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\begin{document}
\setlength{\parindent}{0mm}

\title{Traitement des signaux déterministes - Equations de convolution}
\author{Aubin SIONVILLE}
\date{Télécom St Etienne 2023-2024}

\maketitle

\center

\section*{Problème de Cauchy}

On veut résoudre $f'(t) + \alpha f(t) = 0$ avec $f(0) = f_0$.

En prenant la vision des distributions, on a : $F(t) = H(t)f(t)$\\

\vspace*{0.1cm}

Et la dérivée de la distribution $F$ est $\displaystyle\boxed{F'(t) = H(t)f'(t) + \delta f(0)}$\\

\vspace*{0.1cm}

Alors 
\[\begin{array}{ll}
    F'(t) + \alpha F(t) & = H(t)f'(t) + \delta f(0) + \alpha H(t)f(t) = 0\\
    & = H(t)(f'(t) + \alpha f(t)) + \delta f(0) = 0\\
    & = \delta f(0) = 0
\end{array}\]

\vspace*{0.1cm}

Conclusion :
\[\boxed{f'(t) + \alpha f(t) = 0 \iff (\delta' + \alpha\delta) * F = f_0\delta}\]

\vspace*{0.5cm}

\section*{Equation de convolution}

\subsection*{Définition}

\[\boxed{A*X=B}\]
où $A$ et $B$ sont des distributions connues et $X$ est une distribution inconnue.\\

\vspace*{0.3cm}

\begin{multicols}{2}
    \subsection*{Inverse de convolution}
    
    L'inverse de convolution de $A$ est définie telle que :
    \[\boxed{A * A^{-1} = \delta}\]
    
    
    \subsection*{Distribution de Green}
    
    La distribution de Green de $A$ est définie telle que :
    \[\boxed{A * G = \delta}\]
\end{multicols}

\subsection*{Algèbre de Convolution}

\[\boxed{\mathcal{A} \text{ est une algèbre de convolution si } : \begin{cases}
    \mathcal{A} \text{ est un e.v. de distributions}\\
    \mathcal{A} \text{ est stable par convolution : } \forall (T_1, T_2) \in \mathcal{A}^2, T_1 * T_2 \in \mathcal{A}\\
    \text{La convolution est associative dans } \mathcal{A}\\
\end{cases}}\]

Le neutre de la convolution est la distribution $\delta$.

Exemple d'algèbre de convolution : $\mathcal{D}'(\mathbb{R}_+)$.

Nb : Si $A \in \mathcal{A}$ et $G \in \mathcal{A}$, alors $G = A^{-1}$.

Utilisation : $A*X=B$ donc $X \in \mathcal{A}$ et $X = A^{-1} * B$.

\subsection*{Solution de l'équation de convolution et distribution de Green}

\[\boxed{A * X = B \iff X = X_0 + G * B}\]

\vspace*{0.3cm}

\subsection*{Equation différentielle linéaire à coefficients constants}

\[\boxed{D_n X(x) = Y(x)}\]
où $D_n$ est l'opérateur différentiel d'ordre $n$ et $Y$ est une distribution connue.
\[\boxed{D_n = \sum_{p=0}^n a_p \dfrac{\mathrm{d}^p}{\mathrm{d}x^p}}\]
Où $a_n = 1$.

On veut résoudre maintenant l'équation $d_n * X(x) = Y(x)$.
\[\boxed{d_n = \sum_{p=0}^n a_p \delta^{(p)}}\]

Alors il existe des $p_n$ tels que :
\[\boxed{d_n^{-1} = \mathlarger{\mathlarger{\mathlarger{*}}}_{p=0}^n H(x)e^{p_n x}}\]

Et alors $\boxed{X = d_n^{-1} * Y}$.

\vspace*{0.3cm}

\subsection*{Equation intégrale}

On veut résoudre l'équation $\displaystyle f(x) + \int_0^x f(t)k(x-t)\mathrm{d}t = g(x)$\\
où $k$ et $g$ sont des fonctions connues.

On pose alors $F = H.f,\quad\quad G=H.g, \quad\quad K = H.k$.

Alors l'équation devient $\boxed{F + K * F = G}$.

Et alors $(\delta + K) * F = G$ et finalement $\boxed{F = (\delta + K)^{-1} * G}$.

\vspace*{0.3cm}

\subsection*{Conclusion}

Pour un système linéaire, invariant et continu, si $S$ la sortie et $H$ la réponse impulsionnelle du système, on peut connaître la réponse à n'importe quelle entrée $E$ :
\[\boxed{S = H * E}\]

\end{document}