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\begin{document}
\setlength{\parindent}{0mm}

\title{Traitement des signaux déterministes - Echantillonnage}
\author{Aubin SIONVILLE}
\date{Télécom St Etienne 2023-2024}

\maketitle

\center

\section*{Théorème d'échantillonnage de Shannon}

\subsection*{Énoncé}

\[\boxed{\begin{array}{l}
    \text{Une fonction } f \text{ dont la TF est à support dans } [-U_0, U_0]\\
    \text{est entièrement déterminée par ses valeurs en } x = nT \text{ où } \displaystyle T \leqslant \frac{1}{2U_0} \text{ et } n \in \mathbb{Z}
\end{array}}\]

\subsection*{Preuve}

\begin{multicols}{2}
    On prend $F$ l'échantillonnage de $f$ :
    \[\boxed{F(x) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} f(nT)\delta(x-nT) = f(x)\sum_{n=-\infty}^{+\infty} \delta(x-nT)}\]
    
    Alors
    \[\boxed{\widehat{F}(u) = \widehat{f}(u) \ast {\sum_{n=-\infty}^{+\infty} \frac{1}{T} \delta(u-\frac{n}{T})}}\]
\end{multicols}

En prenant $\displaystyle \frac{1}{T} > 2U_0$, \textbf{les patterns ne se chevauchent pas} et on peut retrouver $f$ à partir de $F$ :

On pose $\displaystyle \widehat{g}(u) = \begin{cases}
    1 & \text{si } |u| \leqslant U_0\\
    0 & \text{si } |u| > U_0 + \frac{1}{T}\\
\end{cases}$ \\
Alors $\displaystyle\frac{1}{T}\widehat{f}(u) = \widehat{g}(u)\widehat{F}(u)$\\
Donc $\displaystyle \frac{1}{T}f(x) = g(x) \ast F(x)$\\
Donc $\displaystyle f(x) = T \sum_{n=-\infty}^{+\infty} f(nT)g(x-nT)$\\

Donc \[\boxed{f(x) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} f\left(\frac{n}{2U_0}\right) \frac{\sin(2\pi U_0x-nT)}{2\pi U_0x-nT}}\]

Et cette fonctionne est une formule \textbf{d'interpolation exacte}.

\end{document}