\documentclass{article}
\usepackage{amssymb, amsmath, geometry, multicol, cancel}
\usepackage[table, svgnames, dvipsnames]{xcolor}
\usepackage{makecell, cellspace, caption}
\usepackage[europeanresistors]{circuitikz}
\usepackage[a]{esvect} % voir la doc pour les différents styles
\usepackage{tikz-3dplot}
\usepackage{relsize}

\let\overrightarrow\vv


\usetikzlibrary{arrows}
\usetikzlibrary{shapes.geometric}

\newcommand{\parspace}{\vspace{0.1cm}}
\linespread{1.25}
\geometry{tmargin=.7in, bmargin=.75in, lmargin=.75in, rmargin = .75in}

\begin{document}
\setlength{\parindent}{0mm}

\title{Traitement des signaux déterministes - Transformée En Ondelettes}
\author{Aubin SIONVILLE}
\date{Télécom St Etienne 2023-2024}

\maketitle

\center

\section*{Limites de la transformée de Fourier}

\subsection*{Localisation temps / fréquence}
La transformée de Fourier donne une bonne description des signaux stationnaires, mais elle ne permet pas de décrire les signaux non stationnaires (signaux dont les caractéristiques varient dans le temps).\\

Solution : utiliser une fenêtre glissante pour décrire le signal.\\

Problème : $F^-_u [f(t)\Pi(t)] = F_u [f(t)] * F_u [\Pi(t)]$ et $F_u [\Pi(t)]$ est le sinus cardinal, qui génère donc une distortion...\\

\section*{Le fenêtrage (\textit{Short Time Fourier Transform})}

\subsection*{Définition}

\[\boxed{STFT(x(t)) = \int_{-\infty}^{+\infty} \omega(t-\tau)x(t)e^{2i\pi ft}\mathrm{d}t = \widehat X(\tau, f)}\]

Il faut maintenant choisir la bonne largeur de fenêtre.\\

\subsection*{Diagramme temps / fréquence}

On peut représenter le signal dans un diagramme temps / fréquence, avec l'axe des abscisses représentant les fréquences et l'axe des ordonnées représentant le temps.\\
On se sert ensuite de ce diagramme pour déterminer si la fenêtre choisie est adaptée ou non.\\

\subsection*{Contraction du signal}

\begin{multicols}{2}
    \subsubsection*{Domaine temporel}
    On pose $s < 1$ le facteur de contraction temporelle.
    \[\boxed{f_s(t) = \frac{1}{\sqrt{s}}f \left( \frac{t}{s} \right)}\]
    La contraction se fait à énergie constante : $ \displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} |f_s(t)|^2 \mathrm{d}t = \int_{-\infty}^{+\infty} |f(t)|^2 \mathrm{d}t$\\
    
    \subsubsection*{Domaine fréquentiel}
    Si on fait la transformée de Fourier de $f_s(t)$, on obtient :
    \[\boxed{\widehat{f_s}(t) = \sqrt{s}\widehat f(st)}\]
\end{multicols}

\subsection*{Principe d'Heisenberg}
On peut appliquer le principe d'incertitude d'Heisenberg au domaine du traitement du signal, en disant que l'on ne peut pas connaître avec précision la fréquence et le temps.
\[\boxed{\Delta t \Delta f = Cste}\]

\subsection*{Localisation dans en temps et en fréquence}
\begin{multicols}{2}[Pour contrer le principe d'incertitude d'Heisenberg, on le localiste en temps et en fréquence :]
    \paragraph*{$\bar{f}$ : fréquence moyenne}
    \[\boxed{\bar{f} = \frac{1}{||f||^2} \int_{-\infty}^{+\infty} t|f(t)|^2 \mathrm{d}t}\]    
    \paragraph*{$\bar{\omega}$ : pulsation moyenne}
    \[\boxed{\bar{\omega} = \frac{1}{2\pi||f||^2} \int_{-\infty}^{+\infty} \omega|\widehat f(\omega)|^2 \mathrm{d}\omega}\]
\end{multicols}

\begin{multicols}{2}[\subsection*{Variances}]
    \[\boxed{\sigma_t^2 = \frac{1}{||f||^2} \int_{-\infty}^{+\infty} (t-\bar{f})^2 |f(t)|^2 \mathrm{d}t}\]
    \[\boxed{\sigma_\omega^2 = \frac{1}{2\pi||f||^2} \int_{-\infty}^{+\infty} (\omega-\bar{\omega})^2 |\widehat f(\omega)|^2 \mathrm{d}\omega}\]
\end{multicols}

\[\boxed{\sigma_t^2 \sigma_\omega^2 = ??}\]

\vspace*{0.5cm}

\section*{Principe de la transformée en ondelettes}

\subsection*{Paramètres de la transformée en ondelettes}

\begin{multicols}{2}
    \subsection*{$a$ : facteur d'échelle}
    $a$ petit $\iff$ hautes fréquences\\
    $a$ grand $\iff$ basses fréquences\\
    \subsection*{$b$ : facteur de translation}
    $b$ petit $\iff$ fenêtre tôt dans le temps\\
    $b$ grand $\iff$ fenêtre tard dans le temps\\
\end{multicols}

\vspace*{0.5cm}

\section*{Transformée en ondelettes et Séries de Fourier}

La Série de Fourier d'un signal associé à la distribution $T$ est
\[\boxed{T(x) = \sum_{k=-\infty}^{+\infty} C_n e^{i\frac{2\pi}{T}nx}}\]

Où les coefficients $C_n$ sont donnés par
\[\boxed{C_n = \frac{1}{T}\int_a^a+T f_0(x)e^{-i\frac{2\pi}{T}nx}\mathrm{d}x}\]

\end{document}