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\begin{document}
\setlength{\parindent}{0mm}

\title{Probabilité Et Statistiques - Fonctions Caractéristiques}
\author{Aubin SIONVILLE}
\date{Télécom St Etienne 2023-2024}

\maketitle

\center

Dans ce chapitre, $X$ est une variable aléatoire réelle.\\
On ne suppose pas que $X$ soit discrète ou continue.

\section*{Définition}

\[\boxed{\varphi_{X}(t) = \mathbb{E}\Big(e^{itX}\Big)}\]

\begin{multicols}{2}
    Si $X$ est discrète et $I = X(\Omega)$, on a :
    \[\boxed{\varphi_{X}(t) = \sum_{k \in I} e^{itk} \mathbb{P}(X = k)}\]
    
    Si $X$ est à densité $f_{X}$, on a :
    \[\boxed{\varphi_{X}(t) = \int_{\mathbb{R}} e^{itx} f_{X}(x) \mathrm{d}x}\]
\end{multicols}

\section*{Propriétés des fonctions caractéristiques}

\subsection*{Continuité et bornitude}
Soit $X$ une v.a. réelle discrète ou à densité, alors
\[\boxed{\begin{cases}
    \varphi_X \text{ est bornée de module inférieur à 1} \\
    \varphi_X \text{ est continue} \\
    \varphi_X(0) = 1 \\
\end{cases}}\]

\begin{multicols}{2}[\subsection*{Dérivabilité}]
    \[\boxed{\varphi_X'(0) = i \mathbb{E}(X)}\]
    \[\boxed{\varphi_X''(0) = - \mathbb{E}(X^2)}\]
\end{multicols}

\subsection*{Unicité par rapport à la loi}
\[\boxed{\varphi(X_1) = \varphi(X_2) \Rightarrow X_1 \text{ et } X_2 \text{ suivent la même loi}}\]

\begin{multicols}{2}
    \subsection*{Somme}
    \underline{Sous réserve d'indépendance} :
    \[\boxed{\varphi_{X_1 + X_2}(t) = \varphi_{X_1}(t) \varphi_{X_2}(t)}\]
    
    \subsection*{Injectivité}
    Soit $X$ une v.a. réelle telle que $\varphi_X$ soit intégrable au sens de Lebesgue, alors $X$ est à densité et :
    \[\boxed{f_X(x) = \frac{1}{2\pi} \int_{\mathbb{R}} \varphi_X(t) e^{-itx} \mathrm{d}t}\]
\end{multicols}

\newpage

\section*{Fonctions caractéristiques usuelles}

\begin{multicols}{2}[\subsection*{Loi de Bernoulli : $X_1 \sim \mathcal{B}(p)$}]
    \[\boxed{\mathbb{P}_{X_1} = (1-p) \delta_0 + p \delta_1}\]
    \[\boxed{\varphi_{X_1}(t) = 1 - p + pe^{it}}\]
\end{multicols}

\vspace*{0.1cm}

\begin{multicols}{2}[\subsection*{Loi binomiale : $X_2 \sim \mathcal{B}(n, p)$}]
    \[\boxed{\mathbb{P}_{X_2} = \sum_{k = 0}^n \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} \delta_k}\]
    \[\boxed{\varphi_{X_2}(t) = (1-p + pe^{it})^n = \varphi_{X_1}^n(t)}\]
\end{multicols}

\vspace*{0.1cm}

\begin{multicols}{2}[\subsection*{Loi de Poisson : $X_3 \sim \mathcal{P}(\lambda)$}]
    \[\boxed{\mathbb{P}_{X_3} = \sum_{k = 0}^{+\infty} \frac{\lambda^k}{k!} e^{-\lambda} \delta_k}\]
    \[\boxed{\varphi_{X_3}(t) = e^{\lambda(e^{it} - 1)}}\]
\end{multicols}

\vspace*{0.1cm}

\begin{multicols}{2}[\subsection*{Loi uniforme : $X_4 \sim \mathcal{U}([a, b])$}]
    \[\boxed{f_{X_4} = \frac{1}{b-a} \mathds{1}_{[a, b]}(x)}\]
    \[\boxed{\varphi_{X_4}(t) = \frac{e^{itb} - e^{ita}}{it(b-a)}}\]
\end{multicols}

\vspace*{0.1cm}

\begin{multicols}{2}[\subsection*{Loi uniforme centrée : $\tilde{X_4} \sim \mathcal{U}([-a, a])$}]
    \[\boxed{f_{\tilde{X_4}} = \frac{1}{2a} \mathds{1}_{[-a, a]}(x)}\]
    \[\boxed{\varphi_{\tilde{X_4}}(t) = \frac{\sin(at)}{at}}\]
\end{multicols}

\vspace*{0.1cm}

\begin{multicols}{2}[\subsection*{Loi exponentielle : $X_5 \sim \mathcal{E}(\lambda)$}]
    \[\boxed{f_{X_5} = \lambda e^{-\lambda x} \mathds{1}_{\mathbb{R}_+}(x)}\]
    \[\boxed{\varphi_{X_5}(t) = \frac{\lambda}{\lambda - it}}\]
\end{multicols}

\vspace*{0.1cm}

\begin{multicols}{2}[\subsection*{Loi normale centrée réduite : $X_6 \sim \mathcal{N}(0, 1)$}]
    \[\boxed{f_{X_6} = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{x^2}{2}}}\]
    \[\boxed{\varphi_{X_6}(t) = e^{-\frac{t^2}{2}}}\]
\end{multicols}

\vspace*{0.1cm}

\begin{multicols}{2}[\subsection*{Loi normale quelconque : $X_7 \sim \mathcal{N}(\mu, \sigma^2)$}]
    \[\boxed{f_{X_7} = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}}\]
    \[\boxed{\varphi_{X_7}(t) = e^{i\mu t - \frac{\sigma^2 t^2}{2}}}\]
\end{multicols}

\end{document}