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\begin{document}
\setlength{\parindent}{0mm}

\title{Morphologie Mathématique - Extrema Régionaux}
\author{Aubin SIONVILLE}
\date{Télécom St Etienne 2024-2025}

\maketitle

\center

\section*{Extrema régionaux}

\begin{multicols}{2}
    \subsection*{Minimum régional}
    \[\boxed{
        \begin{array}{c}
            M \text{ min rég. de niveau } t :\\
            \begin{cases}
                M \text{ est connecté }\\
                \forall x \in M, f(x) = t\\
                \forall y \in \delta^{(1)}(M)\setminus M, f(y) > t
            \end{cases}
        \end{array}
    }\]

    \subsection*{Maximum régional}
    \[\boxed{
        \begin{array}{c}
            M \text{ max rég. de niveau } t :\\
            \begin{cases}
                M \text{ est connecté }\\
                \forall x \in M, f(x) = t\\
                \forall y \in \varepsilon^{(1)}(M)\setminus M, f(y) < t
            \end{cases}
        \end{array}
    }\]
\end{multicols}

\section*{Extraction des extrema régionaux}

\vspace{-0.1cm}
\textit{Avec Matlab :} \texttt{imregionalmin} / \texttt{imregionalmax}
\vspace{-0.1cm}

\begin{multicols}{2}
    \subsection*{Extraction des minima régionaux}
    \[\boxed{MINR(f) = \mathfrak{R}_f^\varepsilon(f+1) - f}\]
    
    \subsection*{Extraction des maxima régionaux}
    \[\boxed{MAXR(f) = f - \mathfrak{R}_f^\delta(f-1)}\]
\end{multicols}

\section*{$h$-extrema régionaux}

\vspace{-0.1cm}
\textit{Avec Matlab :} \texttt{imextendedmin} / \texttt{imextendedmax} \textit{(sortie en niveaux de gris)}
\vspace{-0.1cm}

\begin{multicols}{2}
    \subsection*{Transformée $HMIN_h$}
    \[\boxed{HMIN_h(f) = \mathfrak{R}_f^\varepsilon(f+h)}\]

    \subsection*{Transformée $HMAX_h$}
    \[\boxed{HMAX_h(f) = \mathfrak{R}_f^\delta(f-h)}\]
\end{multicols}

\section*{Transformées de convexité/concavité}

\begin{multicols}{2}
    \subsection*{Transformée $HCONCAVE_h$}
    \[\boxed{HCONCAVE_h(f) = HMIN_h(f) - f}\]

    \subsection*{Transformée $HCONVEX_h$}
    \[\boxed{HCONVEX_h(f) = f - HMAX_h(f)}\]
\end{multicols}

\section*{Maxima régionaux étendus}

\vspace{-0.1cm}
\textit{Avec Matlab :} \texttt{imextendedmin} / \texttt{imextendedmax} \textit{(sortie binaire)}
\vspace{-0.1cm}

\begin{multicols}{2}
    \subsection*{Minima régionaux étendus}
    \[\boxed{MINE(f) = MINR\left[HMIN_h(f)\right]}\]

    \subsection*{Maxima régionaux étendus}
    \[\boxed{MAXE(f) = MAXR\left[HMAX_h(f)\right]}\]
\end{multicols}

\end{document}