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\begin{document}
\setlength{\parindent}{0mm}

\title{Signaux Aléatoires - Récapitulatif}
\author{Aubin SIONVILLE}
\date{Télécom St Etienne 2023-2024}

\maketitle

\center

\subsection*{Rappels de TSD}
\begin{multicols}{2}
    \textbf{TF[$\cos(\omega_0t)$] : } $\frac{1}{2}[\delta(\omega - \omega_0) + \delta(\omega + \omega_0)]$

    \textbf{TF[$\sin(\omega_0t)$] : } $\frac{1}{2j}[\delta(\omega - \omega_0) - \delta(\omega + \omega_0)]$
\end{multicols}

\subsection*{Moments d'une variable aléatoire}
\begin{multicols}{2}
    \textbf{Moment d'ordre $m$ : } $\mu_m = \mathbb{E}[X^m]$

    \textbf{Moment centré : } $\mu_m^c = \mathbb{E}[(X^c)^m] = \mathbb{E}[(X - \mu)^m]$
\end{multicols}

\vspace{0.5cm}

\subsection*{Statistiques}
\begin{multicols}{2}
    \textbf{Moment d'ordre k : } $\mu_{k,X}[n] = \mathbb{E}[X_n^k]$

    \textbf{Moment centré : } $\mu_{k,X}^c[n] = \mathbb{E}[(X_n^c)^k]$

    \text{Variance : } $\sigma_X^2[n] = \mathbb{E}[(X_n - \mu_X[n])^2] = \mu_{2,X}^c[n]$
\end{multicols}

\vspace{0.5cm}

\subsection*{Statistiques à 2 v.a.}
\begin{multicols}{2}
    \textbf{Moments à 2 v.a : } $\displaystyle\mathbb{E}[X^pY^q] = \int_{\mathbb{R}^2} x^p y^q f_{X,Y}(x, y)dxdy$

    \textbf{Corrélation : } $\displaystyle\mathbb{E}[XY] = \int_{\mathbb{R}^2} xy f_{X,Y}(x, y)dxdy$
    
    \textbf{Covariance : } $\mathrm{Cov}(X_n,Y_m) = \mathbb{E}[(X_n^c)(Y_m^c)]$

    \textbf{Coefficient de corrélation linéaire : } $\displaystyle\rho_{X,Y} = \frac{\mathrm{Cov}(X,Y)}{\sigma_X \sigma_Y} = \frac{\mathbb{E}[X^cY^c]}{\sqrt{\mathbb{E}\left[(X^c)^2\right]}\sqrt{\mathbb{E}\left[(Y^c)^2\right]}}$

    $\mathrm{Cov}(X,Y) = 0 \iff$ non corrélées
\end{multicols}

\vspace{0.5cm}

\subsection*{Auto/Inter corrélation et covariance}
\begin{multicols}{2}
    \textbf{Autocor : } $\displaystyle r_{X\!X}(t_1, t_2) = \mathbb{E}[X_{t_1}X_{t_2}^*]$

    \textbf{Autocov : } $\displaystyle c_{X\!X}(t_1, t_2) = \mathbb{E}[X_{t_1}^cX_{t_2}^{c*}] = r_{X\!X}(t_1, t_2) - \mu_{1,X}\mu_{1,X}^*$
\end{multicols}
    \textbf{Au même instant : } $r_{X\!X}(t, t) = \mu_{2,X}(t)$ et $c_{X\!X}(t, t) = \sigma_X^2$
\begin{multicols}{2}
    \textbf{Intercorr : } $\displaystyle r_{X\!Y}(t_1, t_2) = \mathbb{E}[X_{t_1}Y_{t_2}^*]$

    \textbf{Intercov : } $\displaystyle c_{X\!Y}(t_1, t_2) = \mathbb{E}[X_{t_1}^cY_{t_2}^{c*}] = r_{X\!Y}(t_1, t_2) - \mu_{1,X}\mu_{1,Y}^*$
\end{multicols}

\newpage

\subsection*{Stationnarité}
\begin{multicols}{2}
    \textbf{I.I.D : } Toutes les v.a. sont indés et suivent la même loi
    
    \textbf{S.S.S : } Toutes les stats de tous les ordres sont constantes
\end{multicols}

\textbf{S.S.L : } Moments d'ordre 1 constants ; moments d'ordre 2 constants et finis ; $c_{X\!X}(t_1, t_1+\tau) = c_{X\!X}^s(\tau)$

\vspace{1cm}

\subsection*{Densité spectrale de puissance}
\begin{multicols}{2}
    \textbf{DSP : } TF de l'autocorrélation : $\displaystyle\hat{R}_{X\!X}^s(\nu) = \mathrm{TF}[r_{X\!X}^s[m]] = \sum_{m=-\infty}^{+\infty} r_{X\!X}^s[m]e^{-j2\pi\nu m}$

    \textbf{Puissance d'une suite : } $\displaystyle P_X = r_{X\!X}^s[0] = \int_{-0.5}^{0.5} \hat{R}_{X\!X}^s(\nu)d\nu = \sigma_X^2 + \mu_{1,X}^2$
\end{multicols}

\vspace{1cm}

\subsection*{Ergodicité}
\begin{multicols}{2}
    \textbf{Ergo ordre $n$ : } Valeurs temporelles d'ordre $1$ à $n$ égales aux valeurs statistiques
    
    \textbf{Ergo stricte : } Ergo à tous les ordres
\end{multicols}
\textbf{Ergo forte : } Moyenne temporelle existe et est constante

\vspace{1cm}

\subsection*{Filtrage}
\textbf{Situation : } Entrée S.S.L et E.B.S.B, filtre LIT

\begin{multicols}{2}
    \textbf{Moyenne : } $\mu_Y = \mu_X \sum_m h[m] = \mu_X \widehat{H}(0)$

    \textbf{DSP : } $\widehat{R}_{Y_1\!Y_2}^s[f] = \widehat{H}_1(f) \widehat{R}_{X_1\!X_2}^s[f] \widehat{H}_2^*(f)$
\end{multicols}
\begin{multicols}{2}
    \textbf{Autocorrélation : } $r_{Y\!Y} = h * r_{X\!X} * h^{(-)*}$

    \textbf{Interférences : } $r_{Y_1\!Y_2} = h_1 * r_{X_1\!X_2} * h_2^{(-)*}$
\end{multicols}
\begin{multicols}{2}
    \textbf{Implications stabilité : } Si $r_{X\!X}[n, n+\tau] = r_{X\!X}^s[\tau]$ alors $r_{Y\!Y}[n, n+\tau] = r_{Y\!Y}^s[\tau]$

    \textbf{Implications S.S.L : } Si $X$ est S.S.L alors $Y$ est S.S.L et $r_{Y\!Y}^s[\tau] = h * r_{X\!X}^s[\tau] * h^{(-)*}$
\end{multicols}
\textbf{Filtrage adapté : } Maximise le SNR

\vspace{1cm}

\subsection*{Bruits}
\begin{multicols}{2}
    \textbf{Bruit blanc : } S.S.L, centré, toutes les v.a. sont décorrelées

    \textbf{Bruit blanc gaussien : } I.I.D, centré, $\forall n, X_n \sim \mathcal{N}(0, \sigma^2)$
\end{multicols}

\end{document}