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\begin{document}
\setlength{\parindent}{0mm}

\title{BCD Électronique - Circuits linéaires}
\author{Aubin SIONVILLE}
\date{Télécom St Etienne 2023-2024}

\maketitle

\center

\section*{Dipôles, sources et circuits linéaires}

\subsection*{Dipôles passifs}

    Relation de proportionnalité entre $U$ et $I$ : Résistance

    \vspace*{0.2cm}

    \begin{circuitikz}
        \draw (0,0) to [R] (2,0);
    \end{circuitikz}

    \vspace*{0.2cm}

    Loi d'Ohm : $\boxed{\displaystyle U = RI}$

    \begin{multicols}{2}
        \subsubsection*{Bobine}
        \begin{circuitikz}
            \draw (0,0) to [L] (2,0);
        \end{circuitikz}

        \vspace*{0.2cm}

        Loi : $\boxed{\displaystyle U = L \frac{\mathrm{d}I}{\mathrm{d}t}}$

        \vspace*{0.2cm}

        Energie : $\boxed{\displaystyle E = \frac{1}{2}LI^2}$

        \subsubsection*{Condensateur}

        \begin{circuitikz}
            \draw (0,0) to [C] (2,0);
        \end{circuitikz}

        \vspace*{0.2cm}
        
        Loi : $\boxed{\displaystyle I = C \frac{\mathrm{d}U}{\mathrm{d}t}}$

        \vspace*{0.2cm}

        Energie : $\boxed{\displaystyle E = \frac{1}{2}CU^2}$

    \end{multicols}

\subsection*{Sources d'alimentation}

    Les sources d'alimentation idéales maintiennent une tension ou un courant constant, peut importe le circuit.\\
    Limite du modèle : la source ne peut pas fournir une puissance infinie.

\vspace*{0.5cm}

\section*{Circuits linéaires}

\subsection*{Lois de Kirchhoff}

\begin{multicols}{2}
    \subsubsection*{Lois des nœuds}
    \[\boxed{\displaystyle \sum_{k=1}^n I_k = 0}\]

    \subsubsection*{Lois des mailles}
    \[\boxed{\displaystyle \sum_{k=1}^n U_k = 0}\]
\end{multicols}

\subsection*{Ponts diviseurs}

\begin{multicols}{2}
    \subsubsection*{Pont diviseur de tension}
    \[\boxed{\displaystyle U_1 = \frac{R_1}{R_1+R_2}U}\]

    \subsubsection*{Pont diviseur de courant}
    \[\boxed{\displaystyle I_1 = \frac{R_2}{R_1+R_2}I}\]
\end{multicols}

\begin{multicols}{2}
    \subsubsection*{Générateur de Thévenin}
    % Dessin du générateur de Thévenin
    \begin{circuitikz}
        % Generateur à gauche
        \draw (0,0) to [V, v=$E_{Th}$] (0,2);
        % Résistance en haut
        \draw (0,2) to [R, l=$R_{Th}$, -o] (3,2);
        % Fil en bas
        \draw (0,0) to [short,-o] (3,0);
        % Tension entre les bornes
        \draw[-triangle 45] (3, 0.2) -- (3, 1.8) node[right, midway] {$U$};
    \end{circuitikz}

    \[\boxed{U = E_{Th} - R_{Th}I}\]

    \[\boxed{I = \frac{E_{Th}}{R_{Th}} - \frac{U}{R_{Th}} = I_{cc} - \frac{U}{R_{Th}}}\]

    \[\boxed{E_{th} = U_{I=0} \text{ et } R_{th} = R_{AB, \text{sources eteintes}}}\]

    \subsubsection*{Générateur de Norton}
    \vspace*{0.2cm}
    % Dessin du générateur de Norton
    \begin{circuitikz}
        % Generateur à gauche
        \draw (0,0) to [I, i=$I_{No}$] (0,2);
        % Fil en haut
        \draw (0,2) to [short, -o] (3,2);
        % Fil en bas
        \draw (0,0) to [short,-o] (3,0);
        % Résistance en parallèle
        \draw (1,2) to [R, l=$R_{No}$] (1,0);
        % Tension entre les bornes
        \draw[-triangle 45] (3, 0.2) -- (3, 1.8) node[right, midway] {$U$};
    \end{circuitikz}

    \[\boxed{I = I_{No} - \frac{U}{R_{No}}}\]
    
    \[\boxed{I_{No} = I_{cc} \text{ et } R_{No} = R_{AB, \text{sources court-circuitées}}}\]
\end{multicols}

Pour passer de l'un à l'autre :
\[\boxed{R_{No} = R_{Th}$ et $I_{No} = I_{cc} = \displaystyle\frac{E_{Th}}{R_{Th}}}\]

\vspace*{0.2cm}

\subsubsection*{Relation de Millman}

\[\boxed{\displaystyle \sum \frac{V_i}{R_i} = V_M \sum \frac{1}{R_i}}\]

\vspace*{0.5cm}

\section*{Circuits linéaires en régime harmonique}

\subsection*{Complexes}

\begin{multicols}{2}
    \subsubsection*{Amplitude complexe}
    \[\boxed{e(t) = \underline{E}\exp(j\omega t)}\]
    
    \subsubsection*{Impédances en série}
    \[\boxed{\underline{Z} = \displaystyle \sum \underline{Z}_i}\]

    \subsubsection*{Impédance complexe}
    \[\boxed{\underline{Z} = R\ \bigg|\ jL\omega\ \bigg|\ \displaystyle \frac{1}{jC\omega}}\]

    \subsubsection*{Impédances en parallèle}
    \[\boxed{\displaystyle \frac{1}{\underline{Z}} = \sum \frac{1}{\underline{Z}_i}}\]
\end{multicols}

\end{document}