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\begin{document}
\setlength{\parindent}{0mm}

\title{Traitement des signaux déterministes - Transformée De Fourier}
\author{Aubin SIONVILLE}
\date{Télécom St Etienne 2023-2024}

\maketitle

\center

\section*{Transformée de Fourier}

\subsection*{Définition}

La transformée de Fourier d'une fonction $f$ \underline{absolument intégrable} est définie par :
\[\boxed{\hat{f}(u) = F_u^-(f(x)) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(t)e^{-2i\pi ut}\mathrm{d}t}\]

\underline{C'est cette définition que l'on retiendra}.\\

\vspace*{0.3cm}

\subsection*{Définition alternative}

On peut aussi définir la transformée de Fourier par :
\[\boxed{\hat{f}(u) = F_u^+(f(x)) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(t)e^{2i\pi ut}\mathrm{d}t}\]

\vspace*{0.3cm}

\subsection*{Interprétation}

Si $f$ est un signal représenté de manière temporelle, alors $\hat{f}$ est la représentation fréquentielle de $f$.\\
Donc $\hat{f}(u)$ représente l'amplitude de la fréquence $u$ dans le signal $f$.\\

\vspace*{1cm}

\begin{tikzpicture}[x={(1cm,0.5cm)},z={(0cm,0.5cm)},y={(1cm,-0.2cm)}]
    \draw[->,thick,black!70] (0,6.5,0) -- (6.2,6.5,0) node[right] {Frequence};
    \draw[->,thick,black!70] (0,0,0) -- (0,6.5,0) node[below right] {Temps};
    \draw[->,thick] (0,0,0) -- (0,0,2) node[above] {Amplitude};
    \foreach \y in {0.5,1.5,...,5.5}{
            \draw [cyan!40, domain=0:2*pi,samples=200,smooth]
            plot (\y,\x, {sin(4*\y*\x r)/\y });
            \draw[blue, ultra thick] (\y,6.5,0) -- (\y,6.5,1/\y);
        }
    \draw [red, thick, domain=0:2*pi,samples=200,smooth]
    plot (0,\x, {sin(4*0.5*\x r)/0.5 + sin(4*1.5*\x r)/1.5 + sin(4*2.5*\x r)/2.5 + sin(4*3.5*\x r)/3.5 + sin(4*4.5*\x r)/4.5 + sin(4*5.5*\x r)/5.5} );
\end{tikzpicture}

\newpage

\subsection*{Propriétés}

\begin{multicols}{2}
    \subsubsection*{Linéarité}
    \[\boxed{F_u^-(\alpha f + \beta g) = \alpha F_u^-(f) + \beta F_u^-(g)}\]

    \subsubsection*{Modulation}
    \[\boxed{F_u^-(e^{2i\pi u_0t}f(t)) = \hat{f}(u-u_0)}\]

    \subsubsection*{Conjugué complexe}
    \[\boxed{F_u^-(\overline{f(t)}) = \overline{\hat{f}(-u)}}\]

    \subsubsection*{Multiplication par $x$}
    \[\boxed{F_u^-\big((-2i\pi t)^n f(t)\big) = \frac{\mathrm{d}^n}{\mathrm{d}u^n}\hat{f}(u)}\]

    \subsubsection*{Translation}
    \[\boxed{F_u^-(f(t-t_0)) = e^{-2i\pi ut_0}F_u^-(f)}\]

    \subsubsection*{Dilatation}
    \[\boxed{F_u^-(f(at)) = \frac{1}{|a|}\hat{f}\bigg(\frac{u}{a}\bigg)}\]

    \subsubsection*{Dérivation}
    \[\boxed{F_u^-(f^{(n)}(t)) = (2i\pi u)^n \hat{f}(u)}\]

    \subsubsection*{Convolution}
    \[\boxed{F_u^-(f*g) = \hat{f}(u)\hat{g}(u)}\]
\end{multicols}

\vspace*{0.3cm}

\subsection*{Impact sur les équations différentielles}

\[\boxed{f'' + f = g \iff [4\pi^2u^2 + 1]\hat{f} = \hat{g}}\]

\vspace*{0.5cm}

\section*{Transformée de Fourier inverse}

\subsection*{Définition}

Si $\displaystyle \hat{f}(u) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(t)e^{-2i\pi ut}\mathrm{d}t$, alors :

\[\boxed{f(t) = \int_{-\infty}^{+\infty} \hat{f}(u)e^{2i\pi ut}\mathrm{d}u}\]

\newpage


\end{document}