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\begin{document}
\setlength{\parindent}{0mm}

\title{Traitement des signaux déterministes - Théorie de la communication}
\author{Aubin SIONVILLE}
\date{Télécom St Etienne 2023-2024}

\maketitle

\center

\section*{Signal énergétique, signal de puissance}

\begin{multicols}{2}
    \paragraph*{Energie}
    
    \[E = \sum_k |x(k)|^2\]
    
    \[E = \int_{-\infty}^{+\infty} |x(t)|^2 \mathrm{d}t\]
    
    \[\boxed{\text{Signal énergétique : } E \text{ est finie et non nulle}}\]
    
    \paragraph*{Puissance}
    
    \[P = \lim_{N \to \infty} \frac{1}{N} \sum_{k=1}^{N} |x(k)|^2\]
    
    \[P = \lim_{T \to \infty} \frac{1}{T} \int_T |x(t)|^2 \mathrm{d}t\]
    
    \[\boxed{\text{Signal de puissance : } P \text{ est finie et non nulle}}\]

\end{multicols}

\underline{On se placera dans le cas de signaux énergétique}

\vspace*{0.5cm}

\section*{Signaux usuels}

\subsection*{Échelon de Heaviside}

\begin{multicols}{2}
    \[\boxed{H(x) = \begin{cases} 0 & \text{ si } x < 0 \\ a \in \mathbb{R} & \text{ si } x = 0 \\ 1 & \text{ si } x \geq 0 \end{cases}}\]

    \begin{tikzpicture}
        \draw[->] (-2,0) -- (2,0) node[right] {$x$};
        \draw[->] (0,-0.5) -- (0,2) node[above] {$H(x)$};
        \draw[domain=-2:0,smooth,variable=\x,blue] plot ({\x},{0});
        \draw[domain=0:2,smooth,variable=\x,blue] plot ({\x},{1});
        \draw (-0.2,0) node[below] {$0$};
        \draw (0,1) node[left] {$1$};
    \end{tikzpicture}
\end{multicols}

\subsection*{Fonction porte}

\begin{multicols}{2}
    \[\boxed{\Pi(x,a,b) = \begin{cases} 0 & \text{ si } x < a \text{ ou } x > b \\ k \in \mathbb{R} & \text{ si } x = a \text{ ou } x = b \\ 1 & \text{ si } a < x < b \end{cases}}\]

    \[\boxed{\Pi(x,a,b) = H(x-a) - H(x-b)}\]

    \begin{tikzpicture}
        \draw[->] (-2,0) -- (2,0) node[right] {$x$};
        \draw[->] (0,-0.5) -- (0,2) node[above] {$\Pi(x,a,b)$};
        \draw[domain=-2:0,smooth,variable=\x,blue] plot ({\x},{0});
        \draw[domain=0:1,smooth,variable=\x,blue] plot ({\x},{1});
        \draw[domain=1:2,smooth,variable=\x,blue] plot ({\x},{0});
        \draw (-0.2,0) node[below] {$a$};
        \draw (0,1) node[left] {$k$};
        \draw (1,0) node[below] {$b$};
    \end{tikzpicture}
\end{multicols}

\newpage

\subsection*{Sinus Cardinal}

\begin{multicols}{2}
    \[\boxed{\text{sinc}(x) = \frac{\sin(x)}{x}}\]

    \begin{tikzpicture}[scale=0.7]
        \draw[->] (-5,0) -- (5,0) node[right] {$x$};
        \draw[->] (0,-1) -- (0,4) node[above] {$\text{sinc}(x)$};
        \draw[domain=-5:5,smooth,variable=\x,blue] plot ({\x},{sin(180*\x)/(\x)});
        \draw (-0.2,0) node[below] {$0$};
    \end{tikzpicture}
\end{multicols}

\vspace*{0.5cm}

\section*{Théorie de Shannon}

L'information est un message pris dans un ensemble de messages possibles/autorisés

Tous les messages ne sont pas équiprobables

\subsection*{Entropie}
\[\boxed{\begin{array}{l}
    \text{Information en nb. de bits contenus en moyenne par message}\\
    \text{lorsque ceux ci sont pris dans l'ensemble en respectant les statistiques}
\end{array}}\]

\vspace*{0.5cm}

\section*{Outils mathématiques}

- Les fonctions

- Les distributions

\end{document}