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\begin{document}
\setlength{\parindent}{0mm}

\title{Traitement des signaux déterministes - Transformée De Fourier - Distributions}
\author{Aubin SIONVILLE}
\date{Télécom St Etienne 2023-2024}

\maketitle

\center

\section*{Transformée de Fourier au sens des distributions}

\subsection*{Définition}

\[\boxed{\left \langle \widehat{f}, \varphi \right \rangle = \left \langle f, \widehat{\varphi} \right \rangle}\]

\vspace*{0.3cm}

\subsection*{Espace de Schwartz}
Avec cette définition, l'espace des fonctions tests $\mathcal{D}(\mathbb{R})$ n'est pas stable par transformée de Fourier.\\
Il faut donc prendre un autre espace de fonctions qui soit stable par transformée de Fourier.\\

On définit donc l'espace de Schwartz :
\[\boxed{\mathcal{S}(\mathbb{R}) = \left \lbrace f \in \mathcal{C}^{\infty}(\mathbb{R}), \forall n \in \mathbb{N}, \forall k \in \mathbb{N}, \left \vert x^{n}f^{(k)}(x) \right \vert \xrightarrow[x \rightarrow \pm \infty]{} 0 \right \rbrace}\]

\vspace*{0.3cm}

\subsection*{Distributions tempérées}

\[\boxed{\mathcal{S}'(\mathbb{R}) = \left \lbrace T : \mathcal{S}(\mathbb{R}) \rightarrow \mathbb{R}, \text{ linéaire et continue} \right \rbrace}\]

Avec ces définitions, S est stable par transformée de Fourier :
\[\boxed{\forall \varphi \in \mathcal{S}(\mathbb{R}), \forall T \in \mathcal{S}'(\mathbb{R}), \left \langle \widehat{T}, \varphi \right \rangle = \left \langle T, \widehat{\varphi} \right \rangle}\]

\vspace*{0.3cm}

\subsection*{Transformée de Fourier : distribution régulière}
\[\boxed{\widehat g(u) = \left \langle T, e^{-2i\pi ux} \right \rangle}\]

\vspace*{0.3cm}

\begin{multicols}{2}[\subsection*{Transformée de Fourier : distribution de Dirac}]
    \[\boxed{\widehat \delta(u) = F_u^-(\delta) = \left \langle \delta, e^{-2i\pi ux} \right \rangle = e^{-2i\pi u0} = 1}\]
    \[\boxed{\widehat \delta_a(u) = F_u^-(\delta_a) = \left \langle \delta_a, e^{-2i\pi ux} \right \rangle = e^{-2i\pi ua}}\]
\end{multicols}

\subsection*{Dérivée n-ième de la transformée de Fourier}

\[\boxed{(\widehat f)^{(n)}(u) = \int_{\mathbb{R}} \frac{\mathrm{d}^n}{\mathrm{d}u^n} \left( f(x)e^{-2i\pi ux} \right) \mathrm{d}x = \int_{\mathbb{R}} f(x) \left(-2i\pi x \right)^n e^{-2i\pi ux} \mathrm{d}x}\]

\subsection*{Distribution régulière associée à une fonction}

Soit $f$ une fonction à croissance lente et $\varphi \in \mathcal{S}(\mathbb{R})$, alors :
\[\boxed{\left \langle T_f, \varphi \right \rangle = \int_{\mathbb{R}} f(x) \varphi(x) \mathrm{d}x}\]

\begin{multicols}{2}[\subsection*{Distribution régulière associée à une fonction constante}]
    \[\boxed{F_u^-(T_c) = c\delta_0}\]
    \[\boxed{F_u^-(T'_c) = 2i\pi u F_u^-(T_c) = 0}\]
\end{multicols}

\vspace*{0.3cm}

\subsection*{Transformée de Fourier d'une distribution de $\mathbb{R}^n$}

\[\boxed{\widehat f (\vv{k}) = \int_{\mathbb{R}^n} f(\vv{r}) e^{-2i\pi \vv{k}.\vv{r}} \mathrm{d}\vv{r}}\]

\end{document}