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\begin{document}
\setlength{\parindent}{0mm}

\title{Traitement des signaux déterministes - Convolution}
\author{Aubin SIONVILLE}
\date{Télécom St Etienne 2023-2024}

\maketitle

\center

\section*{Convolution de fonctions}

\subsection*{Signal d'un détecteur}

Si un capteur mesure $f(x)$ entre $\bigg[\displaystyle x-\frac{a}{2}, x+\frac{a}{2}\bigg]$, alors le signal mesuré est :
\[\boxed{h(x) = \frac{1}{a}\int_{x-\frac{a}{2}}^{x+\frac{a}{2}}f(x')\mathrm{d}x'}\]

Soit $u=x-x'$ et $g(u) = \displaystyle \frac{1}{a} \prod_a(u)$, alors $h$ est la convolution de $g$ par $f$, noté $h=f*g$ : 
\[\boxed{h(x) = \int_{-\infty}^{+\infty}f(x-u)g(u)\mathrm{d}u}\]

Lorsque $a$ tend vers 0, $g$ tend vers une distribution de Dirac.

\subsection*{Réponse impulsionnelle}

Si le système est linéaire et invariant, la réponse impulsionnelle donne la réponse à tout signal d'entrée :
\[\boxed{y(t) = h(t)*x(t)}\]

\begin{multicols}{2}
    \subsection*{Commutativité}
    \[\boxed{f*g = g*f}\]
    
    \subsection*{Translation}
    \[\boxed{h(x-a) = f(x)*g(x-a) = f(x+a)*g(x)}\]

    \subsection*{Associativité}
    \[\boxed{f*(g_1+g_2) = f*g_1 + f*g_2}\]

    \subsection*{Différentiation}
    \[\boxed{(f*g)' = f'*g = f*g'}\]
\end{multicols}

\subsection*{Convolution avec Heaviside}

Si $f^+ = H(x)f(x)$ et $g^+ = H(x)g(x)$, alors :
\begin{multicols}{2}
    \[\boxed{(f*g)^+ = f^+*g^+}\]

    \[\boxed{h(x) = H(x)\int_0^{+\infty}f(x')g(x-x')\mathrm{d}x'}\]
\end{multicols}

\section*{Convolution de distributions}

\subsection*{Définition}

\[\boxed{\langle S * T, \phi \rangle = \langle S(x), \langle T(y), \phi(x+y) \rangle \rangle}\]

\[\boxed{I = \iint_{-\infty}^{+\infty}f(x)g(y)\phi(x+y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y}\]

Et en posant $x = u$ et $y = v-u$ :
\[\boxed{I = \iint_{-\infty}^{+\infty}f(u)g(v-u)\phi(v)\mathrm{d}u\mathrm{d}v = \int_{-\infty}^{+\infty}\phi(v)\mathrm{d}v \int_{-\infty}^{+\infty}f(u)g(v-u)\mathrm{d}u}\]

\vspace*{0.3cm}

\subsection*{Attention : pas de translation dans les fonctions tests}

\underline{Si $\phi(x)$ est à support compact, $\phi(x+y)$ ne l'est pas forcément.}

\vspace*{0.3cm}

\begin{multicols}{3}
    \subsection*{Commutativité}
    \[\boxed{S * T = T * S}\]

    \subsection*{Associativité}
    \[\boxed{S * (T_1 + T_2) = S * T_1 + S * T_2}\]

    \subsection*{Différentiation}
    \[\boxed{(S*T)' = S'*T = S*T'}\]
\end{multicols}

\vspace*{0.3cm}

\subsection*{Convolution par une distribution de Dirac}
Convoluer par $\delta$ ne change rien, convoluer par $\delta_a$ translate de $a$.

\begin{multicols}{2}
    \[\boxed{\delta * T = T}\]

    \[\boxed{\langle \delta_a * T, \phi \rangle = \langle \tau_a T(x), \phi(x) \rangle}\]
\end{multicols}

\subsubsection*{Convolution par une distribution de Dirac dérivée}
Convoluer par $\delta'$ dérive la distribution.
\begin{multicols}{2}
    \[\boxed{\langle \delta' * T, \phi \rangle = -\langle T(x), \phi'(x) \rangle = \langle T'(x), \phi(x) \rangle}\]
    
    \[\boxed{\Big\langle \delta^{(n)} * T, \phi \Big\rangle = \Big\langle T^{(n)}(x), \phi(x) \Big\rangle}\]
\end{multicols}

\end{document}