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\begin{document}
\setlength{\parindent}{0mm}

\title{Probabilité Et Statistiques - Lois De Probabilités Continues}
\author{Aubin SIONVILLE}
\date{Télécom St Etienne 2023-2024}

\maketitle

\center

\section*{Loi uniforme}
$X \sim \mathcal{U}_{[a,b]}$

\begin{multicols}{2}
    \subsection*{Densité}
    \[\boxed{X \sim \mathcal{U}_{[a, b]} \implies f_X(x) = \frac{1}{b - a} \mathds{1}_{[a, b]}(x)}\]

    \subsection*{Fonction de répartition}
    \[\boxed{X \sim \mathcal{U}_{[a, b]} \implies F_X(x) = \frac{x - a}{b - a} \mathds{1}_{[a, b]}(x)}\]
\end{multicols}

\vspace*{0.3cm}

\begin{multicols}{3}
    \subsection*{Espérance}
    \[\boxed{\mathbb{E}[X] = \frac{a + b}{2}}\]
    
    \subsection*{Moment d'ordre $n$}
    \[\boxed{\mathbb{E}[X^n] = \frac{1}{n+1}\frac{b^{n+1}-a^{n+1}}{b-a}}\]
    
    \subsection*{Variance}
    \[\boxed{\mathbb{V}[X] = \frac{(b - a)^2}{12}}\]
\end{multicols}

\vspace*{0.3cm}

\subsection*{Somme de lois uniformes}
Une somme de lois uniformes est une loi triangulaire \underline{pas une loi uniforme}.

\vspace*{0.5cm}

\section*{Loi exponentielle}
$X \sim \mathcal{E}(\lambda)$

\begin{multicols}{2}
    \subsection*{Densité}
    \[\boxed{X \sim \mathcal{E}(\lambda) \implies f_X(x) = \lambda e^{-\lambda x} H(x)}\]

    \subsection*{Fonction de répartition}
    \[\boxed{X \sim \mathcal{E}(\lambda) \implies F_X(x) = \big(1 - e^{-\lambda x}\big)H(x)}\]
\end{multicols}

\vspace*{0.3cm}

\begin{multicols}{3}
    \subsection*{Espérance}
    \[\boxed{\mathbb{E}[X] = \frac{1}{\lambda}}\]
    
    \subsection*{Moment d'ordre $n$}
    \[\boxed{\mathbb{E}[X^n] = \frac{n!}{\lambda^n}}\]
    
    \subsection*{Variance}
    \[\boxed{\mathbb{V}[X] = \frac{1}{\lambda^2}}\]
\end{multicols}

\vspace*{0.3cm}

\begin{multicols}{2}
    \subsection*{Absence de mémoire}
    \[\boxed{\mathbb{P}(X > t + s \, |\, X > t) = \mathbb{P}(X > s)}\]
    
    \subsection*{Somme de lois exponentielles}
    La somme de deux lois exponentielles est une loi d'Erlang, \underline{pas une loi exponentielle}.
    
\end{multicols}

\vspace*{0.5cm}

\section*{Loi normale}
$X \sim \mathcal{N}(\mu, \sigma^2)$

\begin{multicols}{2}
    \subsection*{Densité}
    \[\boxed{X \sim \mathcal{N}(\mu, \sigma^2) \implies f_X(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} e^{-\frac{1}{2}\frac{(x - \mu)^2}{\sigma^2}}}\]

    \subsection*{Fonction de répartition}
    \[\boxed{X \sim \mathcal{N}(\mu, \sigma^2) \implies F_X(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} \int_{-\infty}^x e^{-\frac{1}{2}\frac{(t - \mu)^2}{\sigma^2}} dt}\]
\end{multicols}

\[\boxed{\text{On note } \Phi \text{ la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite.}}\]

\begin{multicols}{2}
    \subsection*{``Anti-symétrie''}
    \[\boxed{\Phi(-x) = 1 - \Phi(x)}\]
    
    \subsection*{Valeur centrale}
    \[\boxed{\Phi(0) = \frac{1}{2}}\]
\end{multicols}

\vspace*{0.3cm}

\begin{multicols}{2}
    \subsection*{Espérance}
    \[\boxed{\mathbb{E}[X] = \mu}\]
    
    \subsection*{Variance}
    \[\boxed{\mathbb{V}[X] = \sigma^2}\]
\end{multicols}

\subsection*{Moment d'ordre $n$ pour la loi normale \underline{centrée réduite}}
\[\boxed{\mathbb{E}[X^n] = \begin{cases}
    0 & \text{ si } n =2p+1 \\
    \displaystyle \frac{(2p)!}{2^{p}p!} & \text{ si } n = 2p
\end{cases}}\]

\vspace*{0.3cm}

\subsection*{Somme de lois normales}
\[\boxed{\begin{array}{l}
    \text{Soient } X_n \sim \mathcal{N}(m_n, \sigma_n^2) \text{ pour } n \in \llbracket 1, N \rrbracket \text{ des v.a. réelles \underline{mutuellement indépendantes}.}\\
    \text{Alors } \displaystyle \sum_{n = 1}^N \alpha_n X_n \text{ est une v.a. réelle et } \sum_{n = 1}^N \alpha_n X_n \sim \mathcal{N}\left(\sum_{n = 1}^N \alpha_n m_n, \sum_{n = 1}^N \alpha_n^2 \sigma_n^2\right)
\end{array}}\]

\subsection*{Probabilité d'un intervalle}

\[\boxed{\mathbb{P}(X \in [a, b]) = \Phi\left(\frac{b - m}{\sigma}\right) - \Phi\left(\frac{a - m}{\sigma}\right)}\]

\vspace*{0.5cm}

\section*{Produit de convolution}

\[\boxed{\text{Soient } X \text{ et } Y \text{ deux v.a. réelles indépendantes. Alors } X + Y \text{ est une v.a. réelle et } f_{X + Y} = f_X * f_Y}\] 

\end{document}