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\begin{document}
\setlength{\parindent}{0mm}

\title{Traitement des signaux déterministes - Transformée De Laplace}
\author{Aubin SIONVILLE}
\date{Télécom St Etienne 2023-2024}

\maketitle

\center

\section*{Transformée de Laplace des fonctions}

La transformée de Laplace d'une fonction $f(t)$ est définie par :
\[\boxed{\tilde{f}(p) = \int_\mathbb{R} e^{-pt}f(t)\mathrm{d}t = \mathcal{L}^-_p[f(t)]}\]

Attention, $p=a+i\omega$ est un nombre complexe, ainsi
\[\boxed{\tilde{f}(p) = \int_\mathbb{R} e^{-i\omega t} \left( e^{-at}f(t)\right)\mathrm{d}t = F^-_{\frac{\omega}{2\pi}}\left[e^{-at}f(t)\right]}\]

\textbf{La transformée de Laplace est donc la transformée de Fourier de} $e^{-at}f(t)$.

\vspace*{0.5cm}

\section*{Propriétés}

\begin{multicols}{2}
    \subsection*{Linéarité}
    \[\boxed{\mathcal{L}^-_p[\alpha f(t) + \beta g(t)] = \alpha \tilde{f}(p) + \beta \tilde{g}(p)}\]

    \subsection*{Dilatation}
    \[\boxed{f(ct) \implies \frac{1}{|c|}\tilde{f}\left(p\right)}\]
    
    \subsection*{Dérivation}
    \[\boxed{\mathcal{L}^-_p[f^{(n)}(t)] = p^n\tilde{f}(p)}\]

    \subsection*{Translation}
    \[\boxed{\mathcal{L}^-_p[f(t-\tau)] = e^{-p\tau}\tilde{f}(p)}\]

    \subsection*{Convolution}
    \[\boxed{\mathcal{L}^-_p[f*g] = \tilde{f}(p)\tilde{g}(p)}\]

    \subsection*{Intégration}
    \[\boxed{\mathcal{L}^-_p\left[\int_0^t f(\tau)\mathrm{d}\tau\right] = \frac{\tilde{f}(p)}{p}}\]
\end{multicols}

\vspace*{0.5cm}

\section*{Transformée de Laplace des fonctions périodiques}

\[\boxed{\mathcal{L}^-_p[f(t)] = \frac{\tilde{f_0}(p)}{1-e^{-2\pi p}}}\]

\newpage

\section*{Transformée de Laplace des distribution de $\mathcal{D}'_+$}

\[\boxed{\mathcal{L}^-_p[T] = \left< T, e^{-pt}\right>}\]
\underline{\textbf{Attention : } $t\mapsto e^{-pt} \notin \mathcal{D}$ donc $\left< T, e^{-pt}\right>$ n'est pas toujours définie.}

\subsection*{Transformée de Laplace des distributions usuelles}

\begin{multicols}{2}
    \paragraph*{Distribution de Dirac}
    \[\boxed{\mathcal{L}^-_p[\delta(t)] = 1}\]

    \paragraph*{Distribution de Heaviside}
    \[\boxed{\mathcal{L}^-_p[H(t)] = \frac{1}{p}}\]
\end{multicols}

\end{document}