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\begin{document}
\setlength{\parindent}{0mm}

\title{Probabilité Et Statistiques - Vecteurs Aléatoires}
\author{Aubin SIONVILLE}
\date{Télécom St Etienne 2023-2024}

\maketitle

\center

\section*{Définition}

On appelle \textbf{vecteur aléatoire} toute application $X : \Omega \rightarrow \mathbb{R}^n$.

\section*{Loi d'un vecteur aléatoire}

La loi d'un vecteur aléatoire est équivalente à la donnée de chacune de ses lois marginales.

\subsection*{Loi marginale}
\[\boxed{\mathbb{P}_{X_i}(E) = \mathbb{P}_X(\mathbb{R}^{i-1} \times E \times \mathbb{R}^{n-i})}\]

La loi du vecteur donne les lois marginales, \underline{la réciproque est fausse}.

\vspace*{0.5cm}

\section*{Fonction de répartition}

\subsection*{Définition}
\[\boxed{F_X(t_1, ..., t_n) = \mathbb{P}(X_1 \leq t_1, ..., X_n \leq t_n)}\]

\begin{multicols}{2}
    \subsection*{Limite à gauche}
    \[\boxed{F_X(t_1, ..., t_n) \underset{\forall i, t_i \rightarrow -\infty}{\longrightarrow} 0}\]

    \subsection*{Limite à droite}
    \[\boxed{F_X(t_1, ..., t_n) \underset{\forall i, t_i \rightarrow +\infty}{\longrightarrow} 1}\]
\end{multicols}

\vspace*{0.5cm}

\section*{Fonction caractéristique}

\subsection*{Définition}
\[\boxed{\varphi_X(t) = \mathbb{E}\left[e^{i(t_1X_1 + ... + t_nX_n)}\right]}\]

\begin{multicols}{2}[\subsection*{Propriétés}]
    \[\boxed{\varphi_X \text{ est continue}}\]
    \[\boxed{|\varphi_X| \leq 1}\]
\end{multicols}
\[\boxed{\forall A \in \mathcal{S}_{n}(\mathbb{R}), \forall b \in \mathbb{R}^n, \varphi_{AX + b}(t) = e^{it\langle t,b \rangle }\varphi_X(tA)}\]

\section*{Vecteurs aléatoires discrets}

\subsection*{Définition}
Un vecteur aléatoire $X$ est dit discret s'il ne prend qu'un nombre fini ou dénombrable de valeurs :
\[\boxed{\mathbb{P}_X = \sum_{s \in \mathcal{S}}\mathbb{P}(X=s)\delta_s}\]

\begin{multicols}{2}[\subsection*{Loi marginale}]
    \[\boxed{\mathbb{P}_{X_i}(x) = \sum_{\underset{s_i=x}{s \in X(\Omega)}}\mathbb{P}_X(s)}\]
    \[\boxed{\mathbb{P}_{X_i} = \sum_{s \in X(\Omega)}\Bigg(\sum_{\underset{s_i=x}{s \in X(\Omega)}}\mathbb{P}_X(s)\Bigg)\delta_x}\]
\end{multicols}

\subsection*{Loi de la somme des marginales}
Soit $X = (X_1, X_2)$ et $S = X_1 + X_2$ :
\[\boxed{\mathbb{P}(S = n) = \sum_{k = 0}^n \mathbb{P}(X_1 = k, X_2 = n-k)}\]

\vspace*{0.5cm}

\section*{Vecteurs aléatoires à densité}

\subsection*{Définition}
Un vecteur aléatoire $X$ est dit à densité s'il existe une fonction $f_X$ telle que :
\[\boxed{\mathbb{P}_X = \int_{\mathbb{R}^n}f_X(x)dx}\]
On peut alors écrire $\mathbb{P}_X = f_Xdx$.\\
Évidemment, $\displaystyle \int_{\mathbb{R}^n}f_X(x)dx = 1$.

\subsection*{Densité des composantes}

\begin{multicols}{2}
    \subsubsection*{Cas général}
    Soit $\tilde{x_i} = (x_1, ..., x_{i-1}, x_{i+1}, ..., x_n)$ :
    \[\boxed{f_{X_i}(x) = \int_{\mathbb{R}^{i-1} \times \mathbb{R}^{n-i}}f_X(x_1, ..., x_n)\mathrm{d}\tilde{x_i}}\]
    
    \subsubsection*{Cas d'un couple de variables aléatoires $(X,Y)$}
    \[\boxed{\begin{array}{l}
        f_X(x) = \int_{\mathbb{R}}f_{X,Y}(x,y)dy\\
        f_Y(y) = \int_{\mathbb{R}}f_{X,Y}(x,y)dx
    \end{array}}\]
\end{multicols}

\vspace*{0.3cm}

\subsection*{Loi de la somme des marginales}
Soit $X = (X_1, X_2)$ et $S = X_1 + X_2$ :
\[\boxed{f_S(x) = \int_{\mathbb{R}}f_{X_1,X_2}(u,x-u)du}\]

\section*{Indépendance des composantes}

\subsection*{Définition}
Soit $X$ à densité
\[\boxed{\begin{array}{lll}
    \text{Les } X_1, ..., X_n \text{ sont indépendantes} & \Leftrightarrow &\displaystyle \forall I_i, \mathbb{P}(X_1 \in I_1, ..., X_n \in I_n) = \prod_{i=1}^n\mathbb{P}(X_i \in I_i)\\
    & \Leftrightarrow &\displaystyle \forall (x_1, ..., x_n) \in \mathbb{R}^n, F_X(x_1, ..., x_n) = \prod_{i=1}^nF_{X_i}(x_i)\\
    & \Leftrightarrow &\displaystyle \forall (u_1, ..., u_n) \in \mathbb{R}^n, \varphi_X(u_1, ..., u_n) = \prod_{i=1}^n\varphi_{X_i}(u_i)\\
    & \Leftrightarrow &\displaystyle \mathbb{P}(X = (x_1, ..., x_n)) = \prod_{i=1}^n\mathbb{P}(X_i = x_i) \text{ si } X \text{ est discret}\\
    & \Leftrightarrow &\displaystyle f_X(x_1, ..., x_n) = \prod_{i=1}^nf_{X_i}(x_i) \text{ si } X \text{ est à densité}
\end{array}}\]

\vspace*{0.5cm}

\section*{Lois conditionnelles}

\subsection*{Définitions}
\begin{multicols}{2}
    \subsubsection*{Cas discret}
    Soit $Z = (X,Y)$ un couple de v.a. discrètes.\\
    La loi conditionnelle de $X$ sachant $\{Y = y\}$ est :
    \[\boxed{\mathbb{P}(X=x | Y=y) = \frac{\mathbb{P}(X=x, Y=y)}{\mathbb{P}(Y=y)}}\]

    \subsubsection*{Cas à densité}
    Soit $Z = (X,Y)$ un couple de v.a. à densité.\\
    La densité conditionnelle de $X$ sachant $\{Y = y\}$ est :
    \[\boxed{f_{X|Y=y}(x) = \frac{f_{X,Y}(x,y)}{f_Y(y)}}\]
\end{multicols}
\end{document}