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\begin{document}
\setlength{\parindent}{0mm}

\title{Morphologie Mathématique - Opérateurs Et Filtrage}
\author{Aubin SIONVILLE}
\date{Télécom St Etienne 2024-2025}

\maketitle

\center

\section*{Érosion et Dilatation}
\textit{Érosion et dilatation sont duales mais pas inverses.}

\begin{multicols}{2}
    \subsection*{Érosion binaire}
    \[\boxed{\varepsilon_B(X) = \left\{x \in E, B_x \subseteq X\right\}}\]

    \subsection*{Érosion fonctionnelle}
    \[\boxed{\varepsilon_t(f)(x) = \underset{y \in T}{\min_{x+y \in D}}\left\{f(x+y)\right\}}\]

    \subsection*{Dilatation binaire}
    \[\boxed{\delta_B(X) = \left\{x \in E, B_x \cap X \neq \emptyset\right\}}\]

    \subsection*{Dilatation fonctionnelle}
    \[\boxed{\delta_t(f)(x) = \underset{y \in T}{\max_{x+y \in D}}\left\{f(x+y)\right\}}\]
\end{multicols}

\vspace*{0.3cm}

\section*{Ouverture et Fermeture}

\textit{Filtres non linéaires}

\begin{multicols}{2}
    \subsection*{Ouverture}
    \textit{Anti-extensif + Idempotent}\\
    \textit{Supprime les petits éléments, gros objets partiellement conservés.}
    \[\boxed{\gamma_B(X) = X \circ B = \delta_B(\varepsilon_B(X))}\]

    \subsection*{Fermeture}
    \textit{Extensif + Idempotent}\\
    \textit{Comble les petits trous, ferme les détroits, gros trous partiellement conservés.}
    \[\boxed{\phi_B(X) = X \bullet B = \varepsilon_{\breve{B}}(\delta_B(X))}\]
\end{multicols}

\vspace*{0.3cm}

\section*{Top-Hat et Bottom-Hat}

\begin{multicols}{2}
    \subsection*{Top-Hat}
    \textit{Anti-extensif + Idempotent}\\
    \[\boxed{\text{TH}_B(f) = f - \gamma_B(f)}\]

    \subsection*{Bottom-Hat (\textit{Top-Hat inversé})}
    \textit{Idempotent}\\
    \[\boxed{\text{BH}_B(f) = \phi_B(f) - f}\]
\end{multicols}

\newpage

\section*{Applications}

\subsection*{Érodé ultime}

On effectue des érosions successives jusqu'à ne plus rien avoir.\\
L'érodé ultime est alors l'union des composantes connexes qui disparaissent d'une érosion à l'autre.

\vspace*{0.3cm}

\subsection*{Gradient de Beucher}
\[\boxed{\rho_t(f) = \delta_t(f) - \varepsilon_t(f)}\]

\vspace*{0.1cm}

\begin{multicols}{2}
    \subsection*{Demi-gradient par érosion (interne)}
    \[\boxed{\rho_t^-(f) = f - \varepsilon_t(f)}\]
    
    \subsection*{Demi-gradient par dilatation (externe)}
    \[\boxed{\rho_t^+(f) = \delta_t(f) - f}\]
\end{multicols}

\vspace*{0.3cm}

\subsection*{Opérateur de lissage}
\[\boxed{\zeta_t(f) = \frac{\delta_t(f) + \varepsilon_t(f)}{2}}\]

\vspace*{0.3cm}

\subsection*{Opérateur de covariance}

Pour mesurer la covariance, on mesure le volume de l'objet après érosion par une paire de points.
\vspace*{-0.1cm}
\[\boxed{K\left(f, P_{1,\vec{v}}\right) = \mathrm{Vol}\left[\varepsilon_{P_{1,\vec{v}}}(f)\right], \quad\quad P_{1,\vec{v}} = \vec{0} \cup \vec{v}}\]

\vspace*{0.3cm}

\subsection*{Filtres alternés séquentiels}

Les filtres alternés séquentiels sont des filtres qui alternent ouverture/fermeture de taille croissante.

Exemple :
\vspace*{-0.1cm}
\[\boxed{FAS = \phi_{i} \circ \gamma_{i} \ldots \circ \phi_{2} \circ \gamma_{2} \circ \phi_{1} \circ \gamma_{1}}\]

\vspace*{0.3cm}

\subsection*{Analyse granulométrique}

L'analyse granulométrique permet de mesurer la taille des objets d'une image.\\
En effectuant des ouvertures de taille croissante \underline{sur l'image originale}, on peut mesurer la taille des objets qui disparaissent et ainsi obtenir une distribution de taille des objets.
\end{document}