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\usepackage[a]{esvect} % voir la doc pour les différents styles
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\let\overrightarrow\vv


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\newcommand{\parspace}{\vspace{0.1cm}}
\linespread{1.25}
\geometry{tmargin=.7in, bmargin=.75in, lmargin=.5in, rmargin = .5in}

\begin{document}
\setlength{\parindent}{0mm}

\title{Signaux Aléatoires - Filtrage}
\author{Aubin SIONVILLE}
\date{Télécom St Etienne 2023-2024}

\maketitle

\center

\section*{Situation}

\begin{tikzpicture}
    % Définition du style des blocs
    \tikzset{block/.style={rectangle, draw, text width=4cm, text centered, minimum height=1.8cm}}

    % Bloc avec les textes \alpha et \beta
    \node[block] (block) {
        $R.I : h$ \\
        \ \\
        Fct de transfert \Large $\widehat H$
    };
    \node at (block.south) [below] {Filtre LIT};

    % Flèche X arrivant par la gauche
    \draw[<-] (block.west) -- ++(-3,0) node[midway, above] {\Large X} node[midway, below] {S.S.L et E.B.S.B};

    % Flèche Y partant de la droite
    \draw[->] (block.east) -- ++(3,0) node[midway, above] {\Large Y};
\end{tikzpicture}

\section*{Transformations}

\begin{multicols}{2}
    \subsection*{Transformation de la moyenne}
    \[\boxed{\mu_Y = \mu_X \sum_m h[m] = \mu_X \widehat{H}(0)}\]
    
    \subsection*{Formule des interférences}
    \[\boxed{r_{Y_1\!Y_2} = h_1 * r_{X_1\!X_2} * h_2^{(-)*}}\]
\end{multicols}

\begin{multicols}{2}
    \subsection*{Transformation de l'autocorrélation}
    \[\boxed{r_{Y\!Y} = h * r_{X\!X} * h^{(-)*}}\]
    
    \subsection*{Intercorrélation entrée/sortie}
    \[\boxed{r_{X\!Y}^s = h * r_{X\!X}^s * \delta = h * r_{X\!X}^s}\]
\end{multicols}

\begin{multicols}{2}
    \subsection*{Implications sur stabilité de $r_{Y\!Y}$}
    \[\boxed{\text{Si } r_{X\!X}[n, n+\tau] = r_{X\!X}^s[\tau] \text{ alors } r_{Y\!Y}[n, n+\tau] = r_{Y\!Y}^s[\tau]}\]

    \subsection*{Implications sur S.S.L}
    \[\boxed{\text{Si } X \text{ est S.S.L alors } Y \text{ est S.S.L et } r_{Y\!Y}^s[\tau] = h * r_{X\!X}^s[\tau] * h^{(-)*}}\]
\end{multicols}

\vspace{0.5cm}

\subsection*{Transformation de la DSP}
D'après la formule des interférences, $r_{Y_1\!Y_2}^s[\tau] = \left(h_1 * r_{X_1\!X_2}^s * h_2^{(-)*}\right)[\tau]$\\
Donc
\[\boxed{\widehat{R}_{Y_1\!Y_2}^s[f] = \widehat{H}_1(f) \widehat{R}_{X_1\!X_2}^s[f] \widehat{H}_2^*(f)}\]

\vspace{1cm}

\section*{Filtrage adapté}
Signal déterministe : $x$ de durée $T = kT_e$\\
Bruit (signal aléatoire additif) : $b$ de variance $\sigma_b^2$\\
Signal reçu : $y = x + b$

\textbf{Filtrage adapté : maximise le rapport signal/bruit sur $T$}

\end{document}