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\let\overrightarrow\vv

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\begin{document}
\setlength{\parindent}{0mm}

\title{Traitement des signaux déterministes - Séries de Fourier}
\author{Aubin SIONVILLE}
\date{Télécom St Etienne 2023-2024}

\maketitle

\center

\section*{Distributions périodiques}

\subsection*{Définition}
Une distribution est dite périodique s'il existe un réel $a > 0$ tel que
\[\boxed{\forall\phi \in \mathcal{D}, \left\langle T(x), \phi(x) \right\rangle = \left\langle T(x-a), \phi(x) \right\rangle = \left\langle T(x), \phi(x+a) \right\rangle}\]

\subsection*{Distribution Sha}
\begin{multicols}{2}
    \subsubsection*{Définition}
    \[\boxed{\Sh(x) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} \delta(x-n)}\]
    
    \subsubsection*{Transformée de Fourier}
    \[\boxed{\widehat{\Sh}(u) = \sum_{n=-\infty}^{-1} e^{-2i\pi un} + 1 + \sum_{n=1}^{+\infty} e^{-2i\pi un} = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} e^{-2i\pi un}}\]
\end{multicols}

\subsection*{Propriétés}
\begin{multicols}{2}
    \subsubsection*{Invariance par produit de $e^{2i\pi u}$}
    $FT(\Sh)$ est périodique (de période 1) donc
    \[\boxed{e^{2i\pi u}\widehat{\Sh}(u) = \widehat{\Sh}(u)}\]
    
    \subsubsection*{Invariance par transformée de Fourier}
    Il vient alors $e^{2i\pi u}\widehat{\Sh}(u) = \widehat{\Sh}(u)$ et donc
    \[\boxed{\widehat{\Sh}(u) = {\Sh}(u)}\]
\end{multicols}

\subsection*{Généralisation}
On peut généraliser la distribution Sha à une somme de Dirac de période $T$ :
\[\boxed{TF \left[ \sum_{n=-\infty}^{+\infty} \delta(x-nT) \right] = \frac{1}{T} \sum_{n=-\infty}^{+\infty} e^{-2i\pi u\frac{n}{T}}}\]

\vspace*{0.5cm}

\section*{Transformée de Fourier d'une distribution périodique}

\underline{Toute distribution périodique est tempérée et admet une transformée de Fourier} de la forme
\[\boxed{\widehat{T}(u) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} C_n \delta\left(u-\frac{n}{T}\right)}\]

Note : Toute fonction périodique peut s'écrire $\boxed{f(x) = f_0(x) * \Sh_T(x)}$ avec $T$ la période de $f$.

\newpage

\section*{Formule de Poisson}

Soit $f$ une fonction $\displaystyle f(x)*\Sh_T(x) = f(x)*\sum_{n=-\infty}^{+\infty} \delta(x-nT) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} f(x-nT)$

On rappelle que $\displaystyle \left\langle \sum_{n=-\infty}^{+\infty} \delta(x-nT), \phi(x) \right\rangle = \left\langle \sum_{n=-\infty}^{+\infty} \delta(u-n), \widehat{\phi}(u) \right\rangle$

Donc $\displaystyle \sum_{n=-\infty}^{+\infty} \phi(n) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} \sum_{n=-\infty}^{+\infty} \widehat{\phi}(n)$

D'où $\displaystyle \sum_{n=-\infty}^{+\infty} e^{-an^2} = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} \sqrt{\frac{\pi}{a}}e^{\frac{\pi^2n^2}{a}}$

Ce qui permet d'approcher $\sqrt{\pi}$ par $\displaystyle \sum_{n=-\infty}^{+\infty} e^{-n^2}$
\end{document}