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\begin{document}
\setlength{\parindent}{0mm}

\title{Traitement d'Image - Seuillage Automatique}
\author{Aubin SIONVILLE}
\date{Télécom St Etienne 2024-2025}

\maketitle

\center

\section*{Estimation des densités}

\begin{multicols}{2}
    \subsection*{Histogramme}
    \[h(z) : \text{Histogramme en niveau de gris}\]

    \subsection*{Probabilité d'un niveau de gris}
    \[\displaystyle p(z) = \frac{h(z)}{K} : \text{Probabilité du ndg } z\]

    \subsection*{Probabilité d'une classe}
    \[\displaystyle P(C_k) = \sum_{z = s_{k-1}+1}^{s_k} p(z) : \text{Probabilité de la classe } C_k\]

    \subsection*{Niveau de gris moyen d'une classe}
    \[\displaystyle m_k = \frac{1}{P(C_k)} \sum_{z = s_{k-1}+1}^{s_k} zp(z) : \text{Niveau de gris moyen de la classe } C_k\]
\end{multicols}

\parspace

\section*{Méthode de la variance}

On cherche à maximiser la variance inter-classe / minimiser la variance intra-classe.

On note $K_k$ le total (nombre $\times$ valeurs) de la classe $C_k$ et $m$ la moyenne globale

\begin{multicols}{2}
    \subsection*{Variance inter-classe (à maximiser)}
    \[\displaystyle V_{\text{inter}}(s_1, \ldots, s_{n_c-1}) = \frac{1}{K} \Bigg(\,\underset{\text{à maximiser}}{\underbrace{\sum_{k=1}^{n_c} K_k m_k^2}} - m^2\Bigg)\]
    
    \subsection*{Variance intra-classe (à minimiser)}
    \[\displaystyle V_{\text{intra}}(s_1, \ldots, s_{n_c-1}) = \sum_{k=1}^{n_c} \sum_{z = s_{k-1}+1}^{s_k} (z - m_k)^2 p(z)\]
\end{multicols}

\section*{Méthode de l'entropie}

\begin{multicols}{2}
    \subsection*{Probabilité d'avoir un ndg dans une classe}
    \[\displaystyle p(z|C_k) \simeq \frac{p(z)}{P(C_k)} = \frac{p(z)K}{K_k}\]

    \subsection*{Entropie d'une classe}
    \[\displaystyle H(C_k) = -\sum_{z = s_{k-1}+1}^{s_k} p(z|C_k) \log_2 p(z|C_k)\]
\end{multicols}

\subsection*{Pour 2 seuils}

\[\begin{aligned}
    H(s) &= H(C_1) + H(C_2) \\
    &= -\sum_{z = 0}^{s} \frac{p(z_1)K}{K_1} \log_2\left(\frac{p(z_1)K}{K_1}\right) - \sum_{z = s+1}^{n_g} \frac{p(z_2)K}{K_2} \log_2\left(\frac{p(z_2)K}{K_2}\right)
\end{aligned}\]

\newpage

\section*{Comparaison des méthodes}

\begin{multicols}{2}
    \subsection*{Maximisation de la variance}
    
    Adapté pour des distributions gaussiennes
    
    Classes de même taille

    1 paramètre : le nombre de classes

    \subsection*{Maximisation de l'entropie}
    
    Adapté pour des distributions uniformes

    Classes de tailles différentes

    1 paramètre : le nombre de classes
\end{multicols}

\parspace

\section*{Correction de la dérive de fond}

\subsection*{Méthode I : Soustraction du fond}
\textit{Uniquement si on peut obtenir une image du fond seul $f_0$}

\parspace

On a alors $f^* = f + f_0$ où $f^*$ est l'image avec dérive

Pour la corriger, on fait simplement $\boxed{f = f^* - f_0}$

\subsection*{Méthode II : Reconstruction du fond}

\textbf{A - Estimation du fond}

On commence par estimer le fond $f_0$ (par exemple par une moyenne sur plusieurs images)

\parspace

\textbf{B - Opération morphologique (top-hat / bottom-hat)}

Objets clairs sur fond sombre : Top hat

Objets sombres sur fond clair : Bottom hat

\[\boxed{BH_t(f) = \phi_t(f) - f} \quad \text{ et } \quad \boxed{TH_t(f) = f - \gamma_t(f)}\]

\vspace{1.5cm}
\section*{Rappels : morphologie mathématique}

\begin{multicols}{2}
    \subsection*{Érosion}
    \[\epsilon_t(f) = \underset{y \in T}{\min_{x+y\in D}} f(x+y)\]

    \subsection*{Ouverture}
    \[\gamma_t(f) = (\delta_t \circ \epsilon_t)(f)\]

    \subsection*{Dilatation}
    \[\delta_t(f) = \underset{y \in T}{\max_{x+y\in D}} f(x+y)\]

    \subsection*{Fermeture}
    \[\phi_t(f) = (\epsilon_t \circ \delta_t)(f)\]
\end{multicols}

\end{document}