\documentclass{article}
\usepackage{amssymb, amsmath, geometry, multicol, stmaryrd, cancel, centernot}
\usepackage[table, svgnames, dvipsnames]{xcolor}
\usepackage{makecell, cellspace, caption}
\usepackage[europeanresistors]{circuitikz}
\usepackage[a]{esvect} % voir la doc pour les différents styles
\usepackage{tikz-3dplot}
\usepackage{dsfont}

\let\overrightarrow\vv


\usetikzlibrary{arrows}
\usetikzlibrary{shapes.geometric}

\newcommand{\independant}{\perp\!\!\!\perp}
\newcommand{\parspace}{\vspace{0.1cm}}
\linespread{1.25}
\geometry{tmargin=.7in, bmargin=.75in, lmargin=.5in, rmargin = .5in}

\begin{document}
\setlength{\parindent}{0mm}

\title{Signaux Aléatoires - Stationnarité Et Ergodicité}
\author{Aubin SIONVILLE}
\date{Télécom St Etienne 2023-2024}

\maketitle

\center

\section*{Stationnarité}

\subsection*{Stationnarité au sens strict}

\[\boxed{
    \begin{array}{l}
        \text{Un signal est \textbf{S.S.S.} si} :\\
        \cdot\quad\text{Moments d'ordre 1 constants : } \forall t, \mathbb{E}[X_t] = \mu_{1,X}\\
        \cdot\quad\text{Moments d'ordre 2 constants : } \forall t, \mathbb{E}[X_t^2] = \mu_{2,X}\\
        \cdot\quad\text{Variance constante : } \forall t, \mathbb{E}[|X_t^c|^2] = \sigma_X^2\\
        \cdot\quad\text{Autocovariance ne dépend que de l'écart : } c_{X\!X}(t_1, t_1+\tau) = c_{X\!X}^s(\tau)\\
        .\ .\ .\\
        \text{En gros \textbf{toutes les statistiques de tous les ordres sont constantes}}
    \end{array}
}\]

\vspace{0.5cm}

\subsection*{Stationnarité au sens large}
\[\boxed{
    \begin{array}{l}
        \text{Un signal est \textbf{S.S.L.} si} :\\
        \cdot\quad\text{Moments d'ordre 1 constants : } \forall t, \mathbb{E}[X_t] = \mu_{1,X}\\
        \cdot\quad\text{Moments d'ordre 2 constants et finis : } \forall t, \mathbb{E}[X_t^2] = \mu_{2,X} < \infty\\
        \cdot\quad\text{Autocovariance ne dépend que de l'écart : } c_{X\!X}(t_1, t_1+\tau) = c_{X\!X}^s(\tau)\\
    \end{array}
}\]

\vspace{0.5cm}
Un signal peut être stationnaire à l'ordre 2 sans être stationnaire à l'ordre 1.\\
IID $\implies$ S.S.S. $\implies$ S.S.L.

\vspace*{1cm}

\section*{Densité spectrale de puissance}

\[\boxed{
    \begin{array}{l}
        \textbf{La DSP est la transformée de Fourier de l'autocorrélation} :\\
        \displaystyle\hat{R}_{X\!X}^s(\nu) = \mathrm{TF}[r_{X\!X}^s[m]] = \sum_{m=-\infty}^{+\infty} r_{X\!X}^s[m]e^{-j2\pi}\\
    \end{array}
}\]

\subsection*{Puissance d'une suite aléatoire}
\[\boxed{P_X = r_{X\!X}^s[0] = \int_{-0.5}^{0.5} \hat{R}_{X\!X}^s(\nu)d\nu = \sigma_X^2 + \mu_{1,X}^2}\]

\newpage

\section*{Statistiques temporelles}
\textbf{Attentions ces valeurs peuvent différentes d'un instant à l'autre}

\begin{multicols}{2}
    \subsection*{Moments d'ordre $m$}
    \[\boxed{\bar{x}_m \lim_{N\to\infty} \frac{1}{N}\sum_{n=-\frac{N}{2}}^{\frac{N}{2}} x[n]^m}\]

    \subsection*{Moments centrés d'ordre $m$}
    \[\boxed{\bar{x}_m^c \lim_{N\to\infty} \frac{1}{N}\sum_{n=-\frac{N}{2}}^{\frac{N}{2}} \left(x[n] - \bar{x}_1\right)^m}\]
\end{multicols}

\subsection*{Fonction d'autocovariance}
\[\boxed{\bar{xx}[m] \lim_{N\to\infty} \frac{1}{N}\sum_{n=-\frac{N}{2}}^{\frac{N}{2}} \left(x[n] - \bar{x}_1\right)\left(x[n+\tau] - \bar{x}_1\right)}\]

\vspace{1cm}

\section*{Ergodicité}

\subsection*{Ergodicité à l'ordre $n$}
\[\boxed{\text{Un signal est ergodique à l'ordre } n \text{ si les grandeurs temporelles des ordres } 1 \text{ à } n \text{ sont égales aux grandeurs statistiques}}\]

\subsection*{Ergodicité au sens strict}
\[\boxed{\text{Un signal est ergodique au sens strict si il est ergodique à tous les ordres}}\]

\subsection*{Ergodicité forte}
\[\boxed{\text{Un signal est fortement ergodique si la moyenne temporelle existe et possède la même valeur } \bar{x}}\]
Si le signal est aussi stationnaire à l'ordre 1 : $\mathbb{E}[X_t] = \mu_{X}$

\end{document}