+\infty}{\longrightarrow}} X \iff \forall \varepsilon > 0, \mathbb{P}\left(\left\{\omega \in \Omega, \left|X_n - X\right| > \varepsilon\right\}\right) \underset{n\rightarrow+\infty}{\longrightarrow} 0}\]

\vspace*{0.5cm}

\subsection*{Propriétés}

\vspace*{0.3cm}

\subsection*{Linéarité}
\[\boxed{
    \begin{cases}
        X_n \overset{\mathbb{P}}{\underset{n\rightarrow+\infty}{\longrightarrow}} X \\
        Y_n \overset{\mathbb{P}}{\underset{n\rightarrow+\infty}{\longrightarrow}} Y
    \end{cases} \implies \alpha X_n + \beta Y_n \overset{\mathbb{P}}{\underset{n\rightarrow+\infty}{\longrightarrow}} \alpha X + \beta Y
}\]

\vspace*{0.3cm}

\subsection*{Réciproques partielles}
\[\boxed{X_n \overset{\mathbb{P}}{\underset{n\rightarrow+\infty}{\longrightarrow}} X \implies \begin{array}{l}
    \text{Il existe une sous-suite } (X_{\varphi(n)})_{n \in \mathbb{N}}\\
    \text{ telle que } X_{\varphi(n)} \overset{\mathrm{p.s.}}{\underset{n\rightarrow+\infty}{\longrightarrow}} X
\end{array}}\]

\vspace*{0.3cm}

\subsection*{Utilisation avec des fonctions continues}
\[\boxed{
    \begin{cases}
        X_n \overset{\mathbb{P}}{\underset{n\rightarrow+\infty}{\longrightarrow}} X \\
        f \in \mathcal{C}^0(\mathbb{R})
    \end{cases} \implies f(X_n) \overset{\mathbb{P}}{\underset{n\rightarrow+\infty}{\longrightarrow}} f(X)
}\]

\vspace*{0.3cm}

\subsection*{Convergence dans $\mathrm{L}^p$ par borne uniforme}
\[\boxed{
    \begin{cases}
        X_n \overset{\mathbb{P}}{\underset{n\rightarrow+\infty}{\longrightarrow}} X \\
        \exists Y \in \mathrm{L}^p, \forall n \in \mathbb{N}, \left|X_n\right| \leq Y
    \end{cases} \implies
    \begin{cases}
        X \in \mathrm{L}^p \\
        X_n \overset{\mathrm{L}^p}{\underset{n\rightarrow+\infty}{\longrightarrow}} X
    \end{cases}
}\]

\newpage

\section*{Convergence en loi}

\subsection*{Définition}

Soit $(X_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite de variables aléatoires réelles.

\[\boxed{X_n \overset{\mathcal{L}}{\underset{n\rightarrow+\infty}{\longrightarrow}} X \iff \lim \limits_{n \to +\infty} \mathbb{E}[f(X_n)] = \mathbb{E}[f(X)] \text{ pour toute fonction continue bornée } f}\]

\vspace*{0.5cm}

\subsection*{Propriétés}

\vspace*{0.3cm}

\subsection*{Linéarité}
\[\boxed{
    \begin{cases}
        X_n \overset{\mathcal{L}}{\underset{n\rightarrow+\infty}{\longrightarrow}} X \\
        Y_n \overset{\mathcal{L}}{\underset{n\rightarrow+\infty}{\longrightarrow}} Y
    \end{cases} \implies \alpha X_n + \beta Y_n \overset{\mathcal{L}}{\underset{n\rightarrow+\infty}{\longrightarrow}} \alpha X + \beta Y
}\]

\vspace*{0.3cm}

\subsection*{Utilisation avec des fonctions continues}
\[\boxed{
    \begin{cases}
        X_n \overset{\mathcal{L}}{\underset{n\rightarrow+\infty}{\longrightarrow}} X \\
        f \in \mathcal{C}^0(\mathbb{R})
    \end{cases} \implies f(X_n) \overset{\mathcal{L}}{\underset{n\rightarrow+\infty}{\longrightarrow}} f(X)
}\]

\vspace*{0.3cm}

\subsection*{Lemme de Slutsky}
Soit $(X_n)_{n \in \mathbb{N}}$ et $(Y_n)_{n \in \mathbb{N}}$ deux suites de variables aléatoires réelles.

