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\begin{document}
\setlength{\parindent}{0mm}

\title{Probabilité Et Statistiques - Fonctions Génératrices}
\author{Aubin SIONVILLE}
\date{Télécom St Etienne 2023-2024}

\maketitle

\center

\begin{multicols}{2}
    \section*{Définition}
    \[\boxed{G_X(t) = \mathbb{E}\left[t^X\right]}\]
    
    \section*{Propriété importante}
    \[\boxed{\forall k \in \mathbb{N}, \mathbb{P}(X=k) = \frac{G_X^{(k)}(0)}{k!}}\]
\end{multicols}

\vspace*{0.5cm}

\section*{Fonctions génératrices des lois usuelles}

\begin{multicols}{2}
    \[\boxed{X \sim \mathcal{B}(p) \implies G_X(t) = (1-p) + pt}\]

    \[\boxed{X \sim \mathcal{B}(n, p) \implies G_X(t) = (1-p + pt)^n}\]
\end{multicols}


\begin{multicols}{2}
    \[\boxed{X \sim \mathcal{G}(p) \implies G_X(t) = \frac{pt}{1-(1-p)t}}\]

    \[\boxed{X \sim \mathcal{P}(\lambda) \implies G_X(t) = e^{\lambda(t-1)}}\]    
\end{multicols}

\begin{multicols}{2}
    Uniforme

    Triangulaire
\end{multicols}

\begin{multicols}{2}
    Benford

    logarithmique
\end{multicols}


\vspace*{0.5cm}

\section*{Calculs sur les fonctions génératrices}

\subsection*{Fonction génératrice de la somme}

\underline{Sous réserve d'indépendance} :
\[\boxed{G_{X+Y}(t) = G_X(t)G_Y(t)}\]

\begin{multicols}{2}
    \[\boxed{G_X^{(r)}(1^-) = \mathbb{E}[X(X-1)...(X-r+1)]}\]
    
    En particulier, avec $r = 1$
    \[\boxed{\mathbb{E}(X) = G_X'(1^-)}\]
\end{multicols}

\vspace*{0.5cm}

\section*{Somme aléatoire de variables aléatoires}

Soit $T$ une v.a. à valeurs dans $\mathbb{N}$, et $(X_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite de v.a. indépendantes.

\[\boxed{S(\omega) = \sum_{k=1}^{T(\omega)} X_k(\omega)}\]

\vspace*{0.5cm}

\section*{Identité de Wald}

\underline{Sous réserve d'indépendance} :

\begin{multicols}{2}
    Si $X_1$ et $T$ admettent une espérance,
    \[\boxed{\mathbb{E}(S) = \mathbb{E}(X_1)\mathbb{E}(T)}\]

    Si $X_1$ et $T$ admettent un moment d'ordre 2,
    \[\boxed{\text{Var}(S) = \mathbb{E}(T)\text{Var}(X_1) + \mathbb{E}(X_1)^2\ \text{Var}(T)}\]
\end{multicols}
\end{document}