\documentclass{article}
\usepackage{amssymb, amsmath, geometry, multicol, stmaryrd, cancel, centernot}
\usepackage[table, svgnames, dvipsnames]{xcolor}
\usepackage{makecell, cellspace, caption}
\usepackage[europeanresistors]{circuitikz}
\usepackage[a]{esvect} % voir la doc pour les différents styles
\usepackage{tikz-3dplot}

\let\overrightarrow\vv


\usetikzlibrary{arrows}
\usetikzlibrary{shapes.geometric}

\newcommand{\independant}{\perp\!\!\!\perp}
\newcommand{\parspace}{\vspace{0.1cm}}
\linespread{1.25}
\geometry{tmargin=.7in, bmargin=.75in, lmargin=.75in, rmargin = .75in}

\begin{document}
\setlength{\parindent}{0mm}

\title{Probabilité Et Statistiques - Variables Aléatoires Réelles À Densité}
\author{Aubin SIONVILLE}
\date{Télécom St Etienne 2023-2024}

\maketitle

\center

\section*{Densité}

\[\boxed{\text{On dit que } X \text{ est une variable aléatoire réelle à densité si } F_X \text{ est continue sur } \mathbb{R} \text{ et dérivable presque partout}}\]

\subsection*{Notation}

\[\mathbb{P}X^{-1} = \mathbb{P}X = \int_\mathbb{R} f_X(x)\mathrm{d}x\]

\vspace*{0.3cm}

\subsection*{Cas des variables aléatoire discrètes}

\underline{Une variable aléatoire discrète $X$ n'admet pas de fonction de répartition car $F_X$ n'est pas continue}\\
\parspace\parspace
Une variable aléatoire discrète admet une densité au sens des distributions

\vspace*{0.3cm}

\subsection*{Définition alternative}

\[\boxed{\begin{array}{l}
    \text{On prend } X \text{ une v.a. réelle.}\\
    \text{S'il existe } f \text{ positive telle que }
    \begin{cases}
        \displaystyle \int_\mathbb{R} f(x)\mathrm{d}x = 1\\
        \displaystyle \forall E, \mathbb{P}(X \in E) = \int_E f(x)\mathrm{d}x
    \end{cases}\\
    \text{ alors } X \text{ est une v.a. réelle à densité et } f_X = f
\end{array}}\]

\vspace*{0.3cm}

\begin{multicols}{2}
    \subsection*{Loi uniforme}
    
    \[\boxed{\begin{array}{l}
        \text{On dit que } X \text{ suit une loi uniforme sur } [0, 1] \mathcal{U}_{[0,1]} \text{ si }\\
        X \text{ admet pour fonction de répartition} :\\
        \displaystyle F_X(x) = \mathbb{P}(X \leq t) \begin{cases}
            0 & \text{ si } t \leq 0\\
            t & \text{ si } t \in [0, 1]\\
            1 & \text{ si } t \geq 1
        \end{cases}
    \end{array}}\]
    
    \subsection*{Lien avec la fonction de répartition}
    
    \[\boxed{\begin{array}{l}
        F_X' = f_X \text{ presque partout et } \lim_{t \to -\infty} F_X(t) = 0\\
        \text{Donc } F_X(t) = \int_{-\infty}^t f_X(x)\mathrm{d}x
    \end{array}}\]
\end{multicols}

\subsection*{Existence de la densité}

\[\boxed{\begin{array}{l}
    \text{Soit } f \text{ positive ou nulle sur } \mathbb{R} \text{ telle que } \displaystyle \int_\mathbb{R} f(x)\mathrm{d}x = 1\\
    \text{Alors il existe }
    \begin{cases}
        \text{Un espace fondamental } \Omega\\
        \text{Une probabilité } \mathbb{P}\\
        \text{Une v.a. réelle à densité } X \text{ de } \Omega \text{ dans } \mathbb{R}
    \end{cases}
    \text{ telle que } f \text{ est la densité de proba de } X 
\end{array}}\]

\section*{Calcul de la probabilité}

On prend $X$ une v.a. réelle et $F_X$ sa fonction de répartition
\begin{multicols}{2}
    \subsection*{Probabilité d'un point}
    \[\boxed{\text{Si } F_X \text{ est continue en } a \text{ alors } \mathbb{P}(X = a) = 0}\]
    
    \[\boxed{\text{Si } X \text{ est à densité, } F_X \text{ est } \mathcal{C}^0 \text{ sur } \mathbb{R} \text{ donc } \forall t \in \mathbb{R}, \mathbb{P}(X = t) = 0}\]

    \subsection*{Probabilité d'un intervalle}
    \[\boxed{
        \text{Alors } P(X \in I_{a,b}) = F_X(b) - F_X(a)}\]
\end{multicols}

\vspace*{0.5cm}

\section*{Espérance}

Soit $X$ une v.a. réelle à densité et $f_X$ sa densité
\[\boxed{\begin{array}{l}
    \text{On dit que } X \text{ admet une espérance si } \displaystyle \int_\mathbb{R} |x|f_X(x)\mathrm{d}x < +\infty\\
    \text{On note alors } \mathbb{E}[X] = \displaystyle \int_\mathbb{R} xf_X(x)\mathrm{d}x
\end{array}}\]