\[\boxed{
    \begin{cases}
        X_n \overset{\mathcal{L}}{\underset{n\rightarrow+\infty}{\longrightarrow}} X \\
        Y_n \overset{\mathcal{L}}{\underset{n\rightarrow+\infty}{\longrightarrow}} \lambda
    \end{cases} \implies \begin{cases}
        X_n + Y_n \overset{\mathcal{L}}{\underset{n\rightarrow+\infty}{\longrightarrow}} X + \lambda \\
        X_n Y_n \overset{\mathcal{L}}{\underset{n\rightarrow+\infty}{\longrightarrow}} \lambda X
    \end{cases}
}\]

\vspace*{0.3cm}

\subsection*{Convergence en loi et fonction de répartition}

\[\boxed{X_n \overset{\mathcal{L}}{\underset{n\rightarrow+\infty}{\longrightarrow}} X \implies
\begin{array}{l}
    \text{Pour tout } x \text{ telle que } F_X(x) = F_X(x^-),\\
    \lim \limits_{n \to +\infty} \mathbb{P}(F_{X_n}(x) = F_X(x))
\end{array}}\]

\subsection*{Convergence en loi et fonction caractéristique}
Remarque : Valable avec des vecteurs aléatoires de $\mathbb{R}^d$

\begin{multicols}{2}
    \subsubsection*{Premier théorème de Levy}
    \[\boxed{X_n \overset{\mathcal{L}}{\underset{n\rightarrow+\infty}{\longrightarrow}} X \iff \forall t \in \mathbb{R}, \varphi_{X_n}(t) \underset{n\rightarrow+\infty}{\longrightarrow} \varphi_X(t)}\]
    
    \subsubsection*{Théorème}
    \[\boxed{\begin{cases}
        \varphi_{X_n}(t) \underset{n\rightarrow+\infty}{\longrightarrow} \varphi(t) \\
        \varphi \text{ est continue en } 0
    \end{cases} \implies
    \begin{array}{l}
        \exists X \text{ tq } \varphi_X = \varphi\\
        \text{ et alors } X_n \overset{\mathcal{L}}{\underset{n\rightarrow+\infty}{\longrightarrow}} X
    \end{array}}\]
\end{multicols}

\newpage

\section*{Relations entre les différents types de convergence}

\vspace*{0.5cm}

\begin{tikzpicture}[scale=1.5]
    \centering
    \tikzstyle{every node}=[font=\LARGE]
    \draw  (2.5,10.5) circle (1.25cm);
    \draw  (6.25,6.75) circle (1.25cm);
    \draw  (10,10.5) circle (1.25cm);
    \draw  (6.25,1.75) circle (1.25cm);
    \node at (2.5,10.5) {$X_n \overset{\mathrm{p.s.}}{\underset{n\rightarrow+\infty}{\longrightarrow}} X$};
    \node at (10,10.5) {$X_n \overset{\mathrm{L}^p}{\underset{n\rightarrow+\infty}{\longrightarrow}} X$};
    \node at (6.25,6.75) {$X_n \overset{\mathbb{P}}{\underset{n\rightarrow+\infty}{\longrightarrow}} X$};
    \node at (6.25,1.75) {$X_n \overset{\mathcal{L}}{\underset{n\rightarrow+\infty}{\longrightarrow}} X$};
    % PS -> Loi
    \draw [->, >=Stealth] (2.5,9.25) .. controls (2.75,7.25) and (2,3) .. (5,1.75);
    % Lp -> Loi (symétrique)
    \draw [->, >=Stealth] (10,9.25) .. controls (9.75,7.25) and (10.5,3) .. (7.5,1.75);
    % Proba -> Loi (direct)
    \draw [->, >=Stealth] (6.25,5.5) .. controls (6.25,4.5) and (6.25,3.5) .. (6.25,3);
    % PS -> Proba (direct)
    \draw [->, >=Stealth] (3.25,9.5) .. controls (4.25,8.5) and (4.25,8.5) .. (5.25,7.5);
    % Lp -> Proba (symétrique)
    \draw [->, >=Stealth] (9.25,9.5) .. controls (8.25,8.5) and (8.25,8.5) .. (7.25,7.5);
\end{tikzpicture}
\end{document}