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\begin{document}
\setlength{\parindent}{0mm}

\title{Probabilité Et Statistiques - Lois De Probabilités Discrètes}
\author{Aubin SIONVILLE}
\date{Télécom St Etienne 2023-2024}

\maketitle

\center

\section*{Lois Usuelles}

\subsection*{Loi de Bernoulli : $X \sim \mathcal{B}(p)$}

Épreuve de Bernoulli de paramètre $p$ (et d'échec $q = 1-p$).

\begin{multicols}{4}
    \[\boxed{X(\Omega) = \{0, 1\}}\]

    \[\boxed{P(X = k) = p^k (1+p)^{1-k}}\]

    \[\boxed{\forall n, E(X^n) = p}\]

    \[\boxed{V(X) = p(1-p)}\]
\end{multicols}

\vspace*{0.3cm}

\subsection*{Loi Binomiale : $X \sim \mathcal{B}(n, p)$}

Nombre de succès parmi $n$ épreuves de Bernoulli indépendantes de probabilité de succès $p$ (et d'échec $q = 1-p$).

\begin{multicols}{4}
    \[\boxed{X(\Omega) = \llbracket 0, n \rrbracket}\]

    \[\boxed{P(X = k) = \binom{n}{k}p^k q^{n-k}}\]
    
    \[\boxed{E(X) = np}\]

    \[\boxed{V(X) = npq}\]
\end{multicols}

\subsection*{Loi de Poisson : $X \sim \mathcal{P}(\lambda)$}

Nombre de succès rares dans un intervalle de temps fixé.

\begin{multicols}{4}
    \[\boxed{X(\Omega) = \mathbb{N}}\]
    
    \[\boxed{P(X = k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}}\]
    
    \[\boxed{E(X) = \lambda}\]

    \[\boxed{V(X) = \lambda}\]
\end{multicols}

\section*{Stabilités par la somme}

\underline{Sous réserve d'indépendance} :

\begin{multicols}{3}
    \[\boxed{\displaystyle \sum_{i=1}^n \mathcal{B}(p_i) = \mathcal{B}\left(\sum_{i=1}^n p_i\right)}\]
    
    \[\boxed{\displaystyle \sum_{i=1}^n \mathcal{B}(n_i, p) = \mathcal{B}\left(\sum_{i=1}^n n_i, p\right)}\]

    \[\boxed{\displaystyle \sum_{i=1}^n \mathcal{P}(\lambda_i) = \mathcal{P}\left(\sum_{i=1}^n \lambda_i\right)}\]
\end{multicols}

\vspace*{0.5cm}

\section*{Produit de convolution}

\paragraph*{Produit de convolution}
\[\boxed{X_1 \text{ et } X_2 \text{ sont indépendantes} \implies \mathbb{P}_{X_1+X_2} = \mathbb{P}_{X_1}\! * \mathbb{P}_{X_2}}\]

\begin{multicols}{2}
    \paragraph*{Produit de $\delta$ de Dirac}
    \[\boxed{\delta_a * \delta_b = \delta_{a+b}}\]

    \paragraph*{Distributivité par rapport à l'addition}
    \[\boxed{(\mathbb{P}_{X_1} + \mathbb{P}_{X_2}) * \mathbb{P}_{X_3} = (\mathbb{P}_{X_1} * \mathbb{P}_{X_3}) + (\mathbb{P}_{X_2} * \mathbb{P}_{X_3})}\]
\end{multicols}

\end{document}