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\begin{document}
\setlength{\parindent}{0mm}

\title{Probabilité Et Statistiques - Récap Eval}
\author{Aubin SIONVILLE}
\date{Télécom St Etienne 2023-2024}

\maketitle

\center

\section*{Lois discrètes}

\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}
    \textbf{Loi}  & \textbf{Probabilité} & \textbf{Fonction génératrice} & \textbf{Fonction caractéristique} & \textbf{Espérance} & \textbf{Variance}\\
    \text{Bernoulli} & \mathbb{P}(X=k) = p^k q^{1-k} & (1-p)+pt & (1-p)+pe^{it} & p & pq\\
    \text{Binomiale} & \mathbb{P}(X=k) = \displaystyle \binom{n}{k}p^k q^{n-k} & (1-p+pt)^n & ((1-p)+e^{it})^n & np & npq\\
    \text{Poisson} & \mathbb{P}(X=k) = \displaystyle\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda} & e^{\lambda(t-1)} & e^{\lambda(e^{it}-1)} & \lambda & \lambda\\
\end{array}\]

\vspace*{0.5cm}

\section*{Lois continues}
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}
    \textbf{Loi}  & \textbf{Fonction de répartition} & \textbf{Densité} & \textbf{Fonction caractéristique} & \textbf{Espérance} & \textbf{Variance}\\
    \text{Uniforme} & \displaystyle\frac{x-a}{b-a}\mathds{1}_{[a,b]}(x) & \displaystyle\frac{1}{b-a}\mathds{1}_{[a,b]}(x) & \displaystyle\frac{e^{itb}-e^{ita}}{it(b-a)} & \displaystyle\frac{a+b}{2} & \displaystyle\frac{(b-a)^2}{12}\\
    \text{Exponentielle} & 1-e^{-\lambda x}\mathds{1}_{[0,+\infty[}(x) & \displaystyle\lambda e^{-\lambda x}\mathds{1}_{[0,+\infty[}(x) & \displaystyle\frac{\lambda}{\lambda - it} & \displaystyle\frac{1}{\lambda} & \displaystyle\frac{1}{\lambda^2}\\
    \text{Normale} & \displaystyle\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\int_{-\infty}^x e^{-\frac{(t-m)^2}{2\sigma^2}}dt & \displaystyle\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}e^{-\frac{(x-m)^2}{2\sigma^2}} & \displaystyle e^{itm-\frac{\sigma^2t^2}{2}} & m & \sigma^2\\
    \text{Normale centrée réduite} & \displaystyle\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^x e^{-\frac{t^2}{2}}dt & \displaystyle\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}} & e^{-\frac{t^2}{2}} & 0 & 1\\
\end{array}\]

\vspace*{0.5cm}

\section*{Définitions}

\textbf{Variable aléatoire} : Fonction de $\Omega$ dans $X(\Omega)$\\
\textbf{Variable aléatoire discrète} : Variable aléatoire à valeurs dans un ensemble fini ou dénombrable\\
\textbf{Variable aléatoire continue} : Variable aléatoire à valeurs dans un ensemble non dénombrable\\
\textbf{Fonction de répartition} : $F_X(x) := \mathbb{P}(X \leq x)$\\
\textbf{Densité} : $f_X(x) := \displaystyle\frac{\mathrm{d}F_X}{\mathrm{d}x}(x)$\\
\textbf{Conditions pour que $X$ admette une densité} : $F_X$ est continue partout et dérivable presque partout\\
\textbf{Fonction génératrice} : $G_X(t) := \mathbb{E}[t^X]$\\
\textbf{Fonction génératrice, espérance et variance} : $G_X(1) = 1$, $G_X'(1) = \mathbb{E}[X]$ et $G_X''(1) = \mathbb{E}[X(X-1)] + \mathbb{E}[X] - \mathbb{E}[X]^2 = \mathbb{V}[X]$\\
\textbf{Fonction caractéristique} : $\varphi_X(t) := \mathbb{E}[e^{itX}] = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} e^{itx}f_X(x)dx$\\
\textbf{Espérance} : $\mathbb{E}[X] = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} xf_X(x)dx$\\
\textbf{Variance} : $\mathbb{V}[X] = \mathbb{E}[(X-\mathbb{E}[X])^2] = \mathbb{E}[X^2] - \mathbb{E}[X]^2$\\
\textbf{Covariance} : $\mathrm{Cov}[X,Y] = \mathbb{E}[(X-\mathbb{E}[X])(Y-\mathbb{E}[Y])] = \mathbb{E}[XY] - \mathbb{E}[X]\mathbb{E}[Y]$\\



\end{document}