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\begin{document}
\setlength{\parindent}{0mm}

\title{Probabilité Et Statistiques - Lois Des Grands Nombres}
\author{Aubin SIONVILLE}
\date{Télécom St Etienne 2023-2024}

\maketitle

\center

\section*{Loi faible des grands nombres}

Soit $(X_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite de variables aléatoires réelles indépendantes et de même loi, de variance $\sigma^2$ et d'espérance $\mu$.
\[\boxed{\overline{X_n} \overset{\mathbb{P}}{\underset{n\rightarrow+\infty}{\longrightarrow}} \mu}\]

\section*{Loi forte des grands nombres}

Soit $(X_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite de variables aléatoires réelles indépendantes et de même loi, de variance $\sigma^2$ et d'espérance $\mu$.
\[\boxed{\begin{cases}
    \overline{X_n} \overset{\mathrm{L}^2}{\underset{n\rightarrow+\infty}{\longrightarrow}} \mu \\
    \text{Si } \mathbb{E}[X_1^4] < +\infty \text{ alors } \overline{X_n} \overset{\mathrm{p.s.}}{\underset{n\rightarrow+\infty}{\longrightarrow}} \mu
\end{cases}}\]

\section*{Loi des grands nombres de Kolmogorov}

Soit $(X_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite de variables aléatoires réelles indépendantes et de même loi.

\[\boxed{\lim \limits_{n \to +\infty} \overline{X_n} = \mu \implies \left(\lim \limits_{n \to +\infty} \overline{X_n} = \mu \iff \mathbb{E}[]

\end{document}