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\begin{document}
\setlength{\parindent}{0mm}

\title{Morphologie Mathématique - Transformations Homotopiques}
\author{Aubin SIONVILLE}
\date{Télécom St Etienne 2024-2025}

\maketitle

\center

\section*{Transformations Homotopiques}

\subsection*{Définition}
Une transformation est \underline{homotopique} si elle conserve le \underline{nombre de composantes connexes} et le \underline{nombre de trous dans chaque composante connexe}, ou si elle \underline{ne modifie pas l'arbre de connexité}.

\vspace*{0.3cm}

\begin{multicols}{2}
    \subsection*{Amincissement/Épaississement homotopique}
    Un amincissement/épaississement est homotopique s'il utilise un élément structurant qui conserve l'homotopie.

    \subsection*{Éléments structurants homotopiques}
    Pixel central : $0$ (amincissement) ou $1$ (épaississement)\\
    L'inversion de la couleur du point central ne change pas la topologie.
\end{multicols}

\subsection*{Applications}
Obtenir le squelette d'un objet\\
Rendre filiforme un objet (ex: texte)\\
Caractériser la topologie d'un objet\\

\vspace*{0.3cm}

\section*{Squelette morphologique}

On veut représenter un objet par un minimum d'information, tout en conservant certaines propriétés.

\subsection*{Propriétés}

\begin{multicols}{2}
    Préservation de la géométrie\\

    Épaisseur nulle\\

    Préservation de la topologie\\

    Invariance aux transformations affines\\

    Réversibilité\\

    Continuité\\
\end{multicols}

\subsection*{Méthodes}

\begin{multicols}{2}
    \textbf{Boules maximales}\\
    Union des centres des boules maximales incluses dans l'objet\\
    Réversible avec les rayons des boules\\
    Non-continuité : sensible aux petits changements\\
    On fait un ébarbulage après\\

    \columnbreak

    \textbf{Squelette discret}\\
    Par ouvertures, amincissements ou zones d'influence\\
    Pas de continuité\\
    Pas toujours préservation de la topologie\\
\end{multicols}

\end{document}