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\begin{document}
\setlength{\parindent}{0mm}

\title{Morphologie Mathématique - Hit Or Miss Et Opérateurs Dérivés}
\author{Aubin SIONVILLE}
\date{Télécom St Etienne 2024-2025}

\maketitle

\center

\section*{Transformée Hit Or Miss}

\subsection*{Définition}

On a un élément structurant $B$ composé de deux éléments structurants $B_1$ et $B_2$ tels que $B = B_1 \oplus B_2$.

On vérifie que $B_1$ est inclus dans l'objet et que $B_2$ est inclus dans le complémentaire de l'objet :

\vspace*{-0.3cm}

\[\boxed{
    \begin{array}{ll}
        HMT_B(X) = X \otimes B
        & = \left\{x | B_{1,x} \subseteq X, B_{2,x} \subseteq X^c\right\}\\
        & = \varepsilon_{B_1}(X) \cap \varepsilon_{B_2}(X^c)
    \end{array}
}\]

\vspace*{0.1cm}

\begin{multicols}{2}
    \subsection*{Propriétés}
    \[\boxed{HMT_B(x) = HMT_{B^c}(X^c)}\]

    Pour conserver tous les points, on fais une ouverture :
    \[\boxed{\tilde{\gamma_B} = \delta_{\breve{B}}\left(HMT_B\right)}\]

    \columnbreak

    \subsection*{Applications}
    Détection de points isolés\\
    Détection de contours\\
    Détection de coins
\end{multicols}

\vspace*{0.3cm}

\section*{Amincissement et Épaississement}

\begin{multicols}{2}
    \subsection*{Amincissement}
    \textit{\underline{Supprimer} les petits objets détéctés par $HMT$}\\
    \textit{Anti-extensif}
    \[\boxed{X\, \underline{\circ}\, B =  X \setminus \left(HMT_B(X)\right)}\]
    \[\boxed{X\, \tilde{\underline{\circ}}\, B = X - \tilde{\gamma_B}(X)}\]

    \subsection*{Épaississement}
    \textit{\underline{Ajouter} les petits objets détéctés par $HMT$}\\
    \textit{Extensif}
    \[\boxed{X\, \Box\, B =  X \cup \left(HMT_B(X)\right)}\]
    \[\boxed{X\, \tilde{\Box}\, B = X \cup \tilde{\gamma_B^c}(X^c)}\]
\end{multicols}

\subsection*{Applications}

On peut trouver \underline{l'envoloppe convexe} d'un objet en faisant des épaississements.

\end{document}