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\begin{document}
\setlength{\parindent}{0mm}

\title{Estimation - Méthode Des Moments}
\author{Aubin SIONVILLE}
\date{Télécom St Etienne 2024-2025}

\maketitle

\center

\section*{Objectif}

\[\boxed{
    \begin{array}{c}
        
        \text{On suppose qu'on a } K \text{ paramètres } \theta = (\theta_1,...,\theta_K) \text{ \textit{(ex : moyenne, variance...)} de la loi de proba de } X\\
        \text{On suppose qu'il existe } K \text{ fonctions } \mu_i \text{ tq } \forall i \in \llbracket 1,K \rrbracket, \mu_i(\theta) = \mathbb{E}[X^i] = g_i(\theta_1,...,\theta_K)\\
        \\
        \text{On cherche alors } \big(\widehat{\theta}_1,..., \widehat{\theta}_K\big) \text{ tq } \forall i \in \llbracket 1,K \rrbracket, \widehat{\mu}_i = \overline{x^i} = g_i(\widehat{\theta}_1,...,\widehat{\theta}_K)\\
        \\        
        \text{On utilise } \widehat{\mu_i} = \displaystyle \frac{1}{N}\sum_{n=1}^N x_n^i \text{ pour estimer } \mu_i \text{ (avec $N$ grand)}
    \end{array}
}\]

\vspace*{0.3cm}

\section*{Restrictions}
\[\boxed{
    \begin{array}{c}
        \text{Les } g_i \text{ doivent être bijectives (ou au moins injectives)}\\
        \text{Les estimateurs sont convergents (ils peuvent être biaisés)}\\
        \text{Pour des estimateurs non biaisés, on peut utiliser la maximisation de la vraisemblance}
    \end{array}
}\]

\vspace*{0.3cm}

\section*{Exemple}
Soit $X \sim \mathcal{N}(\mu, \sigma^2)$, on cherche alors $\theta_1 = \mu$ et $\theta_2 = \sigma^2$.

\vspace*{0.3cm}
On sait que $\displaystyle \begin{cases}\overline{x} = \widehat{\theta}_1\\\overline{x^2} = \widehat{\theta}_2 + \widehat{\theta}_1^2\end{cases}$,
donc $\widehat{\theta}_2 = \overline{x^2} - \overline{x}^2 = \sigma_N^2$\\
\vspace*{0.3cm}
D'un autre côté, $\displaystyle\begin{cases}\mathbb{E}[X] = \mu\\\mathbb{E}[X^2] = \sigma^2 + \mu^2 = \theta_2 + \theta_1^2\end{cases}$,\\
\vspace*{0.3cm}
Donc on a :
$\begin{cases}\widehat{\Theta}_1 = S_N^2 : \text{ Estimateur biaisé de la variance (mais cv en proba)}\\\widehat{\Theta}_2 = \overline{X_N} : \text{ Estimateur non biaisé de la moyenne (cv + atteint la borne de Cramer-Rao)}\end{cases}$
\end{document}