\vspace*{0.3cm}

\subsection*{Formule de transfert}

\[\boxed{\begin{array}{l}
    \text{Soit } X \text{ une v.a. réelle \underline{à densité} et } \psi \text{ une fonction de } \mathbb{R} \text{ dans } \mathbb{R}\\
    \text{Si } \displaystyle \int_\mathbb{R} |\psi(x)|f_X(x)\mathrm{d}x \text{ converge}\\
    \text{Alors } \psi(X) \text{ admet une espérance et } \mathbb{E}[\psi(X)] = \displaystyle \int_\mathbb{R} \psi(x)f_X(x)\mathrm{d}x
\end{array}}\]

\vspace*{0.3cm}

\begin{multicols}{2}
    \subsection*{Moment d'ordre $n$}
    \[\boxed{\mathbb{E}[X^n] = \displaystyle \int_\mathbb{R} x^nf_X(x)\mathrm{d}x}\] 
    
    \subsection*{Linéarité}
    \[\boxed{\mathbb{E}\bigg[\lambda_0 + \sum_{k = 1}^n \lambda_kX_k\bigg] = \lambda_0 + \sum_{k = 1}^n \lambda_k\mathbb{E}[X_k]}\]

\end{multicols}

\vspace*{0.3cm}

\begin{multicols}{2}
    \subsection*{Produit de v.a. indépendantes}
    Si les $X_n$ sont \underline{mutuellement indépendantes},
    \[\boxed{\mathbb{E}\bigg[\prod_{k = 1}^n X_k\bigg] = \prod_{k = 1}^n \mathbb{E}[X_k]}\]

    \subsection*{Produit de v.a. avec des fonctions}
    Si les $X_n$ sont \underline{mutuellement indépendantes} et les $f_n$ sont \underline{bornées},\\
    \[\boxed{\mathbb{E}\bigg[\prod_{k = 1}^n f_k(X_k)\bigg] = \prod_{k = 1}^n \mathbb{E}[f_k(X_k)]}\]
\end{multicols}

\begin{multicols}{2}
    \subsection*{Inégalité de Markov}
    Si $X$ est une v.a. réelle d'espérance finie,
    \[\boxed{\forall a > 0, \mathbb{P}(|X| \geq a) \leq \frac{\mathbb{E}[|X|]}{a}}\]
    
    \subsection*{Variable aléatoire centrée}
    \[\boxed{X \text{ est centrée si } \mathbb{E}[X] = 0}\]
    Pour centrer une v.a. $X$, on pose $Y = X - \mathbb{E}[X]$
\end{multicols}

\section*{Variance}

\[\boxed{\begin{array}{l}
    \text{Soit } X \text{ une v.a. réelle à densité et } f_X \text{ sa densité}\\
    \text{On dit que } X \text{ admet une variance si } \displaystyle \int_\mathbb{R} x^2f_X(x)\mathrm{d}x < +\infty\\
    \text{On note alors } \mathbb{V}(X) = \mathbb{E}\big[(X - \mathbb{E}[X])^2\big] = \mathbb{E}[X^2] - \mathbb{E}[X]^2
\end{array}}\]

\vspace*{0.3cm}

\subsection*{Inégalité de Bienaymé-Tchebychev}
\[\boxed{\begin{array}{l}
    \text{Si } X \text{ est d'epérance et de variance finie},\\
    \displaystyle\forall a > 0, \mathbb{P}(|X - \mathbb{E}(X)| \geq a) \leq \frac{\mathrm{Var}(X)}{a^2}
\end{array}}\]

\vspace*{0.3cm}

\subsection*{Linéarité}
\begin{multicols}{2}
    \[\boxed{\mathrm{Var}\bigg(\sum_{k = 1}^n \lambda_kX_k\bigg) = \sum_{k = 1}^n \lambda_k^2\mathrm{Var}(X_k) + 2\sum_{1 \leq i < j \leq n} \lambda_i\lambda_j\mathrm{Cov}(X_i, X_j)}\]

    Si les $X_n$ sont \underline{mutuellement indépendantes},
    \[\boxed{\mathrm{Var}\bigg(\sum_{k = 1}^n \lambda_kX_k\bigg) = \sum_{k = 1}^n \lambda_k^2\mathrm{Var}(X_k)}\]
\end{multicols}

\vspace*{0.3cm}

\subsection*{Variable aléatoire réelle réduite}
\[\boxed{X \text{ est réduite si } \mathrm{Var}(X) = 1}\]
    
\subsection*{Variable aléatoire réelle centrée réduite}
\[\boxed{X \text{ est centrée réduite si } \mathbb{E}[X] = 0 \text{ et } \mathrm{Var}(X) = 1}\]
Pour centrer et réduire une v.a. $X$, on pose $\displaystyle Y = \frac{X - \mathbb{E}[X]}{\sqrt{\mathrm{Var}(X)}}$

\end{document}
